Exercices formes bilinéaires et quadratiques

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Pr´eparation `a l"agr´egation de math´ematiques Ann´ee 2009-2010 Universit´e de Nice-Sophia Antipolis Georges Comte

Formes bilin´eaires et quadratiques

R´ef´erences.Les rappels de cours sont tir´es du Cours de Math´ematiques Sp´eciales, E. Ramis, C.

Deschamps, J. Odoux. Masson. Les Exercices du mˆeme ouvrage et de Exercices de Math´ematiques Oraux

X-ENS, Alg`ebre 3, S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas. Cassini. Rappel.Soientkun corps,E,Fdeuxk-espaces vectoriels. Une applicationφ:E×F→kest uneforme biin´eaire surE×Fssi : ?x?E,?y?E,φ(x,·):F→k est dansF? etφ(·,y):E→kest dansE .OnnoteL 2 (E,F) l"ensemble des formes bilin´eaires surE×F.

Il s"agit d"unk-espace vectoriel.

On noteg

:E→F l"applicationg (x)=φ(x,·)etd :F→E l"applicationd (y)=φ (·,y)

Exercice 1. Montrer queg:φ?→gφ

est unk-isomorphisme entreL 2 (E,F)etL(F;E ).Demˆeme d:φ?→d est unk-isomorphisme entreL 2 (E,F)etL(E;F

Exercice 2. Montrer que le rang deg

est fini ssi celui ded l"est et que ceux-ci sont alors les mˆemes.

Indication.Commencer par montrer queg

t(d E etd t (g F ,o`uι E etι F sont les inclusions canoniquesE→E etF→F . Montrer ensuite que siuest une application lin´eaire de rang fini, t uaussi et quedanscecasrg( t t u)?(ker(u)) ?(E/ker(u))? ?(Im(u))

Noter qu"ici l"orthogonalit´e est celle des formes lin´eaires contre les vecteurs de leur espace de d´epart.

Rappel.On dit quex?Eety?Fsontφ-orthogonauxssiφ(x,y)=0. Onnotex?y.Onnote aussi pourA?E,A ={y?F;φ(x,y)=0,?x?A}. Il s"agit d"un sous-espace vectoriel deFappel´e l"orthogonal deA.De meme pour une partieA ?deF. Exercice 3. Montrer les propri´et´es suivantes :

A?B=?B

?A ,(A?B) =A ∩B ;A +B ?(A∩B) ,A ∩B ?(A+B) La derni`ere inclusion est une ´egalit´elorsque0?A∩B. Rappel.On dit queφestnon d´eg´en´er´eessig

φetd

sont injectives. Il est possible que l"une de ces

deux applications soit injective sans que l"autre le soit. SiE=Fet si dim(E)<∞, l"injectivit´edel"une

´equivaut `a l"injectivit´e de l"autre, par l"exercice 2.

Exercice 4. Supposonsφnon d´eg´en´er´ee. Pour que le sous-espaceHdeEsoit de dimension finie,

il faut et il suffit que la codimension deH le soit. Dans ce cas : dim(H)=codim F (H ),H =H. Indication.Consid´erer?φ:H×F→k, ma restriction deφ`aH×Fet remarquer queIm(g?φ H/0 H ?HetIm(d? )?F/H . Puis appliquer l"exercice 2. Pour la seconde in´egalit´e, observer que ()Enr´ealit´eona:rg(u) est fini ssirg( t u) est fini et dans ce casrg(u)=rg( t u). On montre pour cela queIm( t u)=(ker(u)) H?H . Montrer ensuite queH=H et appliquer dim(H)=codim F (H )`aH pour obtenir : dim(H )=codim F (H )=dim(H). Exercice 5. Siφest non d´eg´en´er´ee surE×Fet siH 1 etH 2 sont deux sous-espaces deEde dimensions finies, montrer que : H ?1 +H ?2 =(H 1 ∩H 2

Indication.D"apr`es l"exercice 3, on aH

?1 ∩H ?2 =(H 1 +H 2 .PosonsG=H ?1 +H ?2 . On doit donc prouverG=G . Il suffit alors de montrer que codim F (G)=codim F (G ), puisqueG?G Exercice 6. 1- Montrer que sif,g?L(E;F)sont telles que pour toutx?Eexisteλ x ?ktel que f(x)=λ x g(x),alorsfetgsont proportionnels.

2- Soitφune forme bilin´eaire surE×Etelle que pour toutx,y?E,φ(x,y)est colin´eaireφ(y,x).

Noter qu"en particulierφestr´eflexivec"est-`a-dire queφ(x,y)=0=?φ(y,x)=0.Montrerqueφest

symm´etrique ou antisym´etrique. Indication.1- Montrer que ker(g)?ker(f) implique qu"existeh?L(Im(g);F)telquef=h◦g.

Montrer ensuite queh(g(x)) =f(x)=λ

x g(x) implique quehest une homoth´etie.

2- On ag

x (y)=λ y d x (y), d"apr`es la question 1,g x x d x . On applique `a nouveau la question 1 :

g=λd.Onaφ(x,y)=λφ(y,x). S"il existextel queφ(x,x)?=0,onaλ= 1 et doncφest symm´etrique. Si

pour toutx?E,φ(x,x)=0,φest antisymm´etrique. Rappel.Lamatrice repr´esentative d"une forme bilin´eaireφdans les basesB E =(e 1 ,···,e n deEetB F =(e ?1 ,···,e ?p )deFest la matriceMat(φ,B E ,B F )=Ω=(φ(e i ,e j)). De sorte que siXest la colonne des coordonn´ees dexdansB E ,Ycelle deydansB F ,ona: t

XΩY=φ(x,y)

Exercice 7. 1- Donner la matrice repr´esentative deφ:C 2 ×C 3 →Cd´efinie parφ((a,b),(u,v,w)) = (w+iu)a+b(u+iv).

2- Montrer que siB

Equotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

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Chapitre IV : Formes bilinéaires et formes quadratiques

Chapitre 2 Formes bilin´eaires sym´etriques formes

Formes bilin´eaires et quadratiques - CNRS