Formes bilin´eaires et quadratiques

Formes sesquilin´eaires et hermitiennes.

8.D´efinitions et premi`eres propri´et´es

On consid`ere un corpsk, de caract´eristique diff´erente de 2, et un espace vectorielEsurkde dimension quel- conque. D´efinition 8.1.On appelle forme bilin´eaire surEune application b:E×E-→k telle que, (1)pour toutx?E, l"application partielle b x:E-→k y?-→b(x,y) est une forme lin´eaire surE. (2)pour touty?E, l"application partielle b y:E-→k x?-→b(x,y) est une forme lin´eaire surE. On dit quebestsym´etriquesib(x,y) =b(y,x)pour tous xetydansE.`A toute forme bilin´eaire surEest associ´ee une forme quadratique q:E-→k x?-→b(x,x)

Pour tousx,ydeEetλdansk, on a donc

q(λx) =b(λx,λx) =λ2q(x) et q(x+y) =b(x+y,x+y) =q(x) +q(y) +b(x,y) +b(y,x). R´eciproquement, toute forme quadratiqueqsurEpro- vient d"une seule forme bilin´eaire sym´etrique : celle d´e- termin´ee, lorsque la caract´eristique dekn"est pas 2, par la formule :

2b(x,y) =q(x+y)-q(x)-q(y)

ou aussi bien par

4b(x,y) =q(x+y)-q(x-y).

On l"appelle parfois laforme polairede la forme quadra- tique. L"ensemble des formes bilin´eaires (resp. bilin´eaires sym´e-

triques) surEest un espace vectoriel surk. L"ensembledes formes quadratiques surEest unk-espace vectoriel

canoniquement isomorphe `a celui des formes bilin´eaires sym´etriques. Restriction.La restriction d"une forme bilin´eaire (resp. d"une forme quadratique) `a un sous-espace vectorielF deEesttoujoursune forme bilin´eaire (resp. une forme quadratique) surF.

Exemple 8.1.1.Consid´eronsE=k. L"application

q:E-→k x?-→q(x) =x2 est une forme quadratique surEassoci´ee `a la forme bi- lin´eaire sym´etrique b:E×E-→k (x,y)?-→b(x,y) =xy Exemple 8.1.2.On consid`ere iciE=k2. L"application q:E-→k x= (x1,x2)?-→q(x) =x1x2 est une forme quadratique surEassoci´ee `a la forme bi- lin´eaire sym´etrique b:E×E-→k (x,y)?-→b(x,y) =12 (x1y2+x2y1). La restriction deq`a Vect(e1) (resp. Vect(e2)) est nulle. La restriction `a Vect(e1+e2) est la forme quadratique de l"exemple 8.1.1. Exemple 8.1.3.Consid´eronsk=Ret l"espace vecto- rielE=C([0,1],R) des fonctions continues sur l"inter- valle compact [0,1]. L"application q:E-→k f?-→? 1 0 f2(t)dt est une forme quadratique surEassoci´ee `a la forme bi- lin´eaire sym´etrique b:E×E-→k (f,g)?-→? 1 0 f(t)g(t)dt Exercice8.2.Toujours aveck=R, consid´erons l"en- sembleE=?2(R) des suites de r´eels de carr´e som- mable. Autrement dit, un ´el´ement deEest une suite u:= (un)n?Ntelle que?∞ n=0u2n<∞. 17 18

SoitNun entier. Consid´ererλ?-→?N

n=0(un+λvn)2et prouver l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz N? n=0u nvn? 2 N? n=0u 2n?? N? n=0v 2n? En d´eduire que?2(R) est un espace vectoriel surR.

Montrer que l"application

q:E-→k u?-→∞? n=0u 2n est une forme quadratique surEassoci´ee `a la forme bi- lin´eaire sym´etrique b:E×E-→k (u,v)?-→∞? n=0u nvn Exemple 8.2.1.Consid´eronsk=Ret un espace affine euclidienE. L"espace des vecteurs deEest donc un espace vectoriel euclidienE, muni d"un produit scalaire not´e ? | ?et de la norme euclidienne associ´ee not´ee? ?. On fixe un pointOdansEet on consid`ere l"application : q

A:E-→k

?v?-→ ?-→OA|?v?2 V´erifier que, lorsque??v?= 1,?-→OA?2-qA(?v) exprime la distance du pointA`a la droite d´efinie par le pointOet le vecteur directeur?v(voir Exercice 3, Feuille 4).

8.3.Dualit´e. Noyau.Soitbune forme bilin´eaire sym´e-

trique. On en d´eduit une application b:E-→E? x?-→(y?-→b(x,y)) qui associe `a tout vecteurxdeE, l"application partielle y?-→b(x,y), qui est bien une forme lin´eaire surE. On appellenoyaude la forme bilin´eaire sym´etriqueb (resp. de la forme quadratique associ´ee) le noyau de l"ap- plicationφb. C"est le sous-espace vectoriel des vecteurs xdeE: kerb:={x?E,?y?E,b(x,y) = 0}. Lorsque le noyau debest r´eduit `a{0}, l"applicationφb est injective. On dit alors quebestnon-d´eg´en´er´ee. Si une forme lin´eairef?E?est l"image parφbd"un vecteurx, on dira qu"elle estrepr´esent´eeparx(viab). Si tel est le cas, pour toutydeEon a f(y) =b(x,y) Si de plusEest de dimension finie, alorsφbest un isomorphisme entreEetE?. Toute forme lin´eaire est repr´esent´ee par un vecteur deE. C"est un cas tr`es im- portant. On y revient au paragraphe 8.7.8.4.Matrice d"une forme quadratique sur un es- pace vectoriel de dimension finie.Dans ce para- graphe, l"espace vectorielEest suppos´e de dimension finiensurk. On se donne une forme quadratiqueq de forme polaireb. SiB= (e1,...,en) est une base deE, on d´esigne parai,jla valeur deb(ei,ej) pour

1≤i,j≤n. Pour tous vecteursxetydeE, de co-

ordonn´ees (x1,...,xn) et (y1,...,yn) dans la baseB, on a donc, par bilin´earit´e : b(x,y) =b(n? i=1x iei,y) =n?quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

[PDF] Formes bilin´eaires et quadratiques - CNRS

Chapitre IV : Formes bilinéaires et formes quadratiques

Chapitre 2 Formes bilin´eaires sym´etriques formes