[PDF] Chapitre 4 FONCTIONS USUELLES Enoncé des exercices



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Chapitre 4 FONCTIONS USUELLES Enoncé des exercices

Chapitre 4

FONCTIONS USUELLES

Enoncé des exercices

1Les basiques

Exercice 4.1Résoudre

(E

1) :x-1 =√x+ 2 (E2) :x-1≤√x+ 2

Exercice 4.2Déterminer le signe surRdef(x) =e

πx-1

1 +x2-πarctanx.

Exercice 4.3Résoudre49

x8 27
1-x =23

Exercice 4.4Résoudre l'équationx

√x=√xx

Exercice 4.5Résoudre2x3= 3x2

Exercice 4.6Résoudrexx=

√2 2

Exercice 4.7Soita >0un réel, exprimer uniquement à l'aide de√a+ 1le réelchln√a+√a+ 1.

Exercice 4.8Résoudre5chx-4shx= 3

Exercice 4.9Calculer la dérivée dechxcosx+ shxsinx. Exercice 4.10Résoudre l'équationarccos(x) + arcsin(x2-x+ 1) =π2 Exercice 4.11Montrer quearctan2√2+ 2arctan√2=π Exercice 4.12Calculer la valeur exacte desin12arcsin34

Exercice 4.13Calculer la valeur exacte desin1

2arcsin7

25
Exercice 4.14Simplifier la fonctionargsh2x√1 +x2 Exercice 4.15Simplifier la fonctionf(x) = arccosthx+ 2arctanex Exercice 4.16Que pensez vous de la fonctionf(x) = argthx-argth1x?

1. LES BASIQUESCHAPITRE 4. FONCTIONS USUELLES

Exercice 4.17Résoudreargthx= argch1x.

Exercice 4.18Déterminer le domaine de définition, la dérivée et les pointsoù la fonction s'annule pourf(x) =x

1x etg(x) =xn nxoùn∈N∗.

Exercice 4.19Simplifiera

ln(lna) lnapoura >1.

Exercice 4.20Résoudre

arctan(3-x) + arctan 4-1 x =3π4

Exercice 4.21Montrer que∀(a,b)∈R2,on ae

a+b

2≤12e

a+eb

Exercice 4.22Résoudrearcsin(x) = arcsin45

+ arcsin513

Exercice 4.23Simplifier la fonctionf(x) = 2arctan√1 +x2-x+ arctanx.En déduire la valeur detanπ8et

tan 12

Exercice 4.24Montrer que

arctan

2√

2 + 2arctan√2 Montrer que ce résultat est équivalent à la formule de Wetherfield

2arctan

1 √2+ arctan12√2=π2 Exercice 4.25Résoudreargsh(x-1) = argch√x. Exercice 4.26On veut déterminer les réelsxtels que arctan(x-1) = arctan1 x+ arctan198

1. Soitf(x) = arctan(x-1)-arctan1

x. Etudier rapidement la fonctionf,en déduire que l'équation admet une unique solution plus grande que1.

2. Résoudre l'équation.

Exercice 4.27Simpifier la fonction

f(x) = 2argth(tanx)-argth(sin2x)

(on commencera par préciser le domaine de définition def, sa périodicité, sa parité afin de réduire le domaine d'étude).

Exercice 4.28On définit la fonctionfpar

f(x) = argsh 2x 1 +x2

Préciser son ensemble de définition. Sur quel ensemblefest-elle dérivable? Préciser alors la dérivée def.En déduire

une expression plus simple def.

Exercice 4.29Montrer l'inégalité de Huygens

2sinα+ tanα≥3αsiα∈

0,π

2 et son analogue hyperbolique

2shx+ thx≥3xsix≥0

- 2/29 -

G´ H

- E

M -() 2009

CHAPITRE 4. FONCTIONS USUELLES2. LES TECHNIQUES

2Les techniques

Exercice 4.30Déterminer(n,p)∈(N∗)2tels quen < petnp=pn

Exercice 4.31Soitz=a+iboùa >0, b >0.On noteargzl'unique argument dezcompris dans l'intervalle]-π,π].

Justifier queargz= arctanb

a. En déduire la formule deH (1776)

4= 2arctan13+ arctan17

Exercice 4.32Résoudre

(E) : arctan(x-1) + arctan(x) + arctan(x+ 1) =π 2 Exercice 4.33Résoudrearctan(x) + arctanx3=3π 4 Exercice 4.34On se propose de trouver les réelsxtels que

2arctan

1-x x + arcsin(2x-1) =π2

1. Déterminer l'ensemble de définitionD

fde la fonctionfdéfinie parf(x) = 2arctan 1-x x +arcsin(2x-1)

2. Soitx∈D

f, on poseθ= arcsin(√x).

Justifier queθest bien défini et préciser à quel intervalle il appartient, exprimerxen fonction d'une des lignes

trigonométriques deθ.

3. Exprimer

1-x xet2x-1en fonction deθet conclure

4. Retrouver les résultats en utilisant la dérivée def.

Exercice 4.35Résoudrearcsin(x) + arccos(2x) =a,poura=π

2,π,π

6. Exercice 4.36Résoudre l'équationarcsin(2x)-arcsin(x√3) = arcsin(x)

Exercice 4.37Simplifier la fonctionargthx

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