[PDF] Mathématiques appliquées 1.3 Somme de termes

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Mathématiques

appliquées

Suitesdenombresréel s

etnombr escomplexes

2OSPM/2MR

GYMNASEDEBURIER

Jean-MarcFaillétaz

SébastienGuex

Août2021

TABLEDESMATIÈ RES

Tabledesmatiè res

1Suitesnumériques5

1.1Noti ondesuitenumé rique..............................5

1.1.1Suited éfinieparsespremi erstermes....................7

1.1.2Suite définieexplicite ment..........................9

1.1.3Suited éfinieparrécurren ce.........................11

1.2Suit esarithmétiquesetgéom étriques........................13

1.3Somme determesenpr ogression arithmétiqueougéométr ique..........21

1.3.1Sommed etermesenprogr essionar ithmétique...............21

1.3.2Sommed etermesenprogr essiongé ométrique...............25

1.4Exe rcices........................................28

1.5Répons es........................................32

2Convergencedessuitesnumériques35

2.1Suit esmonotones...................................35

2.2Suit esbornées.....................................39

2.3Suit esconvergentes..................................45

2.4Théor èmesdeconvergence..............................51

2.5Exte nsiondelanotiondelimite...........................61

2.6Conve rgenced'unesuitegéométrique........................63

2.7Somm einfiniedeter mesenprogressiongéomét rique................65

2.8Exe rcices........................................66

2.9Répons es........................................69

3Nombrescomplexes71

3.1Nombr escomplexesC................................73

3.2Conjugu éetmodule.................................75

3.3Racin escarréesd'unnomb recomplexe.......................77

3.4Equat ionsdansC...................................81

3.5Théor èmefondamentaldel'algèbre.........................83

GymnasedeBurier3

Mathématiques2OSPM/2MR

3.6Consé quencesduthéorèmefondamentalpourlespoly nômesàcoe!cientsréels.85

3.7Forme trigonométrique d'unnombrecomplexe...................87

3.7.1Représe ntationgéométrique.........................87

3.7.2Formetr igonométrique............................89

3.7.3Produi tetdivisionsousformetrigonom étriq ue...............91

3.8Racin esn-ièmed'unnomb recomplexe.......................93

3.8.1Formule deDeMoivre............................93

3.8.2Racines n-ième................................93

3.9Exer cices........................................96

3.10Répons es........................................101

2

ème

édition,LaTour-de-Peilz,a oût20 21

4GymnasedeBurier

Chapitre1

Suitesnumériq ues

1.1Notion desuitenumérique

Lessuite snumériquessontl iéesàlamathématiquedelamesureet àl'ana lys e.Ellespeuventêtre

associéesauxmesuresd'unph énomène prisesàintervallesdetempsréguliers.Enanalyse,unesuite

numériqueestl'équivalentd iscretd'u nefonctionnumérique.Hist oriquement,lanotiondesuiteest

présentedèsqu'apparaissent desprocé désillimitésdecalcul.Ontrou vececoncep t,parexemple,dans

lesmath ématiquesbabyloniennesoudanslesoeuvresd'A rchimède,spéciali stedesprocédésillimités

d'approximationpourdescalculsd'airesetdevol umes.Plusrécemment,onretrouvecettenotionen

Egypteau1

er

siècleaprèsJésus-C hrist,danslepro cédéd'extractiond'unera cinecarréeàl'aide dela

méthodedeHérond'Ale xandri e.

Exemple1.1.

Onpl ieunefeuille depapierd e0.1mmd'épaisseurend eux,pu isen quatr e,puisenhuitetainside suite. a)Cal culerlahauteuratteinte parlatou rainsiconstruiteaprès10pliages, aprè snpliages. b)Es t-ilpossibled'attei ndreunehauteurde20m? c)E st-ilpossiblededépa sserladistanceTerre-Soleil( environ150'000' 000km)?

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CHAPITRE1.SUITESNUMÉR IQUES

Définition1.1

Unesuite(numériq ue)estunef onctionde NversRquel'o npeutvisualis ercommeuneli ste infiniedenombr es u 0 ,u 1 ,u 2 ,...,u n

L'imageu

n del' entiernestappel életermederangnoutermed'indice n.Cettesuiteest notée(u n n!N oupl ussimplemen t(u n

L'imagedelafonctione stl'ense mble{u

0 ,u 1 ,u 2 lasu ite(u n

Remarque1.1.

Lete rmeu

n dera ngnseli t"uindicen»(rangetindiceso ntsynon ymes).

Unesuit epeutêtredéfinie dedi

érentesmanières:onpeu tladonnerparsespr emiers termes,l adéfinir

explicitementouladonneràl'aided 'unerel ation derécurrence.Détai llonscestroispossibilités.

1.1.1Suitedé finieparsespr emierstermes

Sila suitees tdonnéeparsesprem iersterm es,lester messuivantsdoiventp ouvoirêtredéduitscla ire-

mentdeceux -ci.

Exemple1.2.

Soitlasuite (a

n )définiepar

4,8,16,32,...

Calculerletermederang1 0,ains iqueletermeder angn.

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CHAPITRE1.SUITESNUMÉR IQUES

1.1.2Suitedé finieexplici tement

Unesui te(u

n )estdéfinieexplicitementlorsquel'onconnaîtl'expressionalgé briquedesontermede rangn.

Exemple1.3.

Définirexplicite mentlasuite(a

n ):4,8,16,32,...donnéedansl'ex emple1.2.

Remarque1.2.

Laco nnaissanced'unesuiteparsespremier stermesnepermetpasd'avoirunecertitudesurlestermes inconnusdelasuiteetsurl'e xpress iona lgébriquedeso ntermederan gn.

Parexem ple,vérifionsquelasuite( b

n )définieexplicitementparb n 2 3 n 3 10 3 n+4alesquatre premierstermesencommun aveclasuitea n =2 n+2 ,maispaslecinquième. na n b n 02 2 =44 12 3 =8 2 3 10 3 +4=8 22
4 =16 2 3 ·2 3 10 3

·2+4=16

32
5 =32 2 3 ·3 3 10 3

·3+4=32

42
6 =64 2 3 ·4 3 10 3

·4+4=60

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CHAPITRE1.SUITESNUMÉR IQUES

1.1.3Suitedé finieparrécu rrence

Ondi tqu'unesu ite(u

n )estdéfinieparrécurrenc esiel leestdonnéepa runeformulederé- currenceetle( s)premier(s)terme(s)nécessaire(s)àsadéfinitioncomplète.Danslaf or mulede récurrence,onexprimeengénéra lleterm eu n+1 enfo nctiond'unoudeplusieurs termesprécédents.

Exemple1.4.

Soitlasuite (a

n )définiepara n =2 n+2 quenous avonstraitée danslesexemples 1.2et1.3.Définir cettesuite parrécurrence.

Exemple1.5.

Ecrirelesquatrep remierste rmesdelasuite(b

n )définiepar b 0 2 3 b n+1 1 b n +1

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CHAPITRE1.SUITESNUMÉR IQUES

1.2Suitesa rithmétiqueset géométriques

Unesuit epourlaquellela di

érenceentredeuxte rmesconsécutifsresteconstan teestappeléeun e suitearithmé tique.Donnons-enunedéfinitionprécise.

Définition1.2

Soitd!R.Unesuite(a

n )estdite arithmétiquedepasouraisondsi d=a n+1 "a n pourtoutn!N. Explicitonslessuitesarithmétiqu esetdonno nsuneformulederécurrencepourcessuites.

Théorème1.3

Soit(a

n )unesui tearithmétiq uederaisond. a)La suite(a n )estdéfin ieparsonpremierter mea 0 etpa rlaformul ederécur rence a n+1 =a n +d b)La suite(a n )estdéfin ieexplicitementpara n =a 0 +n·d.

Preuve

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CHAPITRE1.SUITESNUMÉR IQUES

Exemple1.6.

a)La suite( a n )donnéeparsespremierstermes:1,5,9,13,...est-ellearithmétique? Sic'estlecas, l'expliciter. b)La suite( b n )donnéeparsespremierstermes: 1 2 1 3 1 6 1 12 ,...est-ellearithmétique? Sic'estle cas,l'expli citer. c)L asuite (c n )définieparrécurrenceavecc 0 =5etc n+1 5+3c n 3 est-ellearithmétique? Justifier laré ponseetdonnersonpasdsic' estlecas.

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16GymnasedeBurier

CHAPITRE1.SUITESNUMÉR IQUES

Unesuit epourlaquellele quotientded euxtermesconsécutifsre steconstantest appeléeunesuite géométrique.Envoiciunedéfinitionpr écise.

Définition1.4

Soitr!R.Unesuite(b

nquotesdbs_dbs24.pdfusesText_30

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