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Problème 1 : continuité uniforme
Étant donnée une fonctionfde variable réelle définie sur un intervalleId"intérieur non vide, on dit
quefest uniformément continue surIlorsque : ?ε >0,?η >0,?(x,y)?I2,? |x-y|?η? |f(x)-f(y)|?ε?
1. Écrire à l"aide de quantificateurs la proposition "fn"est pas uniformément continue surI».
2. On rappelle qu"une fonctionfest lipschitzienne de rapportk, oùkest un réel strictement
positif, si pour tout couple(x,y)d"éléments deIon a : |f(x)-f(y)|?k|x-y| Montrer que toute fonction lipschitzienne surIest uniformément continue surI. 3.
3.1. Montrer que pour tous réelsxetyon a :
|y| - |x|??? ?|y-x|
3.2. On considère la fonctionfdéfinie surRpar :
f(x) =1
1 +|x|
Montrer quefest uniformément continue surR.
4.
4.1. Montrer que pour tous réels positifsxetyon a :
??|x-y|
4.2. Montrer que la fonctiong:x?→⎷
xest uniformément continue surR+.
4.3. Montrer que la fonctiongn"est pas lipschitzienne surR+.
5.
5.1. En considérant les deux suites de réels(xn)n?Net(yn)n?Ndéfinies pour tout entiernpar
x n=⎷ n+ 1etyn=⎷n, montrer que la fonctionh:x?→x2n"est pas uniformément continue surR.
5.2. La fonctionhest-elle lipschitzienne surR?
6. SoitFun application uniformément continue deR+dansR. On se propose de montrer qu"il
existe deux réelsaetbtels que, pour toutx?R+:
F(x)?ax+b
6.1. Justifier l"existence d"un réelη1strictement positif tel que :
?(x,y)?(R+)2,? |x-y|?η1? |F(x)-F(y)|?1?
Soitx0?R+.
6.2. Soitn0le plus petit entier tel quex0
n0?η1; justifier l"existence den0et exprimern0en fonction dex0et deη1. 2/6
6.3. Montrer que :
|F(x0)-F(0)|?n 0-1? k=0
F?(k+ 1)x0
n0? -F?kx0n0?
6.4. Conclure.
7.
7.1. Les fonctions polynômes de degré supérieur ou égal à 2 sont-elles uniformément continues
surR?
7.2. La fonction exponentielle est-elle uniformément continue surR?
8.Théorème de HeineSoitI= [a;b](a < b) un segment deR. On se propose de démontrer le théorème de Heine1:si
une fonctionGest continue surIalors elle est uniformément continue surI. On suppose dans la suite queGest une fonction continue surI= [a;b]et queGn"est pas uniformément continue surI.
8.1. Justifier qu"il existe un réelε >0et deux suites(xn)n?1et(yn)n?1d"éléments deItels
que pour tout entiern?1: |xn-yn|?1 net|G(xn)-G(yn)|> ε
8.2. Justifier qu"il existe deux sous-suites(xσ(n))n?1et(yσ(n))n?1convergentes telles que pour
tout entiern?1: |xσ(n)-yσ(n)|?1 net|G(xσ(n))-G(yσ(n))|> ε
8.3. Montrer que :
limn→+∞xσ(n)= limn→+∞yσ(n)
8.4. Conclure.
9. SoitJun intervalle d"intérieur non vide. Si une fonctionGest uniformément continue sur tout
intervalle[a;b]inclus dansJ,Gest-elle nécessairement uniformément continue surJ?
Problème 2 : marches aléatoires
Partie A: quelques résultats d"analyse
1. On considère la suite(Hn)n?1définie par :
H n=n? k=11 k
1.1. Montrer que pour tout entierk?1:
1 k+ 1?? k+1 k1tdt?1k
1.2. En déduire que pour toutn?1:
ln(n+ 1)?Hn?1 + ln(n) puis que H n≂+∞ln(n)
1. Eduard Heine (1821-1881), mathématicien allemand
3/6
2. On considère la suite(Kn)n?1définie par :
K n=n? k=11 k2 Montrer, à l"aide des outils de terminale scientifique, que la suite(Kn)n?1converge; on notera Kla limite de cette suite (on ne demande pas de calculerK).
3. On pose pour tout entier naturelnnon nul :
a n=⎷ n 4n? 2n n?
On admet la formule de Stirling
2: n!≂+∞? n e? n?2πn
Montrer que la suite(an)n?N?converge vers1
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