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EQUATIONS DE LA DROITE DANS LE PLAN 1
JtJ - 2019
Chapitre 1 : Équations de la droite dans le plan
§ 1.1 Introduction
Exercice d'introduction :
On considère l'équation vectorielle:
x y =3 2 +k3 2 Représenter, dans un système d'axes Oxy, les points (x ; y) correspondant aux valeurs du paramètre k = -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3.
Par exemple, si k = 4, alors on obtient
x y =3 2 +43
2 =9 10 on représente le point P(9 ; 10).
Vous aurez constaté que tous les points obte
nus sont situés sur une même droite. Nous allons maintenant caractériser les droites dans le plan par leurs équations. § 1.2 Équation vectorielle paramétrique de la droite dans le plan
La droite " vectorielle »:
• Une droite d est entièrement caractérisée par l'un de ses points A(a 1 ; a 2 ) et un vecteur v =v 1 v 2 définissant son orientation. • Ce vecteur v est appelé vecteur directeur de d. • L'ensemble de tous les points M(x ; y) du plan qui appartiennent à la droite d est caractérisé par l'équation vectorielle paramétrique de la droite suivante:
OM=OA+AM=OA+k
v avec k IR x y =a 1 a 2 +kv 1 v 2 avec k IR Que l'on utilisera aussi sous forme d'un système d'équations paramétriques: x=a 1 +kv 1 y=a 2 +kv 2 avec k IR
2 CHAPITRE 1
2M stand/renf géométrie analytique
Remarque:
Si la droite est donnée par deux points A et B, on prend le vecteur
AB comme vecteur directeur.
Exemple:
Donner une équation vectorielle paramétrique de la droite passant par A(2 ; -5) et de vecteur directeur v =2 3
Exemple:
Donner un système d'équations paramétriques de la droite passant par A(2 ; -5) et B(-3 ; 2).
Exercice 1.1:
a) Que peut-on affirmer au sujet des vecteurs directeurs de deux droites parallèles ? b) On considère la droite d d'équation : x y =2 3 +k5 7 Déterminer l'équation paramétrique de la droite parallèle à d et passant par P(8 ; -9). c) Déterminer l'équation paramétrique de la droite perpendiculaire à d et passant par P(8 ; -9). § 1.3 Équations cartésiennes de la droite dans le plan
Rappels :
Vous avez étudié dans un cours d'algèbre de base qu'une droite dans un système d'axes pouvait s'exprimer sous la forme d'une fonction du type: x ----> mx + h • m s'appelle la pente et correspond au calcul : m=variation verticale variation horizontale=y B y A x B x A =y x • h s'appelle ordonnée à l'origine et donne la hauteur à laquelle la droite coupe l'axe y. Ce point d'intersection admet donc les coordonnées H(0 ; h)
EQUATIONS DE LA DROITE DANS LE PLAN 3
JtJ - 2019
Une telle droite peut également s'écrire sous la forme d'une
équation: y = mx + h
ou encore en "amenant" tous les termes du même "côté du =" : ax + by + c = 0 où a, b et c sont si possible des entiers. Les 2 formes d'équations cartésiennes d'une droite dans le plan: (1) y = mx + h (2) ax + by + c = 0
Exemples:
• Donner une 2
ème
forme d'équation cartésienne de y=2 3x+3 4. • Donner la 1
ère
forme d'équation cartésienne de 5x + 2y - 8 = 0. • Déterminer la pente et l'ordonnée à l'origine de la droite d'équation : 3x - 2y + 7 = 0. • Donner les 2 formes de l'équation cartésienne de la droite d passant par le point H(0 ; 8) et de vecteur directeur v =2 3
Exercice 1.2:
Déterminer les 2 formes de l'équation cartésienne de la droite : a) de pente m = -1/7 et d'ordonnée à l'origine h = -2 b) de vecteur directeur v =1 3 passant par H(0 ; 1/2)
4 CHAPITRE 1
2M stand/renf géométrie analytique
Exercice 1.3:
Les points suivants P
1 (0 ; 1/4) ; P 2 (- 2/3 ; 0) ; P 3 (5 ; -1) appartiennent-ils à la droite d'équation: 3x - 8y + 2 = 0 ?
Exercice 1.4:
On considère la droite -3x + 2y - 6 = 0. Chercher le point de cette droite: a) ayant une abscisse égale à 3 (rappel: axe des abscisses = axe Ox) ; b) ayant une ordonnée égale à -4 (rappel: axe des ordonnées = axe Oy) c) ayant ses deux coordonnées égales ; d) situé sur l'axe des abscisses ; e) situé sur l'axe des ordonnées ; f) situé sur la droite 5x - 7y + 4 = 0. § 1.4 Les 4 démarches pour déterminer les équations cartésiennes d'une droite :
Type point - pente :
Donner les 2 formes d'équation cartésienne de la droite passant par A(2 ; 3) et de pente -2.
Exercice 1.5:
Appliquer la même démarche avec A(-1 ; 7) et une pente de 3.
Type point - point :
Donner les 2 formes d'équation cartésienne de la droite passant par A(2 ; 3) et B(-3 ; -5).
Exercice 1.6:
Appliquer la même démarche avec A(-3 ; 4) et B(5 ; 7).
EQUATIONS DE LA DROITE DANS LE PLAN 5
JtJ - 2019
Type point - vect. dir :
Donner les 2 formes d'équation cartésienne de la droite passant par A(4 ; -1) et de vecteur directeur v =2 3
Exercice 1.7:
Appliquer la même démarche avec A(1 ; -2) et v =6 4
Type point - vect. normal :
Donner les 2 formes d'équation cartésienne de la droite passant par A(4 ; -1) et de vecteur normal v =3 5
Exercice 1.8:
Appliquer la même démarche avec A(1 ; -2) et v =6 4
Exercice 1.9:
Déterminer la pente puis une des équations cartésiennes de la droite donnée par: a) un point A(-5 ; 4) et le vecteur directeur v =3 e 1 e 2 b) un point A(3 ; -7) et la pente m = - 1/5 ; c) un point A(-1/2 ; 3/4) et le vecteur directeur v = 2 3 e 1 1 3 e 2 d) les deux points A(7 ; 2) et B(-5 ; 8) ; e) les deux points A(4/3 ; 2/5) et B(3/4 ; -1/3) ; f) un point A(-7 ; 8) et le vecteur directeur v = e 1 g) un point A(4 ; 5) et sachant qu'elle est parallèle à l'axe y.
6 CHAPITRE 1
2M stand/renf géométrie analytique § 1.5 Représentation d'une droite dans un système d'axes 1
ère
méthode: On calcule les coordonnées de deux points (x ; y) satisfaisant l'équation de la droite. 2
ème
méthode: (1) On exprime la droite sous la forme y = mx + h. (2) On pose le point H(0 ; h) qui correspond à l'ordonnée à l'origine. (3) On construit depuis H le triangle de la pente m en utilisant que m = y x (4) On relie H au point ainsi obtenu.
Exemple:
Utiliser la 1
ère
méthode pour construire la droite : (d) : 2x + 4y = 24
Exemple:
Utiliser la 2
ème
méthode pour construire la droite : (d) : 2x + 4y = 24quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
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