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![Continuité et dérivabilité d’une fonction Continuité et dérivabilité d’une fonction](https://pdfprof.com/Listes/18/14347-18EP1_2012.pdf.pdf.jpg)
Problème 1 : continuité uniforme
Étant donnée une fonctionfde variable réelle définie sur un intervalleId"intérieur non vide, on dit
quefest uniformément continue surIlorsque : ?ε >0,?η >0,?(x,y)?I2,? |x-y|?η? |f(x)-f(y)|?ε?1. Écrire à l"aide de quantificateurs la proposition "fn"est pas uniformément continue surI».
2. On rappelle qu"une fonctionfest lipschitzienne de rapportk, oùkest un réel strictement
positif, si pour tout couple(x,y)d"éléments deIon a : |f(x)-f(y)|?k|x-y| Montrer que toute fonction lipschitzienne surIest uniformément continue surI. 3.3.1. Montrer que pour tous réelsxetyon a :
|y| - |x|??? ?|y-x|3.2. On considère la fonctionfdéfinie surRpar :
f(x) =11 +|x|
Montrer quefest uniformément continue surR.
4.4.1. Montrer que pour tous réels positifsxetyon a :
??|x-y|4.2. Montrer que la fonctiong:x?→⎷
xest uniformément continue surR+.4.3. Montrer que la fonctiongn"est pas lipschitzienne surR+.
5.5.1. En considérant les deux suites de réels(xn)n?Net(yn)n?Ndéfinies pour tout entiernpar
x n=⎷ n+ 1etyn=⎷n, montrer que la fonctionh:x?→x2n"est pas uniformément continue surR.5.2. La fonctionhest-elle lipschitzienne surR?
6. SoitFun application uniformément continue deR+dansR. On se propose de montrer qu"il
existe deux réelsaetbtels que, pour toutx?R+:F(x)?ax+b
6.1. Justifier l"existence d"un réelη1strictement positif tel que :
?(x,y)?(R+)2,? |x-y|?η1? |F(x)-F(y)|?1?Soitx0?R+.
6.2. Soitn0le plus petit entier tel quex0
n0?η1; justifier l"existence den0et exprimern0en fonction dex0et deη1. 2/66.3. Montrer que :
|F(x0)-F(0)|?n 0-1? k=0F?(k+ 1)x0
n0? -F?kx0n0?6.4. Conclure.
7.7.1. Les fonctions polynômes de degré supérieur ou égal à 2 sont-elles uniformément continues
surR?7.2. La fonction exponentielle est-elle uniformément continue surR?
8.Théorème de HeineSoitI= [a;b](a < b) un segment deR. On se propose de démontrer le théorème de Heine1:si
une fonctionGest continue surIalors elle est uniformément continue surI. On suppose dans la suite queGest une fonction continue surI= [a;b]et queGn"est pas uniformément continue surI.8.1. Justifier qu"il existe un réelε >0et deux suites(xn)n?1et(yn)n?1d"éléments deItels
que pour tout entiern?1: |xn-yn|?1 net|G(xn)-G(yn)|> ε8.2. Justifier qu"il existe deux sous-suites(xσ(n))n?1et(yσ(n))n?1convergentes telles que pour
tout entiern?1: |xσ(n)-yσ(n)|?1 net|G(xσ(n))-G(yσ(n))|> ε8.3. Montrer que :
limn→+∞xσ(n)= limn→+∞yσ(n)8.4. Conclure.
9. SoitJun intervalle d"intérieur non vide. Si une fonctionGest uniformément continue sur tout
intervalle[a;b]inclus dansJ,Gest-elle nécessairement uniformément continue surJ?Problème 2 : marches aléatoires
Partie A: quelques résultats d"analyse
1. On considère la suite(Hn)n?1définie par :
H n=n? k=11 k1.1. Montrer que pour tout entierk?1:
1 k+ 1?? k+1 k1tdt?1k1.2. En déduire que pour toutn?1:
ln(n+ 1)?Hn?1 + ln(n) puis que H n≂+∞ln(n)1. Eduard Heine (1821-1881), mathématicien allemand
3/62. On considère la suite(Kn)n?1définie par :
K n=n? k=11 k2 Montrer, à l"aide des outils de terminale scientifique, que la suite(Kn)n?1converge; on notera Kla limite de cette suite (on ne demande pas de calculerK).3. On pose pour tout entier naturelnnon nul :
a n=⎷ n 4n? 2n n?On admet la formule de Stirling
2: n!≂+∞? n e? n?2πnMontrer que la suite(an)n?N?converge vers1
4. Montrer que, pour tout entiernnon nul, on a :
a n+1 an-1 =? n+ 1-⎷n? 22⎷n⎷n+ 1
5. En déduire que la suite(an)n?N?est croissante et que pour tout entiern?1:
a n?1 6.6.1. Montrer que pour tous réelsaetbon a :(a+b)2?4ab.
6.2. En déduire que, pour tout entier naturelnnon nul :
n+ 1-⎷n?2?14?n(n+ 1)
7.7.1. Montrer que pour tout entiern?1:
0?an+1-an?1
8n(n+ 1)⎷π
7.2. Montrer que pour tout entierk?1et tout entierp?k:
0?ap-ak?1
8k⎷π
7.3. En déduire que, pour tout entierknon nul :
0?1 ⎷π-ak?18k⎷π2. James Stirling (1692-1770) mathématicien écossais
4/6Partie B: marche aléatoire sur une droite
Soit(O;#»ı)un axe gradué. Dans la suite du problème, tous les instants considérés sont des nombres
entiers naturels.Une particule située sur un point d"abscissek?Zsaute à chaque instant sur le point d"abscissek+1
ou sur le point d"abscissek-1, avec la même probabilité. Chaque saut est indépendant du précédent. La particule est à l"origine à l"instantt= 0.On noteOkla variable aléatoire égale à1si la particule est à l"origine à l"instantt=ket0sinon et
U nla variable aléatoire égale au nombre de passages enOde la particule entre les instants1et2n (n?1).1. Exprimer la variableUnen fonction des variablesOk.
2. Pour toutk?1, montrer que :
2.1.P(O2k+1= 1) = 0;
2.2.P(O2k= 1) =1
4k? 2k k? =ak⎷k.3. Calculer l"espérance mathématiqueE(Un)de la variable aléatoireUnet montrer que, pour tout
entiern?1:E(Un) =(2n+ 1)
4n? 2n n? -14. En déduire un équivalent deE(Un)lorsquentend vers+∞.
Partie C: marche aléatoire sur un plan
Un plan est rapporté à un repère(O;#»ı ,#»?). Une particule située sur un point de coordonnées
(k,?)?Z2saute à chaque instant sur l"un des points de coordonnées(k+ 1,?+ 1),(k+ 1,?-1),(k-1,?+ 1)ou(k-1,?-1)avec la même probabilité (c"est-à-dire qu"à chaque étape, la particule
se déplace selon la diagonale d"un carré). Chaque saut est indépendant du précédent. La particule est à l"origine à l"instantt= 0.On noteOkla variable aléatoire égale à1si la particule est à l"origine à l"instantt=ket0sinon et
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