Problème 1 : continuité uniforme

1.fn"est pas uniformément continue surIsi et seulement si

?ε > 0/?η > 0,?(x,y)?I2/(|x-y|?ηet|f(x) -f(y)|> ε).

2.Soitfune fonctionk-lipschitzienne surIaveck > 0. Soitε > 0.

Soitη=ε

k. Soientxetydeux réels deItels que|x-y|?η. Alors |f(x) -f(y)|?k|x-y|?kη=ε.

On a montré que?ε > 0,?η > 0/?(x,y)?I2,(|x-y|?η?|f(x)-f(y)|?ε)et doncfest uniformément continue surI.

3.1Soit(x,y)?R2.|x|=|(x-y) +y|?|x-y|±|y|et donc|x|-|y|?|x-y|. En appliquant ce résultat àyetx, on a

aussi|y|-|x|?|y-x|. Comme||x|-|y||est l"un des deux nombres|x|-|y|ou|y|-|x|, on a montré que||x|-|y||?|x-y|.

3.2Soit(x,y)?R2.

|f(x) -f(y)|=????1

1+|x|-11+|y|????

Donc, la fonctionfest1-lipschitzienne surRet en particulierfest uniformément continue surRd"après la question 2.

4.1Soientxetydeux réels positifs.

et donc, puisque les deux nombres x+yet⎷x+⎷ysont positifs, on en déduit que⎷x+y?⎷x+⎷yparstricte croissance de la fonctiont?→t2surR+.

Soientxetydeux réels positifs.

x=⎷y+x-y??y+|x-y|?⎷y+?|y-x|, et donc

x-⎷y??|x-y|. En appliquant àyetx, on a aussi⎷y-⎷x??|x-y|et finalement??⎷x-⎷y????|x-y|.

4.2Soitε > 0. Soitη=ε2> 0. Soientxetydeux réels positifs tels que|x-y|?η. Alors

x-⎷y????|x-y|?⎷ε2=ε.

On a montré que?ε > 0,?η > 0/?(x,y)?[0,+∞[2,(|x-y|?η?|g(x) -g(y)|?ε)et doncgest uniformément

continue sur[0,+∞[.

4.3Il s"agit de prouver que l"ensembleA=?|⎷

x-⎷y| |x-y|, x?0, y?0, x?=y? n"est pas une partie majorée deR. Cet ensemble contient les nombres de la forme x-⎷0| |x-0|=1⎷xoùx > 0. Comme limx→0+1⎷x= +∞, l"ensembleAn"est pas majoré et donc la fonctiongn"est pas lipschitzienne surR+. 5.

5.1Soitε=1

2. Soitη > 0. Soitn?N?puisxn=⎷n+etyn=⎷n.

4η2

On choisit alorsn=E?1

4η2?

+1. D"après ce qui précède, on a|xn-yn|?η. D"autre part, |x2n-y2n|=x2n-y2n=n+1-n=1 > ε.

On a montré que?ε > 0/?η > 0,?(x,y)?R2/(|x-y|?ηet|h(x) -h(y)|> ε)et donc que la fonctionhn"est pas

uniformément continue surR.

5.2Puisquehn"est pas uniformément continue surR,hn"est pas lipschitzienne surRpar contraposition de l"implication

obtenue à la question 2. 6.

6.1Fest uniformément continue surR+. On peut donc appliquer la définition de l"uniforme continuité avecε=1et on

obtient ?η1> 0/?(x,y)?(R+)2,(|x-y|?η1?|F(x) -F(y)|?1).

6.2Soitn?N?.

x 0 n?η1?x0η1?n?n?E?x0η1? On en déduit l"existence et l"unicité den0:n0=1six0

η1< 1

E?x0

η1?

six0η1?1(carn0?N?). 6.3 n 0-1? k=0?

F?(k+1)x0

n0? -F?kx0n0?? =F?n0x0n0? -F(0) =F(x0) -F(0)(somme télescopique). Par suite, |F(x0) -F(0)|=n 0-1? k=0?

F?(k+1)x0

n0? -F?kx0n0?? ??n 0-1? k=0????

F?(k+1)x0n0?

-F?kx0n0?

6.4Soitk??0,n-1?.????(k+1)x0

n0-kx0n0???? =x0n0?η1et donc????quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

[PDF] Problème 1 : continuité uniforme - CNRS