[PDF] Calcul vectoriel - Composantes - Sujets de Brevet

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Exercice 1 : Brevet des Collèges - Grenoble - 2001 Dans le repère orthonormal (0, I, J) ci-contre, on considère les points suivants A( 2 ; 6 ) ; B( - 4 ; 2 ) ; C( - 2 ; - 1 ) et D( 4 ; 3 )

1. Calculer les coordonnées des vecteurs

DC et AB.

ABCD est-il un parallélogramme? Justifier.

2. Calculer les distances AC et BD, en valeurs exactes. Montrer que

ABCD est un rectangle.

Exercice 2 : Brevet des Collèges - Nantes-Bordeaux-Caen-

Clermont-Limoges-Poitiers-Rennes - 2001

Le plan est muni d"un repère orthonormal (O, I, J).

L"unité de longueur est le centimètre.

1. Placer les points A( 2 ; 1 ), B( 5 ; 5 ) et C( 6 ; 2 ).

2. Donner les coordonnées du vecteur

AB.

3. Calculer la distance AB.

4. Placer le point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

5. Donner sans justifier les coordonnées du point D.

6. Calculer les coordonnées du centre de symétrie W du parallélogramme ABCD.

Exercice 3 : Brevet des Collèges - Amérique du Nord - 2001

Dans un repère orthonormé (O, 1, J) tel que 01 = OJ = 1 cm, placer les points M( - 2 , - 4 ) et N( 2 , - 2 ).

1. Montrer que le triangle OMN est isocèle en M.

2. Construire le point P, image de N par la translation de vecteur

MO.

3. Quelle est la nature du quadrilatère OMNP ? Justifier.

4. Calculer les coordonnées de K, point d"intersection de [ON] et de [MP].

Exercice 4 : Brevet des Collèges - Asie du Sud-Est - Océan Indien - 2001 Soit (O, 1, J) un repère orthonormé du plan.

L"unité est le centimètre.

On considère les points suivants : A( 2 ; 3 ), B( 6 ; 1 ) et C( - 1 ; - 3 ).

1. Faire une figure et placer les points.

2. Calculer les coordonnées du milieu M du segment [BC].

3. a) Calculer les coordonnées du vecteur

AC. b) Construire le point D, image du point B par la translation de vecteur

AC. Calculer les coordonnées de D.

4. Calculer les valeurs exactes des longueurs AD et BC. Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ?

Justifier.

THEME :

CALCUL VECTORIEL

COMPOSANTES D"UN VECTEUR - SUJETS DE BREVET

Exercice 5 : Brevet des Collèges - Groupe Ouest - (Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Orléans-Tours, Poitiers, Rennes, La Réunion) - 2002 Pour traiter cet exercice, utiliser du papier millimétré. Le plan est muni d"un repère orthonormal (O,1, J). L"unité de longueur est le centimètre.

1. a. Placer les points : A(3 ; -5) et B(-2 ; 5).

b. Donner les coordonnées du vecteur

AB. (Aucune justification n"est demandée.)

c. Calculer la valeur exacte de la longueur AB.

2. a. Placer le point C(-2 ; -4) et le point D, image du point C par la translation de vecteur

AB. b. Quelles sont les coordonnées du point D ? (aucune justification n"est demandée).

c. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD et quelles sont les coordonnées du point M, intersection

des droites (AD) et (BC) ? ( Justifier ces deux réponses ). Exercice 6 : Brevet des Collèges - Grenoble - 2002 Dans un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points suivants : A( - 3 ; - 2 ) ; B( - 1 ; 9 ) et C( 9 ; 4 ).

1. Faire une figure en prenant 1 cm pour unité de longueur.

2. On note M le milieu du segment [AC]. Calculer les coordonnées du point M.

3. Calculer les coordonnées des vecteurs

AB et AC.

4. Calculer la longueur BC

( on donnera la valeur arrondie à 0,1 près ). Exercice 7 : Brevet des Collèges - Guadeloupe, Guyane, Martinique - 2002 Le plan est muni d"un repère orthonormal (O, I, J). L"unité est le centimètre.

1. Placer les points A( - 1 ; 0 ) ; B( 1 ; 2 ) et C( 3 ; - 4 ).

2. Montrer que AB =

8 , AC = 32 et BC = 40.

3. En déduire que le triangle ABC est rectangle et préciser l"angle droit.

4. Placer le point D tel que

AB CD=.

5. Quelle est la nature du quadrilatère CDBA ? Justifier la réponse.

Exercice 8 : Brevet des Collèges - La Réunion - 2002 Le plan est muni d"un repère orthonormal (O, I ,J ). L"unité est le centimètre. On considère les points A ( 6 ; 5 ) ; B ( 2 ; - 3 ) ; C ( - 4 ; 0 )

Partie A

1. Placer les points dans le repère.

2. Calculer en cm les distances AB, BC et CA, et vérifier que ces distances peuvent s"écrire :

AB = 4

5 BC = 35 et CA = 55 .

3. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.

4. Calculer le périmètre

P du triangle ABC. On donnera le résultats sous la forme a5 , où a désigne un nombre entier.

5. Calculer en cm² l"aire

S du triangle ABC.

Partie B

1. Calculer les coordonnées de BC.

2. a. Construire le point D tel que CBOD soit un parallélogramme.

b. Donner les coordonnées du point D par lecture graphique.

3. a. Construire le cercle (

C ) circonscrit au triangle ABC.

b. On appelle E le centre du cercle (

C ). Calculer les coordonnées de E.

c. Le point D est-il situé sur le cercle (

CCCC ) ?. Justifier votre réponse.

Exercice 9 : Brevet des Collèges - Groupe est - Sept. 2002

Le plan est muni d"un repère orthonormé (O, I, J). L"unité de longueur est le centimètre.

1. Placer les points : A( 1 ; 2 ) ; B( 3 ; 0 ) et C( - 1 ; - 2 )

2. On note D le milieu du segment [AB]. Calculer les coordonnées du point D.

3. a. Placer le point D sur la figure. Construire le point E, symétrique du point C par rapport au point D.

b. Montrer que ABEC est un parallélogramme. c. Calculer les coordonnées du point E.

4. Calculer AE et EB.

5. En déduire que AEBC est un losange.

Exercice 10 : Brevet des Collèges - Groupe ouest - Sept. 2002 Le plan est muni d"un repère orthonormal (O,I,J). On donne les points A( - 4 ; 3 ) , B( - 1 ; - 1 ) et C( 7 ; 5 ).

1. Donner les coordonnées du vecteur

AB, puis calculer la longueur du segment [AB].

Pour la suite du problème, on admettra que : BC = 10 et AC = 5 5 .

2. Démontrer que le triangle ABC est rectangle.

3. Calculer les coordonnées du milieu M de [AC] et placer le point M sur la figure ci-dessus.

4. Démontrer que : MB = MC.

5. Sur la figure ci avant, placer le point N, image du point M par la translation de vecteur

AB.

Quelles sont les coordonnées de N ?

( Aucune justification n"est demandée ).

6. Démontrer que les vecteurs

AM , BN et MC sont égaux.

7. Démontrer que le quadrilatère BMCN est un losange.

8 . Démontrer que le triangle ABC et le losange BMCN ont la même aire. Exercice 11 : Brevet des Collèges - Afrique 1 - 1997

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, I, J) ; l"unité de longueur est le centimètre.

1. Placer les points suivants : A ( - 2 ; 3 ) ; B ( 3 ; 2 ) ; C ( 4 ; - 3 ) ; D( -1 ; - 2 ).

2. Donner, sans justification, les coordonnées des vecteurs

BC et AD.

3. Calculer les distances AB et BC (on donnera les valeurs exactes).

4. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un losange.

OI J B A C Exercice 12 : D"après Brevet des Collèges - Rouen - 1997 Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, 1, J) tel que OI = OJ = 1 cm.

1. Placer les points A ( 5 ; 0 ) ; B ( - 1 ; - 2 ) ; C ( 1 ; 4 ) et compléter la figure au cours des questions.

2. a. Construire le point D tel que

BA BC BD+=.

b. Calculer les distances BC et AB. c. Déduire des questions a. et b. que ABCD est un losange. d. Calculer les coordonnées de son centre K.

3. a. Montrer que I est le milieu de [BK] et J le milieu de [BC].

b. Les droites (CI) et (KJ) se coupent en P. Que représente le point

P pour le triangle BCK ?

Exercice 13 : D"après Brevet des Collèges - Bordeaux - 1997 Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O , I , J ).

L"unité graphique est le centimètre.

1. Placer les points A ( 3 ; 5 ) ; B ( - 1 ; 2 ) et C ( 1 ; 1 ).

Calculer les coordonnées du point K, milieu du segment CAB].

2. Quelle est la nature du triangle ABC ?

3. Construire le point E, image du point B par la translation du vecteur

CA. a. Quelle est la nature du quadrilatère CAEB ? b. Calculer les coordonnées du point E. Exercice 14 : D"après Brevet des Collèges - Rouen - 1999 extrait

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O , I , J ). L"unité de longueur est le centimètre.

a)Placer les points suivants : A( 0 ; 8 ) B ( - 6 ; 0 ) C ( - 8 ; 4 ) et E ( 0 ; - 6 ) b)Calculer les distances AB , BC et AC . En déduire la nature du triangle ABC.

Calculer la valeur exacte de sin CÂB .

En déduire la mesure de l"angle CÂB arrondie au degré près. c)Tracer le cercle CCCC circonscrit au triangle ABC. Préciser la position de son centre K et calculer son rayon.

Pourquoi le cercle

CCCC passe-t-il par le point O ? En déduire la distance OK. Exercice 15 : D"après Brevet des Collèges - Sujet complémentaire Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O , I , J ). L"unité de longueur est le centimètre. Placer les points A( - 2 ; + 2 ) ; B( + 5 ; + 3 ) et M( + 1 ; - 2 ) a)Calculer les coordonnées du point N , image du point M par la translation de vecteur AB. En déduire la nature du quadrilatère ABNM. b)Quelles sont les coordonnées des milieux des segments [BM] et [AN] ? c)Placer le point F ( - 3 ; - 1 ) . Les points E, F et I sont-ils alignés ? Justifier clairement votre réponse.quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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