Équations de droites

Une équation de droite se présente sous la forme : y = ax + b avec a le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine.

GÉOMÉTRIE1

Connaissances du collège nécessaires à ce chapitre ?Évaluer la valeur d'une expression littérale ?Résoudre des équations ?Placer des points dans un repère ?Lire les coordonnées d'un point

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1Soit l"expressiony=-3x+2.

1)Quelle est la valeur deysi :

a)x=-6?b)x=23?2)Quelle est la valeur dexsi : a)y=-5?b)y=-14?

2Soit l"expressiony=0,4x-0,8.

1)Le couple (-2;5) vérifie-t-il cette égalité?

2)Le couple (0;-0,8) vérifie-t-il cette égalité?

3Soit la relation-5y-2x+4=0.

Exprimeryen fonction dex.

4Sur le graphique ci-contre :

1)Quelles sont les coordonnées du point d"intersec-tion de la

droite(HE)avec l"axe des ordonnées?

2)Quelles sont les coordonnées du point d"intersec-tion de la

droite(AF)avec l"axe des abscisses?

3)Repérer les points de ladroite(AF)qui ont des co-

ordonnées entières et citer-les.

4)Quelle est l"abscisse du point d"intersection desdroites

(HE)et(AF)?+1 +10 A+E+F +H ➤➤➤Voir solutions p. 19 1 MS2_2G5_chapitrecomplet" 2014/4/17 18:43 page 2 #2?

Activités d'approche

DÉBAT1Zoom

Dans un repère orthonormal(O;I,J), construire la droite(d)passant par les pointsA(67;41) etB(-23;-4)pour des abscisses de-5 à 5. Présenter, en argumentant, la méthode choisie.

ACTIVITÉ2Équations

SoientA(1;3),B(-2;3)etC(1;1)trois points du plan.

1)Quels sont, parmi les pointsA,BetC, ceux dont les coordonnées vérifient les équations

suivantes? Justifier chacune des réponses.

E2:y=3E4:y=x2-1x+1E6:x2+y2=2

2)Où se trouvent les points du plan dont les coordonnées vérifientE1?

Les représenter dans un repère orthogonal.

3)Reprendre la question précédente avec, dans l"ordre :E2,E3,E4,E5etE6.

4)Classer les équations précédentes selon des critères à expliciter.

DÉBAT3Deux?

Il suffit de deux points distincts pour définir une droite maisest-ce vraiment nécessaire?

1)Tracer la droite(d1)passant par les pointsA(-2;4)etB(3;6).

2)Tracer la droite(d2)passant par le pointC(-3;-1)et de coefficient directeura=-1.

3)Tracer la droite(d3)passant par le pointD(2;-1)et d"ordonnée à l"origineb=3.

4)Tracer la droite(d6)passant par le pointF(3;4)et perpendiculaire à l"axe des abscisses.

5)De combien d"informations a-t-on besoin pour tracer chacune de ces droites?

ACTIVITÉ4Démonstration version 2.0

On définit la droite(AB)comme l"ensemble des pointsMalignés avecAetB. Samir, depuis qu"il a suivi le cours de Maths de son professeur M. Apa, préfère comme définition :

"la droite(AB)est l"ensemble des points M tels que# »AM soit colinéaire à# »AB».

1)Dans cette question, on considère les pointsA(-40;-155)etB(20;25).

M(x,y)est un point pris au hasard dans le plan mais distinct deA.

Traduire, avec ces coordonnées, la condition : "# »AM est colinéaire à# »AB».

En déduire une équation de la droite(AB).

2)Peut-on trouver l"équation de n"importe quelle droite à partir de deux de ses points?

DÉBAT5Point commun

1)Dresser un tableau de valeurs de la fonctionfdéfinie parf(x) =5x-4 sur[-4;4]avec un

pas de 1. Quelle relation semble lier les images de deux nombres consécutifs de la 2eligne du tableau?

2)Étudier de même la fonctiongdéfinie parg(x) =-2x+3 pour confirmer votre conjecture.

3)Prouver votre conjecture.

Chapitre G1.Équations de droites

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Cours - Méthodes

1.Équations de droites

DÉFINITION :Équation de courbe

Uneéquation de courbeest une relation qui lie les coordonnées de tous les points dela courbe. Autrement dit : un point appartient à une courbe si etseulement si ses coordonnées vérifient l"équation de la courbe. REMARQUE:Une courbe peut avoir plusieurs équations. Par exemple, "xy=4»et "2xy=8»sont des équations de la même courbe.

PROPRIÉTÉ :Équation d'une droite

Soit(d), une droite dans un repère(O;I,J).

Si(d)estparallèle à l"axe des ordonnéesalors (d)admet une équation de la formex=coùcest un nombre réel. Si(d)n"est pas parallèle à l"axe des ordonnéesalors (d)admet une équation réduite de la formey=mx+p,metpétant des nombres réels. PREUVEOn se place dans un repère orthonormal (O;I,J). Si(d)estparallèleà l"axe des ordonnées, alors elle coupe l"axe des abscisses en un seul point,C, de coordonnées(c;0). Un pointMde coordonnées(x;y)pris au hasard sur cette droite aura la même abscisse queC. Donc la droite(d)admetx=ccomme équation.

Si(d)n"est pas parallèleà l"axe des ordonnées,(d)et l"axe des ordonnées se coupent en un

point

B, de coordonnées(0;p).

Aest le point de la droite(d)d"abscisse 1.etMun point de coordonnées(x;y)pris au hasard sur la demi-droite [BA) et n"appartenant pas au segment [AB]. Les autres positions du point M et la réciproque seront étudiées dans l"exercice 67.
+-1+1+2+3+4+5+6 +-1+ 1+ 2+ 3+ 4 0

×B(0;p)

×M(x;y)

×D(1;p)×C(x;p)

×A(1;yA)

y-p y A-p 1 x

On place les pointsCetDd"ordonnéep

de manière à ce queBMCsoit rectangle enCetBADsoit rectangle enD.

Ces deux triangles sont en configuration

de Thalès.

Il vient doncBD

BC=DACM=BABM.

Comme le repère est orthonormal, on

évalue ces longueurs à partir des coor-

données des points et l"égalité des deux premiers rapports devient : 1 x=yA-py-p. L"égalité des produits en croix donne :(yA-p)x=y-p. Les nombrespetyA-pne dépendent que de la position de la droite(d)dans le repère.

Ils sont fixes et on notem=yA-p.

(yA-p)x=y-pdevient alorsmx=y-psoity=mx+p. Donc tous les points de la droite(d)vérifient l"équationy=mx+p.

Chapitre G1.Équations de droites3

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Cours - Méthodes

REMARQUES:

On considère le cas des droites non parallèles à l"axe des ordonnées.

Une droite a une infinité d"équations.

L"équation de la formey=mx+pest appelée

équation réduite.

Dans la démonstration précédente, le pointBd"ordonnéepest l"inter- section de la droite avec l"axe des ordonnées. pest appelé ordonnée à l"originede la droite(d). L"égalitéBDBC=DACMpermet aussi d"écrire queDABD=CMBC=m1=m. mest appelé le coefficient directeurde la droite(d). Les accroissements des ordonnées sont proportionnels aux accroisse- ments des abscisses etmest le coefficient de proportionnalité. +-1+1 +-1+ 1 0

B(0;p)M

DC Am 1 ExempleOn considère la droite(d)d"équationy=2x-3.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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