Les nombres complexes (1) : forme algébrique

1 Définitions d"un nombre complexe

1.1 Forme algébrique

L"équationx2=-1n"a pas de solution surR. On poseiune solution de l"équationx2=-1on a alors i 2=-1. L"autre solution de l"équation est(-i). Siia pu être noté⎷ -1, cette notation n"est plus d"actualité.

Ainsi on a pu résoudre d"autres équations en conservant les règles de calculs habituelles surR.

Exercice - exemple de découverte :

1. Résoudre

(a)x2=-4 (b)0,25x2+x⎷

2 + 3 = 0

2. Toujours avec les opérations habituelles surR, on peut simplifier les calculs suivants :

(a)z1= 3 + 2i-(5 + 4i) (b)z2= (3 + 2i)(5 + 4i)

Définition :

Le nombrezdéfini par l"expression uniquea+iboùi2=-1,a?Retb?Rest appelé nombre complexe,

l"expressiona+ibest appelée forme algébrique du nombre complexez. L"ensemble de ces nombreszforment

l"ensembleCdes nombres complexes. z=a+ib aest appelé partie réelle du nombre complexez:a=Re(z) best appelé partie imaginaire du nombre complexez:b=Im(z) L"ensembleCprolonge les règles de calculs deRd"addition et de multiplication.

Remarques :

z= 0?? Re(z) = 0etIm(z) = 0,

z?R?? Im(z) = 0. AinsiR?C,

Définition :

Un nombre complexezqui a pour forme algébriqueiboùb?R(Re(z) = 0) est appelé imaginaire pur.

Propriété :

Soitz=a+ibetz?=a?+ib?deux nombres complexes.

z=z???(a=a?etb=b?).

Autrement dit, deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leur partie réelle et leur partie

imaginaire sont égales.

Exercice - exemples :

1.Im(5-2i) =

2.Re((2i-1)(i+ 7)) =

3. Résoudre dansC,z-3 + 2i= 5 + 7i

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Terminale S

1.2 Conjugué

Définition :

Soitz=x+iyun nombre complexe.

Le nombre complexe

zd"expression algébriquex-iyest appelé nombre conjugué dez.

Exemple :

Quel est le conjugué du nombre complexez= 3-2i?

1.3 Représentation graphique

Définition :

Soitzun nombre complexe,z=x+iyavecx?Rety?R.

Le nombre complexezest représenté dans un repère orthogonal?

O;-→i;-→j?

par un pointMde coordonnées(x;y). Tout pointMdu plan représente un unique nombre complexez.

On dit que le pointMa pour affixez.

Le vecteur--→OMa pour affixez.

Le plan qui représente des nombres complexes est appelé plancomplexe.

Exemple :

Dans le repère?

O;-→i;-→j?

, représenter : 12 -1 -21 2-1-2 -→i-→ j

1. le pointM0d"affixez0=i.

2. Le pointM1d"affixez1= 1 + 2i.

3. Le pointM2d"affixez2=-2-i.

4. L"ensembleDdes pointsMd"affixeztels queIm(z) = 0.

5. L"ensembleDdes pointsMd"affixeztels queRe(z) = 0.

6. Pour un pointMd"affixez, placer les points d"affixes

z,-zet-z(refaire une figure).

7. L"ensemble des pointsMtels queIm(z+ 1-0,5i) = 0,5.

Dans un repère orthonormé

O;-→i;-→j?

Théorème :

SoitAetBdeux points d"affixezAetzB, le milieuIdu segment[AB]a pour affixezI=zA+zB 2.

Théorème - définition :

Mun point d"affixez=x+iy.

2=x2+y2soitOM=?

x2+y2.

On note alors|z|=?

x2+y2et|z|est appelé module du nombre complexez.

Remarque :

|z|= 0??OM= 0??M=O??z= 0.

Théorème :

SoitAetBdeux points d"affixezA=xA+iyAetzB=xB+iyB, le vecteur--→ABa pour affixe z

B-zA=xB-xA+i(yB-yA).

AB=|zB-zA|=?

(xB-xA)2+ (yB-yA)2.figure

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Terminale S

Théorème :

Soit-→uet-→vdeux vecteurs d"affixes respectifsz-→uetz-→v,kun nombre réel. L"affixe du vecteur-→u+-→vestz-→u+z-→v. L"affixe du vecteurk-→uestk×z-→u.

2 Opérations de base

2.1 Opérations issues deR

Propriétés :

Soitz=x+iyetz?=x?+iy?deux nombres complexes.

z+z?=x+x?+i(y+y?)

zz?=xx?-yy?+i(xy?+x?y)

Pourz?non nul,1

z?= z? z?z?=x?-iy?x?2+y?2=x?x?2+y?2+i-y?x?2+y?2

Pourz

z?=z z?

Démonstration :laissée en exercice.

Remarque :z

z=xx?-yy?

Exercice - exemples :

Simplifier les calculs suivants :

1.3 +i+1

5-2i 2.

2 +i⎷2??1 +i1-i?

3. 1

2+i⎷

3 2? 3

4.z=x+iy, trouver la forme algébrique :

(a)z2, (b) z2, (c) z2, (d) 1 z2.

Propriété du produit nul :

Soitz=x+iyetz?=x?+iy?deux nombres complexes.

zz ?= 0??z= 0ouz?= 0

Démonstration :

Siz= 0ouz?= 0alorszz?= 0. Réciproquement :

zz ?= 0??xx?-yy?= 0etxy?+y?x= 0??xx?=yy?etxy?=-x?y.

Six= 0oux?= 0ouy= 0ouy?= 0alorsz= 0ouz?= 0.

Si aucun n"est nul,xx?yy?=y2y?2=-x?2y2soity?2=-x?2soitx?=y?= 0. On aboutit a une contradiction.

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Nombres complexes : forme algébrique