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1 MAT 3225 - Didactique de la variable et des fonctions Étude de la fonction cubique (Fonction polynomiale de dégré trois) Considérons la fonction cubique de forme générale : €
fx =ax 3 +bx 2 +cx+d, a, b, c et d constantes et a ≠ 0. Étant donnée la représentation graphique d'une fonction cubique, trouver l'expression algébrique associée. Quelles sont les unités significatives d'une représentation graphique d'une fonction cubique ? • Un seul changement de concavité " douce ». • Un ou trois Racines réelles : • Fonction croissante, a > 0 (sauf entre les zéros réels ou complexes) • Fonction décroissante, a < 0 (sauf entre les zéros réels ou complexes) • Ordonnée à l'origine d. Pour trouver les constantes a, b, c, et d, nous avons besoin de quat re points. L'ordonnée à l'origine nous donne immédiatement la valeur d. Alors, nous avons besoin de trois points pour construire un système de trois équations avec trois inconnues (dans ce cas, a, b et c). Disons (x1, y1), (x2, y2) et (x3, y3). Alors, il faut résoudre le système : €
y 1 =fx 1 =ax 1 3 +bx 1 2 +cx 1 +d y 2 =fx 2 =ax 2 3 +bx 2 2 +cx 2 +d y 3 =fx 3 =ax 3 3 +bx 3 2 +cx 3 +d. Attention. Plus d'un changement de concavité implique que la fonction n'est pas une fonction cubique.
2 Étude de la fonction cubique (les paramètres) Soit la fonction cubique €
fx =ax 3 +bx 2 +cx+d, a ≠ 0. Voici la représentation graphique de la fonction cubique avec les valeurs : a = 1, b ∈ {0, 1, 2, 3}, c = 0 et d = 0. Soit la fonction cubique €
fx =ax 3 +bx 2 +cx+d, a ≠ 0. Voici la représentation graphique de la fonction cubique avec les valeurs : a = 1, b ∈ {0, -1, -2, -3}, c = 0 et d = 0.
3 Soit la fonction cubique €
fx =ax 3 +bx 2 +cx+d, a ≠ 0. Voici la représentation graphique de la fonction cubique avec les valeurs : a = 1, b = 0, c ∈ {0, 1, 2, 3} et d = 0. Soit la fonction cubique €
fx =ax 3 +bx 2 +cx+d, a ≠ 0. Voici la représentation graphique de la fonction cubique avec les valeurs : a = 1, b = 0, c ∈ {0, -1, -2, -3} et d = 0.
4 Soit la fonction cubique €
fx =ax 3 +bx 2 +cx+d, a ≠ 0. Voici la représentation graphique de la fonction cubique avec les valeurs : a = 1, b ∈ {0, 1, 2, 3}, c ∈ {0, 1, 2, 3} et d = 0. Soit la fonction cubique €
fx =ax 3 +bx 2 +cx+d, a ≠ 0. Voici la représentation graphique de la fonction cubique avec les valeurs : a = 1, b ∈ {0, 1, 2, 3}, c ∈ {0, -1, -2, -3} et d = 0.
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