Feuille dexercices du cours dAnalyse 2 DUMI2E

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Feuille dexercices du cours dAnalyse 2 DUMI2E — Premi`ere année

Universite Paris Dauphine

Feuille d'exercices du cours d'Analyse 2

DUMI2E | Premiere annee

La plupart des exercices de ce fascicule sont issus de recueil d'exercices disponibles sur internet, souvent avec les corrections. Le siteexo7.emathcouvre le programme du cours (et tres largement au-dela), propose des exercices avec corrections, des cours (polycopie et MOOCS), etc... Il est heberge par la SMAI et la SMF. Adresse du site : http://exo7.emath.fr/ Quelques exercices etant un peu plus delicats, des indications, ecrites en sens inverse, sont suggerees. Il est conseille au lecteur d'essayer dans un premier temps de resoudre ces exercices sans tenir compte des indications. 1

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DUMI2E 1e annee

Analyse 2 | 2015-2016

Feuille 1 de TD

Fonctions trigonometriques et hyperboliques

Exercice 11. Calculer

(i) arcsin(sin(1));(ii) arcsin(sin(195 ));(iii) arctan(tan(165

2. Determiner le domaine de denition des fonctions suivantes et les calculer :

(iv)x!arctan(tan(x)):

3. En s'inspirant de la question ci-dessus, calculer cos(arctan(x)) et sin(arctan(x)) pourx

reel donne.

Exercice 2

1. Calculer arccos(x) + arcsin(x) pour toutx2[1;1].

2. En deduire la solution de l'equation arccos(x) + arcsin(x2x+ 1) ==2.

Exercice 3On posex= arctan(p2).

1. Montrer que 0< 2x < =2 et calculer tan(2x).

2. En deduire que arctan(2

p2) + 2arctan( p2) =.

Exercice 4Soitf(x) = argsh

2xp1 +x2

1. Determiner le domaine de denition defet montrer quefest de classeC1sur son domaine

de denition.

2. Calculerf0(x) et en deduire une expression simple def.

Exercice 51. Montrer que, pour toutx2R, 2arctan(p1 +x2x) + arctan(x) ==2:

2. Montrer que la fonctionh(x) = arctan(p1 +x2x) est une bijection deRdans ]0;+1[.

3. Soitx2Rtel queh(x) ==8. En utilisant la premiere question, calculerxet en deduire

la valeur de tan(=8).

4. Calculer de m^eme tan(=12).

Exercice 6Montrer que l'equation suivante possede une unique solution dans ]0;1=2[ et la calculer : arctan(2x) + arctan(x) =4 2

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Analyse 2 | 2015-2016

Feuille 2 de TD

Developpements limites

Exercice 1Donner le developpement limite enx0a l'ordrendes fonctions:

1.f1(x) = (ln(1 +x))2(n= 4 ,x0= 0)

2.f2(x) = ln(sin(x)) (n= 3 ,x0=4

3.f3(x) =esin(x)(n= 3 ,x0= 0)

4.f4(x) = cos(x):ln(1 +x) (n= 3 ,x0= 0)

5.f5(x) = (1 +x)11+x(n= 3 ,x0= 0)

6.f6(x) = ln(tan(x2

+2 )) (n= 2 ,x0=2

7.f5(x) =p1 +

p1 +x(n= 2 ,x0= 0)

Exercice 2 (Taylor-Young)

1. Soit:g(x) =exexe

x+ex Ecrire la formule de Taylor-Young a l'ordre 3 pourx0= 0. En deduire la position de la tangente au point d'abscissex= 0 par rapport au graphe de g, au voisinage de 0.

2. Soit:h(x) = ln2(1 +x).

Ecrire la formule de Taylor-Young a l'ordre 3 pourx0= 0.

3. On considere la fonctionfdenie sur ]1;0[[]0;+1[ par:f(x) =h(x)x2xg(x).

Deduire des questions precedentes quefadmet une limite lorsquextend vers 0.

Exercice 3Calculer les limites suivantes:

1. lim

x!0e x2cos(x)x 2.

2. lim

x!0ln(1 +x)sin(x)x

3. lim

x!0cosxp1x2x 4.

4. lim

x!0ln(cos(ax))ln(cos(bx))aveca6= 0 etb6= 0. 3

5. lim

x!ax aaxx xaa, aveca >0. Exercice 4[Rattrapage 2008] Calculer, si elles existent, les limites lim x!0f(x);limx!+1f(x) et limx!1f(x); ou la fonctionfest denie surRn f0gpar f(x) :=x3+ sin(2x)2sinxarctan(x3)(arctanx)3: Exercice 5Determiner les valeurs du parametre reelatelles que lim x!0e ax+ex2x 2 existe et est nie.

Exercice 6Calculer le DL d'ordre 5 de la fonction

log(1 + sinx) au voisinage du pointx= 0.

Exercice 7Soitgla fonctionx!arctanx(sinx)31x

1. Donner le domaine de denition deg.

2. Montrer qu'elle se prolonge par continuite en 0 en une fonction derivable.

3. Determiner la tangente en 0 au graphe de cette fonction et la position de ce graphe par

rapport a celle-ci.

Exercice 8Pour tout entiern2N, on poseun=nX

k=1(1)k+11k En appliquant la formule de Taylor-Lagrange a la fonctionx!ln(1 +x), estimer la dierence junln(2)jet en deduire que (un)nest une suite qui converge vers ln2. Exercice 9Soitf(x) = 6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x. Ecrire le developpement limite defa l'ordre 3 au pointx0= 1 et determiner le ou les pointsqui realisent l'egalite dans la formule de Taylor-Lagrange quand on developpef(x) autour dex0= 1 et on prend apresx= 0 Exercice 10Soitf(x) = sin(x2)(sinx)2. Determiner si le pointx0= 0 est un point de minimum ou de maximum local def. Preciser egalement s'il s'agit d'un minimum ou maximum global. M^emes questions pour les fonctionsg(x) = arctan(x3)(arctanx)3eth(x) = (arctanx)2x2. Exercice 11 (Calcul d'asymptotes)Determiner si les fonctions suivantes admettent une asymptote en +1, en1. Si oui, la calculer et determiner la position de la courbe par rapport a l'asymptote. (i)f1(x) =x2lnx+ 1x (ii)f2(x) =x+ 11 +e1=x (iii)f3(x) =px

2+ 1px

21
4 Exercice 12 (Etude locale d'une courbe)Soitfla fonction denie surRpar f(x) =11 +ex:

1. Donner un developpement limite defa l'ordre 3 en zero.

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