Chapitre IV : Formes bilinéaires et formes quadratiques

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Formes bilinéairesFormes quadratiquesMéthode de Gauss pour diagonaliser une forme quadratique

Chapitre IV: Formes bilinéaires et

formes quadratiques

Abdellatif Sadrati

Université Moulay-Ismail, F.S.T Errachidia.

abdo2sadrati@gmail.com

27 mars 2021

Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre IV : Formes bilinéaires et formes quadratiques Formes bilinéairesFormes quadratiquesMéthode de Gauss pour diagonaliser une forme quadratique Plan

1Formes bilinéaires

Formes linéaires

Formes bilinéaires

Matrice d"une forme bilinéaire

Changement de base

Formes bilinéaires symétriques

2Formes quadratiques

Généralités

Rang et noyau d"une forme quadratique

Forme quadratique non dégénérée

Signature d"une forme quadratique

Orthogonalité et base orthogonale

3Méthode de Gauss pour diagonaliser une forme quadratique

Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre IV : Formes bilinéaires et formes quadratiques Formes bilinéairesFormes quadratiquesMéthode de Gauss pour diagonaliser une forme quadratique

Formes linéaires

Tout le long du chapitreK=RouCetn2N.Définition

SoitEunK-espace vectoriel. Une forme linéaire surEest une application linéaire deEdansK,Kétant considéré comme un espace vectoriel surK.Proposition SoientEunK-espace vectoriel de dimensionnetB=fe1;e2;:::;engune base deE. Une applicationfdeEdansKest une forme linéaire si et seulement si il existenscalairesa1;a2;:::;antels que pour tout x=x1e1+x2e2+:::+xnen:f(x) =x1a1+x2a2+:::+xnan=nP i=1a ixi:Ceci se vérifie facilement en remarquant que

f(x) =x1f(e1) +x2f(e2) +:::+xnf(en) :on poseai=f(ei);i= 1;2;:::;n:Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre IV : Formes bilinéaires et formes quadratiques

Formes bilinéairesFormes quadratiquesMéthode de Gauss pour diagonaliser une forme quadratique

Formes linéaires

Exemple

SiE=Kn[X], et sia2Kalors l"applicationf:Kn[X]!Kqui àP(X) associeP(a)est une forme linéaire surE.Définition SoitEunK-espace vectoriel. On appelle espacedual(ou simplement dual) deEl"espace vectoriel des formes linéaires surE, c"est-à-dire

L(E;K), et on le noteE.Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre IV : Formes bilinéaires et formes quadratiques

Formes bilinéairesFormes quadratiquesMéthode de Gauss pour diagonaliser une forme quadratique

Formes linéaires

Définition

SoitB=fe1;e2;:::;engune base deE. Pour touti= 1;2;:::;non définit une forme linéaireeisurEen posant pour1jn; ei(ej) =ij=(

1sii=j

0sii6=j:

ijest appelé lesymbole de Kroneker.Proposition SoitB=fe1;e2;:::;engune base deE. L"ensembleB=fe1;e2;:::;eng

défini comme ci-dessus est une base deEet est appelébase dualedeB.Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre IV : Formes bilinéaires et formes quadratiques

Formes bilinéairesFormes quadratiquesMéthode de Gauss pour diagonaliser une forme quadratique

Formes bilinéaires

Définition

SoientEetFdeux espaces vectoriels surK. Une forme bilinéaire sur

EFest une application'deEFdansK, telle que :

Pourxfixé dansE, l"application'x:y!'(x;y)est une forme linéaire surF. Pouryfixé dansF, l"application'y:x!'(x;y)est une forme linéaire surE.Exemple SoitFl"espace vectoriel des applications linéaires deEdansK (autrement dit l"espace des formes linéaires surE). L"application ':EL(E;K)!K (x;f)!'(x;f) =f(x)

'(x+y;f) =f(x) +f(y)et'(x;f+g) =f(x) +g(x):Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre IV : Formes bilinéaires et formes quadratiques

Formes bilinéairesFormes quadratiquesMéthode de Gauss pour diagonaliser une forme quadratique

Formes bilinéaires

Dans la suite on va supposer queE=F. Dans ce cas, on parle de forme bilinéaire surE.Exemples 1) Soit E=K. Soitaun élément deKet'l"application deKKdansK définie par'(x;y) =axy. C"est une forme bilinéaire. Réciproquement, toutes les formes bilinéaires surKsont de ce type. En effet, soit'une forme bilinéaire surK. Alors, pour tout(x;y)deKK, '(x;y) =x'(1;y)(linéarité par rapport à la première variable). Or, '(1;y) =y'(1;1)(linéarité par rapport à la deuxième variable). D"où : '(x;y) =xy'(1;1). En posanta='(1;1)qui est bien un scalaire, il vient'(x;y) =axy. 2) Soit E=R2et l"application deEEdansRdéfinie pour tout x= (x1;x2)ety= (y1;y2)par (x;y) = ((x1;x2);(y1;y2)) =x1y12x2y1+ 2x1y2x2y2

est une forme bilinéaire surR2(vréification immédiate).Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre IV : Formes bilinéaires et formes quadratiques

Formes bilinéairesFormes quadratiquesMéthode de Gauss pour diagonaliser une forme quadratique

Matrice d"une forme bilinéaire

Il est toujours possible d"associer à une application linéaire une matrice dans une base. Voyons ce qu"il en est pour une forme bilinéaire'. Soit B=fe1;e2;:::;engune base d"unK-espace vectorielE, et soient x=nX i=1x ieiety=nX j=1y jej deux éléments deE. On a '(x;y) =' nX i=1x iei;nX j=1y jej! =nX i=1x i' e i;nX j=1y jej! nX i=1n X j=1x iyj'(ei;ej) =X

1i;jn'(ei;ej)xiyj:

Ainsi, la forme bilinéaire'est déterminée de façon unique par la matrice suivante dans la baseB: M

';B=MB= ('(ei;ej))1i;jn:Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre IV : Formes bilinéaires et formes quadratiques

Formes bilinéairesFormes quadratiquesMéthode de Gauss pour diagonaliser une forme quadratique

Matrice d"une forme bilinéaire

Si on noteX=0

B BBB@x 1 x n1 C

CCCAetY=0

B BBB@y 1 y n1 C

CCCAles matrices colonnes des vecteurs

xetydans la baseBetMBla matrice associée à'dans la baseB. C"est donc la matrice deMn(K)de terme généralaij='(ei;ej). Il vient : '(x;y) =X

1i;jna

ijxiyj=nX i=1x i nX j=1a ijyj!

En notantci=nP

j=1a ijyj, cela donne : '(x;y) =nX i=1x ici=x

1: : : xn0

B BBB@c 1 c n1 C CCCA:Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre IV : Formes bilinéaires et formes quadratiques Formes bilinéairesFormes quadratiquesMéthode de Gauss pour diagonaliser une forme quadratique

Matrice d"une forme bilinéaire

La matrice ligne

1: : : xn=tX. Le scalaireci=nP

j=1a ijyjpeut être interprété comme le produit a i1: : : ain0 B BBB@y 1 y n1 C CCCA: Donc 0 B BBB@c 1 c n1 C

CCCA=MB0

B BBB@y 1 y n1 C CCCA:Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre IV : Formes bilinéaires et formes quadratiques Formes bilinéairesFormes quadratiquesMéthode de Gauss pour diagonaliser une forme quadratique

Matrice d"une forme bilinéaire

D"où le résultat suivant :

Proposition

SoientEunK-espace vectoriel de dimensionn,B=fe1;e2;:::;engune base deEet'une forme bilinéaire surE. SoitMBla matrice associée à' dans la baseB. Sixetysont deux éléments deE,XetYles matrices colonnes dont les éléments sont les coordonnées dexetyrespectivement dans la baseB, alors on a

'(x;y) =tXMBY:Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre IV : Formes bilinéaires et formes quadratiques

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Changement de base

Bien évidemment la question qui se pose est celle de l"existence d"une formule liant les matrices associées à une forme bilinéaire dans deux bases différentes. SoientBetB0deux bases deE.Pla matrice de passage deBàB0. Soientxetydeux éléments deEde matrices-colonnesX; X0etY; Y0dans BetB0respectivement. Les formes classiques de changement de base donnent les relations :

X=PX0etY=PY0:

Alors, si'est une forme bilinéaire surEetMBsa matrice dans la baseB on a : '(x;y) =tXMBY=t(PX0)MB(PY0) =tX0(tPMBP)Y0: La formule trouvée prouve queMB0=tPMBPest la matrice associée à'

dans la baseB0.Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre IV : Formes bilinéaires et formes quadratiques

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Changement de base

On peut donc énoncer la formule de changement de base :

Proposition

SoientEunK-espace vectoriel de dimensionn,BetB0deux bases deE etPla matrice de passage deBàB0. Soient'une forme bilinéaire surE, MetM0les matrices associées à'dans les basesBetB0respectivement.

Alors :

0=tPMP:Remarque

Attention à ne pas confondre avec la formule de changement de base pour une application linéaire M

0=P1MP:Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre IV : Formes bilinéaires et formes quadratiques

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Changement de base

Ce qui précède nous donne la caractérisation suivante d"une forme bilinéaire sur un espace vectorielEde dimensionn:Proposition SoitB=fe1;e2;:::;engune base deE. Une application'deEEdans Kest une forme bilinéaire surEsi, et seulement s"il existent des scalaires a ij, pour1i;jn, tels que pour tout '(x;y)s"écrit de la manière suivante : '(x;y) =X

1i;jna

ijxiyj:Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre IV : Formes bilinéaires et formes quadratiques Formes bilinéairesFormes quadratiquesMéthode de Gauss pour diagonaliser une forme quadratique

Changement de base

Définition

On dit que deux matrices carrées d"ordrenà coefficients dansK,MetM0, sont congruentes, s"il existe une matrice inversiblePtelle queM0=tPMP.Définition Soit':EE!Rune forme bilinéaire sur leR-espace vectorielE. 'est définie si

8x2E; '(x;x) = 0()x= 0;

'est dite positive lorsque

8x2E; '(x;x)0;

'est dite définie positive lorsque

8x2En f0g; '(x;x)>0:Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre IV : Formes bilinéaires et formes quadratiques

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Formes bilinéaires symétriques

Définition

On dit qu"une forme bilinéaire'surEest symétrique si

8(x;y)2EE; '(x;y) ='(y;x);

Elle est antisymétrique si'(x;y) ='(y;x).

Remarquer que la symétrie permet de ne vérifier la linéarité que d"un seul côté.'(x+z;y) ='(x;y) +'(z;y) ='(y;x) +'(y;z) ='(y;x+z):Exemple La relation'((x1;x2;:::;xn);(y1;y2;:::;yn)) =x1y1+x2y2+:::+xnyn

définit une forme bilinéaire symétrique et définie positive (à vérifier).Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre IV : Formes bilinéaires et formes quadratiques

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Formes bilinéaires symétriques

Proposition

Pour qu"une forme bilinéaire soit symétrique il faut et il suffit que sa matrice dans une base donnée soit symétrique (c"est-à-direaij=aji).Démonstration. SoitB=fe1;e2;:::;engune base deE. La matrice de la forme bilinéaire' dans cette base est : ('(ei;ej))1i;jn: Si cette matrice est symétrique on a pour tout1inet1jn, '(x;y) =X

1i;jn'(ei;ej)xiyj=X

1i;jn'(ej;ei)yjxi='(y;x);

c"est-à-dire que la forme bilinéaire est symétrique. Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre IV : Formes bilinéaires et formes quadratiques Formes bilinéairesFormes quadratiquesMéthode de Gauss pour diagonaliser une forme quadratique

Généralités

Définition

On dit qu"une applicationQ:E!Kest une forme quadratique sur l"espace vectorielEs"il existe une formebilinéaire symétr ique'surEE vérifiantQ(x) ='(x;x)pour toutxdansE.'est appelée la forme bilinéaire associée àQ.Exemples 1) Soient E=K,aun élément deKet'la forme bilinéaire symétrique sur Kdéfinie par'(x;y) =axy. Alors :Q:K!K; x!ax2est une forme quadratique associée à'. 2) Soient E=K2et la forme bilinéaire symétrique surK2définie par ((x;y);(x0;y0)) =xx0+yy0. Alors :Q:K2!K;(x;y)!x2+y2

est une forme quadratique associée à .Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre IV : Formes bilinéaires et formes quadratiques

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Généralités

Proposition

SoientEunK-espace vectoriel,'une forme bilinéaire symétrique surE etQla forme quadratique associée à'. i)Soientxun élément deEetun scalaire. Alors,

Q(x) =2Q(x):

ii)Pour tout(x;y)appartenant àEE,quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

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