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FONCTIONS DE CLASSE C1
La notion de classe
1
Cpour une fonction est
présente en analyse (étude de fonctions numériques à une variable réelle, intégrations par parties) et en probabilités (fonction de e variable aléatoire à densité). de plusieurs exercices, nous allons travailler cette notion.
Ces exercices nous permettront
(continuité, dérivabilité, limites, dérivées). Cours
1) Définition
Une fonction numériqueféfinie sur un intervalleIest dite de classe 1 Csi elle est dérivable sur cet intervalle et si sa dérivée'fest continue sur cet intervalle.
2) Propriétés
a) Si fetgsont deux fonctions de classe 1
Csur un intervalleIalors les
fonctions fgetfgsont de classe 1
CsurI͘
Si de plus
gI, alors f g est de classe 1
CsurI.
b) Si fest une fonction de classe 1
Csur un intervalleIet si gest une
fonction de classe 1
Csur un intervalleJfI ,alors
la fonction gffest de classe 1
CI͘
Remarque.
La fonction
fétant de classe 1
CI, elle est dérivable donc
continue sur cet intervalle.
FONCTIONS DE CLASSE
C 1 (théorème des valeurs intermédiaires), on peut donc affirmer que fIest un intervalle.
Exercice 1
On considère la fonction numériquefde la variable réellextelle que
0 si 0
sinon lnx fx x x 1) f.
2) La fonction
f est-elle dérivable en 0 ?
3) Justifier que la fonction
fest de classe 1
Csur 0,1.
4) Dresser le tableau des variations de la fonction
f. (On y fera apparaître les différentes limites et la valeur defe)
On considère la suite
vtelle que 0 3vet 1 ,ln n n n vnvv 1 ln n v, n 1n v, n
5) Montrer que
n nve , n ve, n v, n
6) Justifier que la suite
vconverge et déterminer sa limite.
Correction
1. lnx x existe si et seulement si 0xet ln 0x. lnx x existe si et seulement si 0xet 1x.
0fexiste donc la fonctionfest définie sur 0,1 1,1,
2. Pour
0
01ln0,1 , 00ln
x x fx f xxxxx puisque 0 limln x x
La fonction
fest donc dérivable en 0 et'0 0f
FONCTIONS DE CLASSE C110
3. La fonctionfest de classe
1
Csur0,1et sur1,comme quotient de
fonctions de classe 1
C0,1 et sur
1,.
Pour établir le caractère
1
Cde la fonctionfsur chaque
intervalle ouvert on utilise les théorèmes généraux rappelés en début de chapitre. 22 2
11lnln 1 1 10,1 1, , 'ln(ln )ln lnxx
xxxfxxxxx 0 limln x x donc 0
1lim 0ln
x x et 20
1lim 0ln
x x
Finalement
0 lim ' 0 ' 0 ' x fx f f continue en 0.
La fonction
fest de classe 1
Csur0,1.
4. 22
1ln 1ln 10,1 1, , 'ln lnxx
xxxfxxx est du signe de ln 1x : ln 1 0 ln 1xxxe ln 1 0 ln 1xxxe
La fonction
fest dérivable donc continue en 0 : 0 lim 0 0 x fx f 1 1 1 lim 1 limlim ln 0 x x x x fxx 1 1quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2
Problème 1 : continuité uniforme