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Cours de Morphologie MarhématiqueAntoine MANZANERA ENSTA/LEI11
Cours de morphologie mathématique
Antoine MANZANERA ENSTA/LEIMaster 2 IMA UPMC
Cours de Morphologie MarhématiqueAntoine MANZANERA ENSTA/LEI2
Squelettes morphologiques
Squelettes : introduction.
Squelette morphologique euclidien.
Squelette morphologique discret.
Squelette et résidus.
Squelettes connexes : Squelettes euclidiens multi-échelles (démo). Cours de Morphologie MarhématiqueAntoine MANZANERA ENSTA/LEI3
Squelettes : motivations
delasquelettisation est de représenter un ensemble avec un minimum sousuneformequisoit àlafois simple à extraireetcommode à manipuler. Remarque : Pour les squelettes,onselimitera danslecadre dececoursau casdes ensembles bidimensionnels (images binaires 2D), bien que certaines notionségalement aux dimensions supérieures. Cours de Morphologie MarhématiqueAntoine MANZANERA ENSTA/LEI4
Squelettes : propriétés recherchées (1)
Préservation de la géométrie
Lesquelette doit rendre compte des
propriétés géométriques delaforme : ramifications, parties allongées...
Epaisseur nulle
Le squelette doit être constitué de courbes sans épaisseur.
Préservation de la topologie
Lesquelette doit conserver les relations de connexité : même nombre de composantes connexes, même nombre de trous par composante connexe. Cours de Morphologie MarhématiqueAntoine MANZANERA ENSTA/LEI5
Squelettes : propriétés recherchées (2)
Invariance aux transformations affines
Lesquelette doit commuter avecla
translation,larotationet
Réversibilité
Lesquelette doit permettre de
retrouverlaforme originale
Continuité
Une petite modification delaforme originale doit
induire une petite modification du squelette Cours de Morphologie MarhématiqueAntoine MANZANERA ENSTA/LEI6
Squelette morphologique
axe médian(Blum 67). Il utilise la notion de boule maximale : X B
Une boule Best dite maximale dans Xsi :
BBXBB""
Propriété : une boule
maximale touchela frontièredeXenaumoins deux points distincts
Lesquelette morphologique (euclidien)
estlaréunion des centres de boules (euclidiennes) maximales :
02 dans maximaleest ),(;)(
XxBxXSR
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Propriétés du squelette morphologique (1)
Deparsadéfinition,lesquelette morphologique euclidien respectelagéométrie delaforme originale,etilest invariant par homothétie.Ilpossèdedeplus les propriétés suivantes : Si X est ouvert, alors Xet S(X) ont la même topologie.
Contre-exemple :
X S(X)
Il est anti-extensif et idempotent :
XXS)()())(( XSXSS
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Propriétés du squelette morphologique (2)
Réversibilité :
La donnée de la transformée en distance euclidienne de Xsur S(X) permet de reconstruire exactement X: Cours de Morphologie MarhématiqueAntoine MANZANERA ENSTA/LEI9
Propriétés du squelette morphologique (3)
Non-continuité :
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Squelette morphologique : passage au discret
)(\)( dans maximaleest ),(;)( ),0()1,0(),0(2
XXXrxBxXS
rBBrBr Z
PROPRIÉTÉ
Unpoint x est centreboule maximale
de rayon r dans Xsietseulementsiil appartient àde X par une boulede taille r, mais pas àde cet érodé par laboule élémentaire :
Exemples :
voisinage élémentaire boule de rayon 3 voisinage élémentaire boule de rayon 3
Distance d4Distance d8
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Squelette morphologique : passage au discret
N N r rBBrBr r
XXXSXS
),0()1,0(),0(Lantuéjoul 78 N rrrBXSX )(),0(11 2 3 11 0 Cours de Morphologie MarhématiqueAntoine MANZANERA ENSTA/LEI12
Squelette morphologique : passage au discret
La formule de Lantuéjoul fournit un moyen explicite de calculer le squelette morphologique : )(0XS)()(10XSXS)()()(210XSXSXS )()()()(3210XSXSXSXS
X)(1XB)(2XB)(3XB
)(1XB )(11XBB )(21XBB )(31XBB Cours de Morphologie MarhématiqueAntoine MANZANERA ENSTA/LEI13
Squelette morphologique : passage au discret
le squelette morphologique discret est égal aux maxima locaux de la transformée en distance : ),(),(1),(,;)(ccXxXyyxyXxXS !Contrairementaucascontinu,lesquelette morphologique ne préserve paslatopologie delaforme originale : Lesalgorithmes de squelettisation connexe traitent doncleproblème de préservationdelatopologie directement danslecadre discret. Cours de Morphologie MarhématiqueAntoine MANZANERA ENSTA/LEI14
Squelette morphologique / Erodés ultimes
Squelette morphologique Erodés ultimes
Maxima locaux
de la transformée en distanceMaxima régionauxde la transformée en distance ouvertureouverture par reconstruction REMARQUE : Noter les parallèles entre le squelette morphologique et les érodés ultimes :quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22
INTRODUCTION A LA MORPHOLOGIE MATHEMATIQUE - mathdesc