[PDF] Dé?nition 25 (Intégrabilité au sens de Riemann) R 6



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Dé?nition 25 (Intégrabilité au sens de Riemann) R 6 Définition 2.5. (Intégrabilité au sens de Riemann)

Une fonction réellef:[a,b]

?Rest dite intégrable sur[a,b], si ??>0,?f1, f2:[a,b] ?Rfonctions en escaliers telles que:

1.f1?f?f2(i.e.?x?[a,b], f1(x)?f(x)?f2(x))

2.?

ab f

2(x)dx-?

ab f

1(x)dx

Théorème 2.6. (Intégrale définie)

On suppose que la fonction réellef:[a,b]

?Rest intégrable sur[a,b]. Considérons alors une subdivision régulièrea=x0Note 2.9.Dans l"expression? ab f(x)dx,aetbsont les bornes d"intégration,x est la variable d"intégration; c"est une variable muette. Elle peut donc être rem- placée par toute autre variable, à l"exception de celles desbornes d"intégration et bien sûr de la variable utilisée pour nommée la fonction. Ainsi, sif: [a, b] ?R est intégrable sur[a,b], on a les égalités suivantes:? ab f(x)dx=? ab f(t)dt =? ab f(u)du=? ab f(v)dv=? ab f(y)dy.20Intégration: fonction réelle d"une variable réelle.

2.3 Les propriétés des intégrales définiesOn suppose dans la liste des propriétés ci-dessous que[a,b]est un intervalle fermé

borné deR,fetgsont des fonctions intégrables sur[a,b].

1. Quand les bornes d"intégration sont confondues:

aa f(x)dx=0

2. La relation de Chasles:

?c?[a,b],? ac f(x)dx+? cb f(x)dx=? ab f(x)dx

3. Quand on permute les bornes d"intégration:?

ba f(x)dx=-? ab f(x)dx

4. La linéarité:

i.? ab (f+g)(x)dx=? ab f(x)dx+? ab g(x)dx (l"intégrale de la somme est égale à la somme des intégrales) ii. ?λ?R,? ab (λf)(x)dx=λ?quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2