[PDF] Devoir Surveillé n°7 Correction Première ES/L

CorrectionCorrectionDS n°7- PremièreES/L - Janvier 2017Devoir Surveillé n°7CorrectionPremière ES/LLes suitesDurée 1 heure - Coeff. 5Noté sur 20 pointsL"usage de la calculatrice est autorisé.Exercice 1. Validation des "Savoir Faire"9 pointsLes suites(an)et(bn)sont définies pour tout entiernpar :(an):?a0=100an+1=0,2×an+12?????(bn):?b0bn=-an+151. [1point] Déterminer lestroispremierstermesdes suites(an)et(bn).a0=100 ;a1=32 ;a2=18,4 etb0=-85 ;b1=-17 ;b2=-3,42. [3points] Montrerque(bn)est géométrique.En déduire sonterme général.Pour tout entiernon a :bn+1=-an+1+15bn+1=-(0,2an+12)+15bn+1=-0,2×an+3bn+1=0,2×?-an+30,2?bn+1=0,2×(-an+15)bn+1=0,2×bnLa suite(bn)est donc une suite géométriquede raisonq=0,2, et de premier termeb0=-85 puisque :b0=-a0+15b0=-100+15b0=-85Soit :(bn):?b0=-85bn+1=0,2×bn;?n?NLa suite(bn)est géométrique de raisonq=0,2, et de premier termeb0=-85 donc son terme général est?n?N;bn=b0×?q?nSoit?n?N;bn=-85×(0,2)n1/4

CorrectionCorrectionDS n°7- PremièreES/L - Janvier 20173. [1point] Établir le sensde variationde la suite(bn).Une suite géométrique de raisonqest monotone, c"est à dire croissante, décroissante (ou constante) siq≥0.• Siq=0 ouq=1, la suite est constante.• Si le premier terme eststrictementpositif :?Siq>1,la suite est croissante;Si 01,la suite est décroissante;Si 00×(-0,8)????<0Donc pour tout entiernon a :an+1-an<0??an+1

CorrectionCorrectionDS n°7- PremièreES/L - Janvier 2017Exercice 2. D"après Bac201511 pointsUn apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région. En juillet 2014, il achète 300 colo-nies d"abeilles qu"il installe dans cette région. Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s"attend à perdre 8%des colonies durant l"hiver. Pour maintenir son activité etla développer, il a prévu d"installer50nouvelles colonies chaqueprintemps.1. Onconsidèrel"algorithme suivant:Variablesnest entierCest à valeurs réellesTraitementAffecter àCla valeur 300Affecter ànla valeur 0Tant queC<400 faireCprend la valeurC-C×0,08+50nprend la valeurn+1Fin de Tant queSortieAffichern1. a. [1.5point]Complétersurcettefeuilleletableauci-dessousenajoutantautantdecolonnesquenécessaire.Lesrésultatsserontarrondisà l"entier le plusproche.Test C < 400× × ×VraiVraiVraiVraiVraiFauxValeurde C300326350372392411STOPValeurde n0123451. b. [1 point] Quelle valeur est affichée à la fin de l"exécution de cet algorithme? Interpréter cette valeur dans lecontextede ce problème.La valeur affichée à la fin de l"exécution de cet algorithme estn=5Celacorrespondaunombred"annéesnécessairespourque l"apiculteur possède plus de 400 colonies d"abeilles, soit 5 années.2. On modélise l"évolutiondu nombre de coloniespar une suite (Cn), le termeCndonnant une estimation du nombrede coloniespendant l"année2014+n.AinsiC0=300est le nombre de coloniesen2014.2. a. [1point] Exprimer pour tout entiernle termeCn+1enfonctiondeCn.Soitnentier naturel.L"année 2014+(n+1), l"agriculteur s"attend à perdre 8% des colonies, donc illui en reste 92% desCnde l"année pré-cédente soit 0,92×Cn.De plus il installe 50 nouvelles colonies chaque printemps soit :(Cn):?C0=300Cn+1=0,92Cn+50;?n?N3/4

CorrectionCorrectionDS n°7- PremièreES/L - Janvier 20172. b. [3points] On considèrela suite (Vn) définie pour tout entiernparVn=625-Cn.Montrerque pour tout nombre entiernonaVn+1=0,92×Vn.Pour tout entiernon a :?n?N;Vn+1=625-Cn+1Vn+1=625-0,92Cn-50Vn+1=-0,92Cn+575Vn+1=0,92?-Cn+5750,92?Vn+1=0,92(-Cn+625)Vn+1=0,92VnLa suite(Vn)est donc une suite géométriquede raisonq=0,92, et de premier termeV0avec :V0=625-C0V0=625-300=325Soit :(Vn):?V0=325Vn+1=0,92×Vn;?n?N2. c. [1point] Endéduire que pour tout entier natureln, on aCn=625-325×0,92n.La suite(Vn)est géométrique de raisonq=0,92, et de premier termeV0=325 donc son terme général est?n?N;Vn=V0×?q?nSoit?n?N;Vn=325×(0,92)nDe l"égalitéVn=625-Cndéfinie pour tout entiern, on peut en déduire l"expression deCn=625-Vnsoit :?n?N;Cn=625-325×(0,92)n2. d. [1 point] Combien de coloniesl"apiculteurpeut-il espérerposséderen juillet2024?Le nombre de colonies en 2024 est donné parC10soitC10≈483,82Le nombre de colonies étant un entier naturel, on arrondi comme dans la question1.a.à l"entier le plus proche.On peut donc estimer qu"il y aura 484 colonies en 2024.3. L"apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir combien d"années il lui faudra pouratteindre cetobjectif.3. a. [1point] Comment modifier l"algorithmepour répondreàsa question?Il suffit pour cela de remplacer le test Tant queC<400 fairepar le test Tant queC<600 faire3. b. [1.5point] Donnerune réponse à cette questionde l"apiculteur.Cette question est assez libre dans sa résolution, on peut imaginer faire un tableau de valeurs comme dans la ques-tion 1, et lire les résultats mais c"est assez long. Plus rigoureusement, il faut résoudre une inéquation mais nous n"ensommes pas encore capable algébriquement.•Méthode 1: tableaude valeursOn arrondi comme dans la question1.a.à l"entier le plus proche.Test C <600× × ×VraiVraiVrai...VraiFauxValeurde C300326350372...598600Valeurde n0123...3031•Méthode 2: résolutiond"une inéquation.... attendonsla classede terminale(et le logarithme).Il faudra attendre 31 années soit 2045, pour doubler le nombre de colonies.?Fin du devoir?4/4