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Espaces vectoriels normés Convergence et continuité

Chapitre 5Espaces vectoriels normésConvergence et continuitéDans ce chapitre,Edésigne unK-espace vectoriel avecK=RouC,et| · |désigne la valeurabsolue (siK=R) ou le module (siK=C).Le mot topologie signifie en grec, " discours sur le lieu ». Il s"agit de donner des définitionsrigoureuses des notions de proximité, de distance, et en corollaire, de limite et de continuité, dansdes espaces abstraits. Nous nous placerons dans le cadre déjà très riche des espaces vectoriels :intuitivement, mesurer la distance entre deux élémentsxetydeEpeut se faire en mesurant ladifférencex-y(la notion de différence ayant un sens dans un espace vectoriel). Il reste à définirce que l"on entend par cette idée de mesurer des vecteurs.I. Espaces vectoriels normés1. NormesOn appellenormesurEtoute applicationNtelle que :•Nest définie surEet à valeurs dansR+;•Pour toutλ?K, pour toutx?E,N(λx) =|λ|N(x)(homogénéité);•Pour toutx?E,N(x) = 0si et seulement six= 0(séparation);•Pour toutx?E, pour touty?E,N(x+y)?N(x) +N(y)(inégalité triangu-laire).Le couple(E,N)est alors appeléespace vectoriel normé. S"il n"y a pas d"ambiguïtésur la norme, on dira simplement queEest un espace vectoriel normé.Définition - NormeRemarque -Cette définition est donnée par analogie avec la valeur absolue ou le module. Unenorme est d"ailleurs très souvent notée, non pas comme une applicationN, mais suivant cetteanalogie, avec des doubles barres : la norme dexest notée?x?.Exemples•SurKSurK,x?→ |x|est une norme. En fait c"est presque la seule : soitNune norme surK, alors pourtoutλ?K,N(λ) =N(λ·1) =|λ|N(1).Toute norme surKest proportionnelle à| · |.•Norme associée à un produit scalaire(voir le chapitreEspaces préhilbertiens, espaceseuclidiens).SoitEunR-espace vectoriel muni d"un produit scalaire(·|·).Alors l"application? · ?:?E→R+x?→?(x|x)

est une norme surE, appelée norme euclidienne. L"inégalité triangulaire estune conséquence del"inégalité de Cauchy-Schwarz|(x|y)|??x??y?.En effet, pour tout(x,y)?E2,?x+y?2= (x+y|x+y) =?x?2+ 2(x|y) +?y?2??x?2+ 2?x??y?+?y?2= (?x?+?y?)2.•SurKnPour toutx= (x1,...,xn)?Kn, on définitN1(x) =?x?1=n?i=1|xi|,N2(x) =?x?2=????n?i=1|xi|2N∞(x) =?x?∞= supi?[[1,n]]|xi|= maxi?[[1,n]]|xi|.Elles sont appelées respectivement " norme 1 », " norme 2 », et" norme infini ».Toutes les propriétés sont évidentes sauf l"inégalité triangulaire : six= (x1,...,xn)?Knety= (y1,...,yn)?Kn, alors?x+y?1=n?i=1|xi+yi|?n?i=1(|xi|+|yi|)?n?i=1|xi|+n?i=1|yi|=?x?1+?y?1.Cela prouve l"inégalité triangulaire pour la norme 1. La norme 2 surRnest la norme euclidienneassociée au produit scalaire défini par(x|y) =n?i=1xiyi.Pour la norme 2 surCn, on remarque que?x+y?2=?n?i=1|xi+yi|2?1/2??n?i=1(|xi|+|yi|)2?1/2=?X+Y?2oùXetYdésignent les vecteurs(|x1|,...,|xn|)et(|y1|,...,|yn|).Ces vecteurs étant à coefficientsréels, on a?X+Y?2??X?2+?Y?2=?x?2+?y?2.On a donc aussi l"inégalité triangulaire dans ce cas.Quant à la norme infini, pour touti?[[1,n]], on a|xi+yi|?|xi|+|yi|?maxj?[[1,n]]|xj|+ maxj?[[1,n]]|yj|=?x?∞+?y?∞.Le majorant étant indépendant dei, en passant au maximum gauche, on en déduit?x+y?∞= maxi?[[1,n]]|xi+yi|??x?∞+?y?∞.

•SurB(I,K)SoitIun intervalle (non vide) deR. L"ensembleB(I,K)des fonctions bornées deIdansK,muni de l"addition des fonctions et du produit d"une fonction par un scalaire, est unK-espacevectoriel. Pourf?B(I,K), on définitN∞(f) =?f?∞= supx?I|f(x)|.L"applicationN∞est appelée "norme infini» ou norme de la convergence uniforme (cette dernièreappellation sera expliquée dans le chapitreSuites et séries de fonctions). Elle est bien définie,car sif?B(I,K), l"ensemble{|f(x)|;x?I}est une partie non vide majorée deR, elle a doncune borne supérieure.Prouvons simplement l"inégalité triangulaire, les autrespropriétés étant évidentes. Soientfetgdeux éléments deB(I,K).Par définition, pour toutx?I,|f(x) +g(x)|?|f(x)|+|g(x)|?supy?I|f(y)|+ supy?I|g(y)|.Le majorant étant indépendant dex, en passant à la borne supérieure à gauche, on en déduitsupx?I|f(x) +g(x)|?supy?I|f(y)|+ supy?I|g(y)|,c"est-à-dire?f+g?∞??f?∞+?g?∞.Remarque -Si[a,b]est un segment deR, on aC0([a,b],K)?B([a,b],K)car la fonction|f|estcontinue sur un segment, à valeurs réelles, donc elle est bornée et atteint ses bornes. Ceci montreaussi que pourf? C0([a,b],K),?f?∞= maxx?[a,b]|f(x)|.Soit(E,? · ?)un espace vectoriel normé. Alors, pour tout(x,y)?E2,???x? - ?yx-y?.PropriétéDémonstration -On remarque quex= (x-y) +yet donc, d"après l"inégalité triangulaire,?x???x-y?+?y?,ce qui implique que?x? - ?y???x-y?.De même, en écrivanty= (y-x) +x, on montre que?y? - ?x???x-y?.De ces deux inégalités, on déduit le résultat.?Remarque -Cette deuxième forme de l"inégalité triangulaire est très utile pour obtenir des infor-mations sur la norme d"un vecteur, à partir d"informations sur sa distance à d"autres vecteurs.

2. Distance associée, boules et sphèresSoit(E,? · ?)un espace vectoriel normé. L"applicationd:?E×E→R+(x,y)?→ ?x-y?est appeléedistanceassociée à la norme? · ?.Il est immédiat qu"elle possède les propriétés suivantes :•Pour tout(x,y)?E2,d(x,y) =d(y,x)(symétrie),•Pour tout(x,y)?E2,d(x,y) = 0si et seulement six=y(séparation),•Pour tout(x,y,z)?E3,d(x,y)?d(x,z) +d(z,y)(inégalité triangulaire).Propriété/Définition : Distance associée à une normeSoit(E,? · ?)un espace vectoriel normé. Soienta?Eetr?R+.•On appelleboule ouvertede centreaet de rayonrl"ensemble, notéB(a,r),définipar :B(a,r) ={x?E;d(a,x)< r}={x?E;?x-a?< r}.•On appelleboule ferméede centreaet de rayonrl"ensemble, notéBf(a,r),définipar :Bf(a,r) ={x?E;d(a,x)≤r}={x?E;?x-a??r}.•On appellesphèrede centreaet de rayonrl"ensemble, notéS(a,r),défini par :S(a,r) ={x?E;d(a,x) =r}={x?E;?x-a?=r}.On remarquera queS(a,r) =Bf(a,r)\B(a,r).Définition - Boules ouvertes, boules fermées, sphèresExemples•B(a,0) =∅,Bf(a,0) =S(a,0) ={a}.•B(0,1)etBf(0,1)sont appelées respectivement boules unité ouverte et fermée deE.Exercice -Dessiner les boules unités deR2muni des normes 1, 2 et infini.3. Suites d"éléments d"un espace vectorielL"un des objectifs majeurs de ce chapitre est l"étude des suites d"éléments deE; commençonspar définir cette notion, par généralisation évidente de la notion de suite réelle ou complexe :On appellesuited"éléments deEtoute applicationu:N→E.Pour toutn?N, on note alorsun=u(n)le terme de rangnde cette suite. La suiteest notée(un)n?Nou(un).On considère également des suites définies à partir d"un certain rangn0, c"est-à-diredéfinies sur l"ensemble des entiers supérieurs ou égaux àn0. On note(un)n?n0une tellesuite.DéfinitionRemarque -L"ensemble des suites d"éléments deEest alors muni d"une structure deK-espacevectoriel en définissant, pour deux suites(un)et(vn)et pourλ?K,(un) + (vn) = (un+vn), λ(un) = (λun).

Exemple -SoitA?Mp(K). Alors(An)n?Nest une suite d"éléments deMp(K): c"est la suite despuissances deA.On définit alors les suites extraites d"une suite d"élémentsdeEde la même façon que cela aété fait pour les suites réelles ou complexes.4. Parties, suites et fonctions bornéesSoit(E,? · ?)un espace vectoriel normé.•SoitAune partie deE. On dit queAestbornées"il existeM?0tel queA?Bf(0,M), c"est-à-dire, s"il existeM?0tel que pour toutx?A,?x??M.•Soit(un)une suite d"éléments deE. On dit que(un)estbornées"il existeM?0tel que pour toutn?N,?un??M.•Soit(F,N)un espace vectoriel normé,Aune partie deEetf:A→Fune fonction.On dit quefestbornéesif(A)est une partie bornée deF, c"est-à-dire, s"il existeM?0tel que pour toutx?A,N(f(x))?M.DéfinitionExemples•Une boule ferméeBf(a,r)deEest une partie bornée. En effet, pour toutx?Bf(a,r),?x?=?(x-a) +a???x-a?+?a??r+?a?.La définition est donc vérifiée avecM=r+?a?.On raisonne de même avec les boules ouvertes,ou les sphères.•On munitC0([0,1],R)de la norme infini. Soit, pour toutn?N,fn:x?→⎷nxn.La suite(fn)n?Nn"est pas bornée car pour toutn?N,?fn?∞=⎷n,donc?fn?∞→+∞;la définition ne peut être vérifiée pour aucune valeur deM.•On munitR3etR2de la norme infini. La fonctionf:?[0,1]3→R2(x,y,z)?→(x-y+ 2z,x2+y2+z2)est bornée car pour tout(x,y,z)?[0,1]3,?f(x,y,z)?∞= max{|x-y+ 2z|,|x2+y2+z2|}?max{|x|+|y|+ 2|z|,x2+y2+z2}?4.5. Parties convexesSoitAune partie deE. On dit queAestconvexesi?(a,b)?A2,?λ?[0,1], λa+ (1-λ)b?A.Autrement dit,Aest convexe siAcontient tout segment dont il contient les deuxextrémités.Définition - Partie convexeUne boule (ouverte ou fermée) est convexe.Propriété

Démonstration -SoitBf(c,r)une boule fermée (on raisonne de même avec une boule ouverte).Soientaetbdeux éléments deBf(c,r)etλ?[0,1]; alors?λa+ (1-λ)b-c?=?(λa+ (1-λ)b)-(λc+ (1-λ)c)?=?λ(a-c) + (1-λ)(b-c)?.D"après l"inégalité triangulaire et la propriété d"homogénéité, sachant queλ?0et1-λ?0, ona?λa+ (1-λ)b-c??λ?a-c?+ (1-λ)?b-c??λr+ (1-λ)r=r.Doncλa+ (1-λ)b?Bf(c,r).?Remarques•En revanche, une sphère deEde rayon non nul,R2\{(x,0);x?0}ou une couronne deR2nesont pas convexes.•La notion de partie convexe ne fait pas intervenir de norme.6. Effet d"un changement de normeCertaines des notions que nous avons définies jusqu"à présent dépendent de la norme considérée.Pour illustrer ceci, reprenons l"exemple ci-dessus des fonctionsfn:x?→⎷nxnappartenant àE=C0([0,1],R).On sait que l"on peut munirEde la norme infini, et que la suite(fn)n"est pasbornée dans(E,? · ?∞).On peut aussi munirEde la norme? · ?2associée au produit scalaire usuel surE; pour toutn?N, on a?fn?2=??10(⎷nxn)2dx?1/2=?n2n+ 1?1/2?1.Ainsi la suite(fn)est bornée dans(E,? · ?2)!Onadmettraque lorsqueEest de dimension finie, ce phénomène ne peut pas se produire. Plusprécisément, les seules notions étudiées dans ce chapitre qui dépendent de la norme considérée,même en dimension finie, sont les notions de distance associée à une norme, de boules et desphère, et une autre exception qui sera mentionnée. Par exemple, même dansR2, on a vu queles sphères de centre(0,0)et de rayon 1, pour les trois normes de référence, n"ont pas lamêmeforme.Dans toute la suite de ce chapitre,Edésigne unK-espace vectoriel de dimension finie.Soit?·?une norme surKnetB= (e1,...,en)une base deE. Pour toutxdeEde coordonnées(x1,...,xn)dans la baseB, on peut définir?x?E=?(x1,...,xn)?.Alors? · ?Eest une norme surE(vérification immédiate).Un choix très utile est souvent celui donné par?x?E,?x?∞= maxi?[[1,n]]|xi|,correspondant à la norme infini surKn. On fera parfois référence à cette norme surEcommenorme infini associée à la baseB.Ainsi :•un espace vectorielEde dimension finie peut toujours être muni d"une norme;•par le moyen précédent, l"étude " topologique » deEse ramène à celle deKnmuni d"unenorme quelconque.

II. Suites d"un espace vectoriel normé de dimension finieSoit(E,? · ?)un espace vectoriel normé et(un)une suite d"éléments deE.•Soit??E. On dit que(un)convergevers?(ou queuntendvers?) si?ε >0,?n0?N;?n?n0,?un-???ε.On note ceciun→?.•On dit que(un)estconvergentes"il existe??Etel que(un)converge vers?. Levecteur?est alors unique; il est appelélimitede la suite(un),notélimun.•Dans le cas contraire, on dit que(un)estdivergente.Définition - Convergence d"une suiteRemarque -En d"autres termes,(un)converge vers?si pour toute boule ferméeBcentrée en?de rayon strictement positif, tous les termes de la suite sauf un nombre fini appartiennent àB.Démonstration de l"unicité de?- Supposons l"existence de deux vecteurs?et??vérifiant la dé-finition. Soientε >0et deux entiersn0etn1vérifiant la condition ci-dessus pour?et??respectivement. Alors pour toutn?max(n0,n1),??-?-un+un-un-??+?un-????2ε.Ceci étant valable pour toutε, on a??-???= 0, donc?=??.?Remarques•Une suite(un)d"éléments d"un espace vectoriel normé(E,?·?)converge vers?si et seulementsi la suite réelle(?un-??)converge vers0.Cette caractérisation est très utile pour prouver uneconvergence (lorsque l"on a l"intuition de la limite), par des majorations de?un-??.•Comme nous l"avons indiqué ci-dessus, la convergence ou divergence d"une suite, et en cas deconvergence, la valeur de sa limite, ne dépendent pas de la norme choisie, du fait de la dimensionfinie.Exemples•Illustrons la remarque précédente dansKnmuni des normes 1 et infini. On remarque que pourtoutx?Kn,?x?∞??x?1et?x?1?n?x?∞. Si(uk)converge vers?dans(Kn,?·?1), alors pourtoutk?N,?uk-??∞??uk-??1avec?uk-??1→0,et donc(uk)converge vers?dans(Kn,?·?∞). De même, si(uk)converge vers?dans(Kn,?·?∞),alors pour toutk?N,?uk-??1?n?uk-??∞avec?uk-??∞→0,et donc(uk)converge vers?dans(Kn,? · ?1).•La suite??e1/n2/n3/n4/n??n?1d"éléments deM2(R)converge vers?1 00 0?.En effet, en notant? · ?∞la norme surM2(R)associée à la norme? · ?∞surR4(maximumdes valeurs absolues des coefficients de la matrice), on ae1/n2/n3/n4/n?-?1 00 0∞=e1/n-1 2/n3/n4/n∞→0car chacun des termes apparaissant dans le maximum tend vers0.Même si la convergence d"une suite ne dépend pas de la norme, il semble quand même qu"ilfaille considérer une norme pour vérifier la définition. En fait, ce n"est pas le cas, car l"étude dela convergence d"une suite se ramène à celle de ses coordonnées dans une base :

Soit(uk)k?Nune suite d"éléments deEmuni d"une baseB= (e1,...,en).Notons, pourtoutk,uk=n?i=1uk,ieila décomposition deukdans la baseB.Alors, pour que la suite(uk)k?Nsoit convergente, il faut et il suffit que pour touti?[[1,n]],(uk,i)k?Nsoit convergente. Dans ce cas, on alimk→+∞uk=n?i=1?limk→+∞uk,i?ei,c"est-à-dire que les coordonnées de la limite sont les limites des suites-coordonnées.Théorème - Convergence composante par composanteDémonstration -Notons? · ?∞la norme infini surEassociée à la baseB.?Supposons que(uk)converge vers?=?ni=1?iei.Alors pour touti?[[1,n]]etk?N,|uk,i-?i|??uk-??∞avec?uk-??∞→0.On en déduit que(uk,i)k?Nconverge vers?i.?Supposons queuk,i-→k→+∞?ipour touti?[[1,n]]. Soitε >0fixé; il existe des entiersk1,...,kntels que pour touti?[[1,n]]et pour toutk?ki,|uk,i-?i|?ε.Soit?=?ni=1?iei.Alors pour toutk?max(k1,...,kn),?uk-??∞= maxi?[[1,n]]|uk,i-?i|?ε.Ainsi(uk)converge vers?.?Remarques•Une démonstration semblable montre que(uk)est bornée si et seulement si pour touti?[[1,n]],(uk,i)kest bornée.•SoitFunK-espace vectoriel de dimension finien,C= (ε1,...,εn)une base deF, et soitf:A?E→Fune fonction avecf=f1ε1+···+fnεnet pour touti?[[1,n]],fi:A→K. Lesfonctionsfisont les fonctions-coordonnées defdans la baseC.Par exemple, soitf:R2→R2[X]la fonction définie par :?(x,y)?R2, f(x,y) = (x+y)X2+ cos(xy)X+y2.Les fonctions-coordonnées defdans la base canonique deR2[X]sont les trois fonctions(x,y)?→x+y,(x,y)?→cos(xy)et(x,y)?→y2.Pour quefsoit bornée, il faut et il suffit que pour touti?[[1,n]],fisoit bornée.•On parle de convergence, ou de suite ou fonction bornée " composante par composante ».L"intérêt principal de ces résultats est de pouvoir se ramener à des suites ou à des fonctions àvaleurs dansK(les suites(uk,i)k, ou les fonctionsfi).Par exemple, une suite de matrices converge si et seulement si chacune de ses suites-coefficientsconverge. De même pour une suite de polynômes deKn[X]. En revanche, cela n"a pas de senspour nous dansK[X], qui n"est pas de dimension finie.

•SoientEetFdeux espaces vectoriels de dimension finie. Alors une suite?(xk,yk)?d"élémentsdeE×Fconverge si et seulement si les deux suites(xk)et(yk)convergent, et dans ce cas,lim(xk,yk) = (limxk,limyk).En effet, si(e1,...,ep)est une base deE, et(f1,...,fn)une base deF, alors?(e1,0F),...,(ep,0F),(0E,f1),...,(0E,fn)?est une base deE×F.Il suffit alors d"appliquer le résultat précédent.Toute suite convergente d"éléments d"un espace vectoriel normé est bornée.La réciproque est fausse.PropriétéDémonstration -On utilise les notations précédentes. Appliquons la définition de la limite avecε= 1: il existen0?N?tel que pour toutn?n0,?un-???1.D"après la seconde forme del"inégalité triangulaire, on en déduit?un? - ????1, et donc,?un+ 1pour toutn?n0.Alors, pour toutn?N,?un??max(?u0?,...,?un0-1?,???+ 1).L"exemple de((-1)n)n?Nmontre que la réciproque est fausse.?Soient(un)et(vn)deux suites convergentes d"éléments deE, et(αn)une suite conver-gente d"éléments deK.Soitn0?N. Alors :•La suite(un+vn)est convergente etlim(un+vn) = limun+ limvn.•La suite(αnun)est convergente etlim(αnun) = limαn·limun.•Siαn?= 0pour toutn?n0et silimαn?= 0, alors la suite?unαn?n?n0est convergenteetlim?unαn?=limunlimαn.Propriété - Opérations sur les limitesDémonstration -Il suffit de raisonner composante par composante, et d"appliquer les résultatscorrespondants pour les suites à valeurs scalaires.?De la même façon, on obtient le résultat suivant :Soit(un)une suite d"éléments deEqui converge vers??E.Alors toute suite extraite de(un)converge vers?.PropriétéIII. Vocabulaire de topologieSoientAune partie deE, etaun point deA. On dit queaest unpoint intérieuràAsi :?r >0;B(a,r)?A.En d"autres termes,aest intérieur àAsi on peut trouver une boule ouverte centrée ena, de rayon strictement positif, et incluse dansA.Définition - Points intérieurs à une partie

Exemples•2 est intérieur à[0,3]car2?B(2,0.5) =]1.5,2.5[?[0,3](ici la norme est la valeur absolue).•0n"est pas intérieur à[0,3]: pour toutr >0,-r/2?B(0,r)mais-r/2/?[0,3].Remarque -SoitAune partie deE. Soit(xn)une suite d"éléments deEqui converge vers unpointaintérieur àA. Alors, pournassez grand,xn?A.En effet, soitr >0tel queB(a,r)?A.En appliquant la définition de la limite avecε=r/2, onobtient l"existence den0?Ntel que pour toutn?n0,?xn-a?< r, et donc,xn?B(a,r)?A.SoitAune partie deE. On appelleintérieurdeAl"ensemble, noté°A, des pointsintérieurs àA.Définition - Intérieur d"une partieRemarque -On a toujours°A?A.Une partieAdeEest diteouverte(on dit aussi queAest un ouvert deE) si toutpoint deAest intérieur àA,i.e.:?a?A,?r >0;B(a,r)?A.Ceci équivaut à :°A=A.Définition - Partie ouverteUne boule ouverte est un ouvert.PropriétéDémonstration -Le cas d"une boule ouverte de rayon0est trivial. Soientx?EetR >0.Montrons queB(x,R)est un ouvert deE. On fixe donca?B(x,R), et on définitd=d(a,x) =?x-a?.Alorsd < Rcara?B(x,R), et pour toutyappartenant àB(a,R-d), on a?x-y? ≤ ?x-a?+?a-y?=d+?y-a?< d+R-d=R,doncy?B(x,R).Ainsi, en posantr=R-d >0, on a :B(a,r)?B(x,R). Cette constructionétant possible pour touta?B(x,R)(avecrdépendant dea, ce qui est tout à fait possible auvu de la définition précédente), on a le résultat.La démonstration est illustrée sur la figure suivante, dans le cas de la norme euclidienne usuellesurR2:•x•adr=R-dR

Exemples•Les intervalles ouverts deRsont des ouverts.•Pour toutA?E,°Aest un ouvert.•Le demi-planP={(x,y)?R2, y >0}est un ouvert deR2. On vérifie la définition avec la norme euclidienne usuelle? · ?2.Soita= (x,y)? P. Notonsr=y >0. Pour toutp= (u,v)dansB(a,r), on a|y-v| ≤?(x-u)2+ (y-v)2=?p-a?2< r=y,doncy-v≤ |y-v|< y.On en déduit quev >0, doncp? P. Ainsi,B(a,r)? P.?De même que l"on a défini les points situés " à l"intérieur » deA, on peut définir les points" qui touchent »A(sans nécessairement appartenir àA) : il s"agit, intuitivement, des pointssitués arbitrairement près de points deA:SoientAune partie deEeta?E. On dit queaest un pointadhérentàAsi?r >0, B(a,r)∩A?=∅.Définition - Points adhérents à une partieExemples•Tout point deAest adhérent àA.•4est adhérent à[-2,4[.SoientAune partie deEeta?E. Le pointaest adhérent àAsi et seulement si ilexiste une suite d"éléments deAqui converge versa.Propriété - Caractérisation séquentielle des points adhérentsDémonstration?Siaest adhérent àA, pour tout entiern?1, il existexn?B(a,1/n)∩A. Alorsxn→acarpour toutn?1,?xn-a?<1n.De plus(xn)est une suite d"éléments deA.?Soientr >0et(xn)une suite d"éléments deAqui converge versa. Commexn→a, pournassez grand,xn?B(a,r)et mêmexn?B(a,r)∩A. Cet ensemble est donc non vide, et ce pourtoutr >0, doncaest adhérent àA.?Exemple -La matrice?1 00 0?est adhérente à l"ensemble des matrices inversibles, car elle est limite de la suite des matrices?1 00 1/n?lorsquentend vers+∞.

SoitAune partie deE. On appelleadhérencedeAl"ensemble, notéA, des pointsadhérents àA.Définition - Adhérence d"une partieRemarque -On a toujoursA?A.Une partieAdeEest ditefermée(on dit aussi queAest un fermé deE) si tous lespoints adhérents àAappartiennent àA(ce qui équivaut au fait queA=A).Définition - Partie ferméeExemples•L"adhérence de[0,1[est[0,1].•Pour touta?Eetr >0, l"adhérence deB(a,r)estBf(a,r).•]-∞,-1]?[1,+∞[est un fermé deR.•Pour toutA?E,Aest un fermé.On déduit en particulier de la propriété précédente une caractérisation des parties fermés :SoitAune partie deE. Les propriétés suivantes sont équivalentes :•Aest une partie fermée.•Pour toute suite convergente(xn)d"éléments deA, on alimxn?A.Propriété - Caractérisation séquentielle des fermésExemple -Le cercle unité deR2est l"ensembleU={(x,y)?R2;x2+y2= 1}.Soit(xn,yn)une suite d"éléments deUconvergeant vers(x,y)?R2. On a, pour toutn?N,x2n+y2n= 1,de sorte qu"à la limite, on obtientx2+y2= 1.Le point(x,y)appartient donc àU. On a doncmontré queUest fermé.Plus généralement, on obtient :Toute boule fermée est un fermé. Toute sphère est un fermé.PropriétéAttention !Les notions d"ouverts et de fermés ne sont pas contraires l"une de l"autre : il estimmédiat queEet∅sont ouvertsetfermés.Le lien est en fait le suivant :Une partieAdeEest fermée si et seulement si son complémentaire dansEest ouvert.On rappelle que le complémentaire deAest défini par?A=E\A={x?E;x /?A}.Propriété

Démonstration?SupposonsAfermé, et soita??A. On veut montrer qu"il exister >0tel queB(a,r)??A.Si ce n"est pas le cas, pour toutr >0, il existex?B(a,r)tel quex /??A, c"est-à-direx?A. Lepointaest donc adhérent àA, quiAest fermé, donca?A, ce qui est absurde. D"où le résultat.?Supposons?Aouvert, et soita?A. Sia /?A, sachant que?Aest ouvert, il exister >0telqueB(a,r)??A.Oraest adhérent àA, donc il existex?Atel quex?B(a,r): c"est absurde.Donca?A, ce qui prouve queAest fermé.?Soientp?N?,U1, ...,Updes ouverts deE, etF1,...,Fpdes fermés deE. Alors :•U1? ··· ?UpetU1∩ ··· ∩Upsont des ouverts.•F1? ··· ?FpetF1∩ ··· ∩Fpsont des fermés.L"ensemble des ouverts deEet l"ensemble des fermés deEsont stables par réunionfinie et intersection finie.Propriété(Hors-programme)Démonstration•Soita?U1? ··· ?Up. Il existei?[[1,p]]tel quea?Ui. CommeUiest un ouvert, il exister >0tel queB(a,r)?Ui. AlorsB(a,r)?U1? ··· ?Up, doncU1? ··· ?Upest ouvert.•Soita?U1∩ ··· ∩Up. Pour touti?[[1,p]], il existeri>0tel queB(a,ri)?Ui. Posonsr= min{ri;i?[[1,p]]}. On a alorsr >0etB(a,r)?B(a,ri)pour touti, doncB(a,r)?U1∩ ··· ∩Up,ce qui montre queU1∩ ··· ∩Upest ouvert.•Pour les deux points concernant les fermés, il suffit de passerau complémentaire et d"utiliserles deux premiers points; en effet,??p?i=1Fi?=p?i=1??Fi?et??p?i=1Fi?=p?i=1??Fi?.?SoitAune partie deE. On appellefrontièredeAl"ensembleFr(A) =A\°A, constituédes points deEqui sont adhérents àAmais pas intérieurs àA.Définition - Frontière d"une partieBien sûr, cette notion coïncide avec l"intuition que suggèreson nom : la frontière correspondau " bord » de l"ensemble. Par exemple, la frontière d"une bouleBf(a,r)ouB(a,r)de rayonnon nul est la sphèreS(a,r).

IV. Fonctions entre espaces vectoriels normés :limite et continuitéDans toute la suite,EetFdésignent deux espaces vectoriels normés de dimension finie,Aune partie deEetfune fonction définie surAet à valeurs dansF. On peut munirEd"unenorme? · ?EetFd"une norme? · ?F.1. Définitions•Soitaun point adhérent àA(a?A) etb?F.On dit quefa pour limitebena(ou quef(x)tendversblorsquextend versa) si?ε >0,?η >0;?x?A,[?x-a?E?η]?[?f(x)-b?F?ε].On note cecif(x)-→x→ab.•On dit quefa une limiteenas"il existeb?Ftel quef(x)-→x→ab. Le vecteurbestalors unique; il est appelélimitedefenaet notélimx→af(x)oulimaf.Définition - Limite en un pointDémonstration de l"unicité debSoientbetb?deux vecteurs deFvérifiant la définition; soientε >0et deux réelsη >0etη?>0vérifiant la condition ci-dessus pourbetb?respectivement. Alors pour toutx?Atel que?x-a?E?min(η,η?),?b-b??F=?b-f(x) +f(x)-b??F??f(x)-b?F+?f(x)-b??F?2ε.Ceci étant vrai pour toutε >0, on en déduitb=b?.?Remarque -Pourquoi définir la limite defen un pointaadhérentàA? Dans la définition depoint adhérent, on peut clairement remplacerB(a,r)parBf(a,r): les points adhérents àAsontexactement les points deEpour lesquels, pour toutη >0, Bf(a,η)∩An"est pas vide, et doncceux pour lesquels l"éventualité "x?Aet?x-a?E?η» se présente.•Soientm?R,fune fonction définie sur]m,+∞[à valeurs dansFetb?F.On dit quefa pour limiteben+∞si?ε >0,?M >0;?x?M,?f(x)-b?F?ε.•Soientm?R,fune fonction définie sur]-∞,m[à valeurs dansFetb?F.On dit quefa pour limiteben-∞si?ε >0,?M >0;?x?-M,?f(x)-b?F?ε.Définition - Limite en±∞

•Soientfune fonction définie surAà valeurs réelles etaun point adhérent àA.On dit quefa pour limite+∞enasi?K >0,?η >0;?x?A,[?x-a?E?η]?[f(x)?K].•Soientfune fonction définie surAà valeurs réelles etaun point adhérent àA.On dit quefa pour limite-∞enasi?K >0,?η >0;?x?A,[?x-a?E?η]?[f(x)?-K].Définition - Limite infinieOn vérifie aisément que l"unicité de la limite est toujours vérifiée.Lorsquea?Aetfadmet une limite ena, on a nécessairementlimx→af(x) =f(a).Dans ce cas, on dit quefestcontinueena.Propriété/Définition - Continuité en un pointDémonstration -Soitε >0fixé etb= limaf. Il existeη >0tel que pour toutxdeAvérifiant?x-a?E?η, on ait?f(x)-b?F?ε. En appliquant ceci àx=a(ce qui est possible cara?A),on a donc?f(a)-b?F?ε, et ce pour toutε >0.Ainsib=f(a), c"est-à-direlimx→af(x) =f(a).?On dit quefest continue surAsifest continue en tout point deA. Ceci équivaut à :?a?A,?ε >0,?η >0;?x?A,[?x-a?E?η]?[?f(x)-f(a)?F?ε].Définition - Continuité sur une partie2. Caractérisation séquentielle de la limiteSoitaun point adhérent àA; les propriétés suivantes sont équivalentes :•La fonctionfpossède une limite ena.•Pour toute suite(an)d"éléments deAqui converge versa, la suite(f(an))n?Naune limite.Dans ce cas, pour toute suite(an)d"éléments deAqui converge versa,limx→af(x) = limn→+∞f(an).Propriété - Caractérisation séquentielle de la limiteDémonstration?Notonsb= limx→af(x).Soit(an)une suite d"éléments deAconvergeant versa. Soitε >0fixé. Il existeη >0tel que pour toutxdeAvérifiant?x-a?E?η, on ait?f(x)-b?F?ε.Oran→a, donc il existen0?Ntel que pour toutn?n0,?an-a?E?η. Alors, pour un teln,?f(an)-b?F?ε,d"où le résultat.

?Commençons par montrer que, avec les notations de l"énoncé,la limite de(f(an))ne dépendpas de la suite(an). Soient donc(an)et(αn)deux suites d"éléments deAqui convergent versa. On construit une suite(cn)en posant, pour toutp?N,c2p=apetc2p+1=αp:(cn)estconstruite en écrivant alternativement les termes de(an)et(αn).En particulier, la suite(cn)converge versa, et donc la suite(f(cn))est convergente. Or les suites(f(an))et(f(αn))sontextraites de(f(cn)), donclimf(an) = limf(cn) = limf(αn),qui est le résultat annoncé.Notons alorsbla valeur commune de la limite de toutes les suites(f(an))où(an)est unesuite d"éléments deAqui converge versa. Pour montrer quefa une limite enaégale àb, onraisonne par l"absurde : supposons au contraire qu"il existeε >0tel que pour toutη >0, ilexistex?Atel que?x-a?E?ηmais?f(x)-b?F> ε.En appliquant cela avecη= 1/n(n?N?)on construit une suite(an)d"éléments deAtelle que pour toutn?1,?an-a?E?1net?f(an)-b?F> ε.Alorsan→amais(f(an))ne converge pas versb; c"est absurde, et on en déduit le résultat.?Remarques•L"implication directe est très souvent employée sous la forme suivante :?an→afest continue ena?f(an)→f(a).•Cette caractérisation permet de ramener de nombreuses questions de limites de fonctions à desquestions de limites de suites, pour lesquelles on a déjà de nombreuses propriétés.•On a une propriété analogue pour les limites en±∞lorsqueE=R.3. Limite et continuité composante par composante, opérationsSoientC= (ε1,...,εn)une base deFetf:A→Fune fonction. Notonsf=n?i=1fiεila décomposition defdans la baseC, c"est-à-dire que les fonctionsfi:A→Ksont lesfonctions-coordonnées defdans la baseC.Alors :1.Soitaun point adhérent àA. Pour quefait une limite ena, il faut et il suffit quepour touti?[[1,n]],fiait une limite ena. Dans ce cas, on alimaf=n?i=1(limafi)εi,c"est-à-dire que les coordonnées de la limite sont les limites des fonctions-coordonnées.2.Soita?A. Pour quefsoit continue ena, il faut et il suffit que pour touti?[[1,n]],fisoit continue ena.3.Pour quefsoit continue surA, il faut et il suffit que pour touti?[[1,n]],fisoitcontinue surA.Propriété - Limite ou continuité composante par composanteDémonstration -Il suffit d"utiliser la caractérisation séquentielle de la limite et la propriété deconvergence composante par composante pour les suites.?

Soientfetgdeux fonctions définies surAà valeurs dansF, etαune fonction définiesurAà valeurs dansK.1.Soitaun point adhérent àA. On suppose quef,getαont une limite ena.Alors :•La fonctionf+ga une limite enaetlima(f+g) = limaf+ limag.•La fonctionαfa une limite enaetlima(αf) = (limaα)(limaf).•Siα(x)?= 0pour toutx?Aet silimaα?= 0, alors la fonctionfαa une limite enaetlima?fα?=limaflimaα.Toutes ces propriétés sont vraies siE=Reta=±∞, ainsi que les cas déjà connuspour des limites infinies; attention cependant aux formes indéterminées.2.Lorsqueaappartient àA, on peut traduire ces propriétés en termes de continuitéena.3.On peut traduire ces propriétés en termes de continuité surA.En particulier, l"ensembleC0(A,F)des fonctions continues surAà valeurs dansFestunK-espace vectoriel (pour les lois usuelles).Propriété - Opérations algébriquesDémonstration -Il suffit de démontrer le point1. On se ramène aux propriétés analogues sur lessuites grâce à la caractérisation séquentielle de la limite.?SoientE,FetGtrois espaces vectoriels normés de dimension finie,Aune partie deEetBune partie deF. Soientf:A→Fetg:B→Gdeux fonctions. On suppose quef(A)?B, de sorte que la fonctiong◦f:A→Gest bien définie.1.Soitaun point adhérent àA. On suppose quefa une limitebena. Alors :•best adhérent àB.Si de plusga une limitecenb, on a :•g◦fa une limite enaet(g◦f)(x)-→x→ac.2.Soita?A.Sifest continue enaet sigest continue enf(a), alorsg◦fest continueena.3.Sifest continue surAet sigest continue surB, alorsg◦fest continue surA.Propriété - CompositionDémonstration -Il suffit de démontrer le point1.•Le pointaest adhérent àA, donc il existe une suite(an)d"éléments deAqui converge versa.Sachant quefa pour limitebena, on a doncf(an)→b. Or, pour toutn?N,f(an)?f(A)?B.On a donc construit une suite d"éléments deBqui converge versb:best adhérent àB.•Soit(an)une suite d"éléments deAqui converge versa. Alors sachant quefa pour limitebenaet quega pour limitecenb, on af(an)→betg(f(an))→c. D"après la caractérisationséquentielle de la limite (sens réciproque, appliqué àg◦f), on obtient queg◦fa pour limitecen a.?Toute application polynomialefdéfinie surKnest continue (par application poly-nomiale, on entend que chaque fonction-coordonnée defdans une base de l"espaced"arrivée est un polynôme en les composantesx1,...,xnde la variablex).Propriété - Continuité des applications polynomiales

Démonstration -D"après les deux premières propriétés de ce paragraphe, il suffit de prouver quepour touti?[[1,n]], l"applicationx= (x1,...,xn)?→xiest continue, ce qui est immédiat.?Remarque -On montre de la même façon que toute applicationfdéfinie surE, polynomiale enles coordonnées(x1,...,xn)de sa variablexdans une base deE, est continue.Exemples•L"application(x,y,z)?→(x2+ 3xy+ 4xz2,xz-y3)est polynomiale, donc continue, surR3.•L"application(x1,...,xn)?→Mn(x1,...,xn)(oùMn(x1,...,xn)est la matrice de Vander-monde associée àx1,...,xn) est polynomiale, donc continue, surKn.•L"applicationA?→A2est polynomiale, donc continue, surMn(K).En effet, soitA= (ai,j)dansMn(K); pour tout(i,j)?[[1,n]]2, le coefficient en position(i,j)deA2est?nk=1ai,kak,j;ceci définit une fonction polynomiale en les coefficients deA.4. Fonctions LipschitziennesSoitk?R+. On dit quefestk-Lipschitzienne si?(x,y)?A2,?f(x)-f(y)?F?k?x-y?E.On dit quefest Lipschitzienne s"il existektel quefestk-Lipschitzienne.Définition - Fonction LipschitzienneRemarque -Le fait pour une fonction d"être Lipschitzienne ne dépend pas des normes choisies,mais le fait d"êtrek-Lipschitzienne en dépend!Exemples•La fonction racine carréef:x?→⎷xest Lipschitzienne sur[1,+∞[: en effet,fest dérivablesur[1,+∞[avec, pour toutx?1,f?(x) =12⎷x?12.D"après le théorème des accroissements finis, on a donc, pourtout(x,y)?[1,+∞[2,|f(x)-f(y)|?12|x-y|.Le théorème des accroissements finis est un outil très utile pour prouver qu"une fonction estLipschitzienne.•Si?·?est une norme surE, l"applicationx?→ ?x?deEdansRest1-Lipschitzienne : en effet,d"après la seconde forme de l"inégalité triangulaire, pourtout(x,y)?E2, on a???x? - ?yx-y?.Remarques•Il est très facile de prouver que l"ensemble des fonctions Lipschitziennes deA?EdansFestunK-espace vectoriel. En revanche, l"ensemble des fonctionsk-Lipschitziennes deAdansF, aveck >0fixé, n"en est pas un.•On a également une propriété de stabilité vis-à-vis de la composition : soient(E,?·?E),(F,?·?F)et(G,? · ?G)trois espaces vectoriels normés,Aune partie deEetBune partie deF. Soientf:A→Fetg:B→Gdeux fonctions. On suppose quef(A)?B, de sorte que la fonctiong◦fest bien définie.Sifestk1-Lipschitzienne etgestk2-Lipschitzienne, alorsg◦festk1k2-Lipschitzienne.En effet, pour tout(x,y)?A2,?(g◦f)(x)-(g◦f)(y)?G?k2?f(x)-f(y)?F?k2k1?x-y?E.

Toute fonction Lipschitzienne est continue. La réciproqueest fausse.PropriétéDémonstration -Avec les notations précédentes, soitfune fonctionk-Lipschitzienne. Sik= 0,fest constante et le résultat est évident. Sinon, soienta?Aetε >0. Pour tout(x,y)?A2,?f(x)-f(y)?F?k?x-y?E.En particulier, si?x-a?E?ε/k, alors?f(x)-f(a)?F?kεk=ε.Doncfest continue ena, et ce pour touta?A. On voit même que le nombreη=ε/kpermettantde vérifier la définition de la continuité est indépendant dex: le caractère Lipschitzien est doncbeaucoup plus fort que la continuité en chaque point.Pour montrer que la réciproque est fausse : la fonctionx?→x2définie surRn"est pasLipschitzienne, bien qu"elle soit continue. En effet, supposons au contraire qu"il existektel quepour tout(x,y)?R2,|x2-y2|?k|x-y|.Alors, pour toutxetydistincts, on a|x+y||x-y|?k|x-y|d"où|x+y|?k,ce qui est absurde lorsque par exempley= 0etxtend vers+∞.?V. Propriétés des fonctions continues à valeurs réelles1. Ensembles de niveaux d"une fonction continueSoitfune application continue surEà valeurs dansR. Alors :•L"ensemble{x?E;f(x)>0}est une partie ouverte deE.•L"ensemble{x?E;f(x)?0}est une partie fermée deE.•L"ensemble{x?E;f(x) = 0}est une partie fermée deE.PropriétéDémonstration•Soita?Etel quef(a)>0; par continuité def, il existeη >0tel que pour toutxdeEvérifiant?x-a?E?η, on ait|f(x)-f(a)|?f(a)/2,et doncf(x)?f(a)-f(a)2=f(a)2>0.En particulier,B(a,η)? {x?E;f(x)>0}. Il en résulte que{x?E;f(x)>0}est ouvert.•On utilise la caractérisation séquentielle des fermés : soit(an)une suite d"éléments de{x?E;f(x)?0}qui converge versa?E. Pour toutn,f(an)?0, etfétant continue,on sait quef(an)→f(a). On en déduit quef(a)?0, c"est-à-dire,a? {x?E;f(x)?0}.Cetensemble est donc fermé.•On raisonne de même en passant à la limite dans la relationf(an) = 0.?Remarques•Bien sûr, en changeantfen-f, on prouve des résultats analogues pourf(x)<0etf(x)?0.•Cette dernière propriété est très utile pour prouver que desparties deEsont ouvertes, oufermées : on peut parfois voir ces parties comme ensembles deniveauf(x)>0,f(x)?0ouf(x) = 0d"une applicationcontinue à valeurs réellesfbien choisie.

Exemples•L"exemple du cercle unitéUtraité plus haut entre dans ce cadre : on aU={(x,y)?R2;x2+y2-1 = 0},la fonctionf: (x,y)?→x2+y2-1étant continue car polynomiale.•Revenons sur l"exemple du demi-planP={(x,y)?R2, y >0}Montrons par cette méthode qu"il s"agit d"un ouvert deR2: l"applicationf:?R2→R(x,y)?→yest continue surR2. De plus,P={(x,y)?R2;f(x,y)>0}. D"après la propriété précédente,Pest donc un ouvert.•L"ensembleG?n(R)des matrices inversibles d"ordrenest un ouvert deMn(R): en effet, unematrice carréeAest inversible si et seulement sidet(A)?= 0. On en déduit donc queG?n(R) ={A?Mn(R); det(A)<0} ? {A?Mn(R); det(A)>0}.Nous montrerons bientôt que la fonction déterminant est continue surMn(R). On en déduit queG?n(R)est la réunion de deux ouverts deMn(R), c"est donc une partie ouverte.•L"ensembleOdes trinômes à coefficients réels qui ont deux racines réellesdistinctes est unepartie ouverte deR2[X].Soit en effet l"application discriminantφ:?R2[X]→RaX2+bX+c?→b2-4acetψ:aX2+bX+c?→a.AlorsO= ({P?R2[X];ψ(P)<0} ? {P?R2[X];ψ(P)>0})∩ {P?R2[X];φ(P)>0}.Or,φetψsont continues surR2[X](c"est immédiat pourψ, etφest polynomiale en les coor-données de sa variable). DoncOest une partie ouverte comme intersection de deux ouverts, lepremier étant lui-même la réunion de deux ouverts. De la mêmefaçon, on montre que l"ensembledes polynômes deR2[X]ayant deux racines complexes conjuguées distinctes est un ouvert, etque l"ensemble des polynômes deR2[X]ayant au plus une racine (éventuellement double) est unfermé.2. Extrema de fonctions continuesSiKest une partie fermée, bornée et non vide deEetf:K→Rest continue, alorsfest bornée et atteint ses bornes.Théorème des bornes atteintes(admis : démonstration non exigible)Remarque -Ce théorème est bien sûr une généralisation du théorème selon lequel une fonctioncontinue sur un segment, à valeurs dansR, est bornée et atteint ses bornes.Exemple -La boule unitéBdeMn(R)pour la norme infini est fermée, bornée et non vide. Lafonction déterminant, qui est continue surB, est donc bornée surBet atteint ses bornes. Ainsi,parmi les matrices deMn(R)dont tous les coefficients sont compris entre-1et 1, il en existeau moins une dont le déterminant est maximal.

VI. Le cas des applications linéaires et multilinéairesSoientEetFdeux espaces vectoriels de dimension finie etu?L(E,F).Alorsuest Lipschitzienne.Théorème - Caractère Lipschitzien des applications linéairesDémonstration -MunissonsEd"une baseB= (e1,...,en)et de la norme infini? · ?∞associéeà cette base, etFd"une norme? · ?F. Soitx?Edont la décomposition dans la baseBestx=x1e1+···+xnen. Alors par linéarité deu,?u(x)?F=?x1u(e1) +···+xnu(en)?F?|x1|?u(e1)?F+···+|xn|?u(en)?F,d"après l"inégalité triangulaire. Alors?u(x)?F?[?u(e1)?F+···+?u(en)?F]?x?∞.Posonsk=?u(e1)?F+···+?u(en)?F. Soit(x,y)?E2; alors par linéarité deuet d"aprèsl"inégalité précédente,?u(x)-u(y)?F=?u(x-y)?F?k?x-y?∞,d"où le résultat, car la notion de fonction Lipschitzienne ne dépend pas des normes choisies surEetF.?Attention !La linéarité deuest essentielle pour que l"inégalité?u(x)?F?k?x?∞, valable pourx?E, entraîne queuest Lipschitzienne.Exemple -L"application Trace, deMn(K)dansK, est linéaire entre deux espaces de dimensionfinie, doncTrest Lipschitzienne. SiMn(K)est muni de la norme infini (etKde la valeur absolueou du module), elle est en faitn-Lipschitzienne car pour toutM= (mi,j)1?i,j?n?Mn(K),|Tr(M)|=n?i=1mi,i?n?i=1|mi,i|?nmaxi,j|mi,j|=n?M?∞.SiMn(K)est muni de la norme 1, définie par?M?1=?ni,j=1|mi,j|, elle est 1-Lipschitzienne car|Tr(M)|?n?i=1|mi,i|?n?i,j=1|mi,j|=?M?1.On sait que le caractère Lipschitzien entraîne la continuité, on a donc le résultat suivant :Une application linéaire entre espaces vectoriels de dimension finie est continue.CorollaireOn a aussi un résultat de continuité pour les applications multilinéaires :Soitpun entier avecp?2etf: (Kn)p→Fune application multilinéaire, c"est-à-dire,linéaire par rapport à chacune de sespvariables.Alorsfest continue.Propriété - Continuité des applications multilinéaires

Démonstration -On notera(e1,...,en)la base canonique deKn. Pourj?[[1,p]], soitxj= (xj1,...,xjn) =xj1e1+···+xjnen?Kn. Par multilinéarité def, on af(x1,...,xp) =?(i1,...,ip)?[[1,n]]px1i1···xpipf(ei1,...,eip).En décomposant tous les vecteursf(ei1,...,eip)dans une base deF, on voit que chaque coordon-née def(x1,...,xp)dans cette base définit une fonction polynomiale en lesxjipour(i,j)?[[1,n]]×[[1,p]], et donc, définit une fonction continue. On en déduit quefest continue.?Remarque -SiEetFsont de dimension finie, on généralisera sans difficulté la propriété précé-dente pour montrer qu"une applicationf:Ep→Fmultilinéaire est continue.Exemples•L"application déterminant, deMn(K)dansK, est continue car multilinéaire par rapport auxcolonnes de sa variable.•Si(E,(·|·))est un espace euclidien, alors le produit scalaire(·|·)est une application continue.Si de plusEest orienté de dimension 3, alors le produit vectoriel?est une application continue.En effet, dans ces deux cas, l"application considérée est bilinéaire.•Le produit matriciel?Mn(K)×Mn(K)→Mn(K)(A,B)?→ABest continu car bilinéaire.On peut donc passer à la limite dans un déterminant, un produit scalaire en dimension finie,un produit vectoriel, un produit de matrices.

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