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[PDF] vous trouverez ci-joint le document dûment rempli
GÉOMÉTRIE AFFINE
Document de travail pour la préparation au CAPESVersion 2008
AVEC LA PARTICIPATION DEJACQUESCHAUMAT
MATHÉMATIQUE, BÂT. 425
UNIVERSITÉPARIS-SUD
F-91405 ORSAYCEDEX.
MODE D"EMPLOI
Ce texte propose une présentation de la géométrie affine, c"est-à-dire de la partie de la géométrie
que l"on apprend au collège et au lycée et qui concerne les propriétés des droites, plans, etc., (à l"ex-
clusion des notions métriques : distance, angle). La différence essentielle avec ce que vous avez appris
au lycée est qu"ici la géométrie s"appuie fondamentalement sur l"algèbre linéaire. La géométrie affine
est une question peu abordée dans les cours de DEUG et de licence mais elle figure au programme de
l"écrit du CAPES et elle peut avoir une grande importance dans les problèmes. Vous devez considérer ce polycopié comme un document detravail personnel. Il comprend l"es-sentiel du cours de géométrie affine que vous devez maîtriser. Des commentaires sur les définitions et
les résultats (repérés par un trait vertical et une typographie en italiques) vous aideront à faire le lien
avec ce que vous connaissez déjà et à développer votre intuition des notions nouvelles, mais ce qui
est nouveau restera pour vous abstrait (voire obscur) tant qu"un vrai travail ne vous l"aura pas rendu
familier et concret. Une méthode de travail logique que vous pouvez utiliser lorsque vous abordez un chapitre est la suivante :•Procéder à une première lecture des énoncés et des commentaires qui vous donnera une vue
d"ensemble de la partie à étudier.•Passer à l"apprentissage proprement dit qui doit être actif, c"est-à-dire se faire crayon en main.
Dans cette deuxième lecture, vous devez, pour chaque énoncé :a) Dessiner des figures. C"est une habitude essentielle à prendre, en géométrie et cela vous
permettra de faire le lien avec vos connaissances antérieures.b) Comprendre le sens de l"énoncé, quitte à revenir en arrière pour revoir ce qui précède. En
cas de difficulté, voir e). c) Essayer de produire une démonstration avant de lire celle du polycopié. L"expériencemontre en effet que cette première approche personnelle, même si elle a été infructueuse, vous per-
mettra de mieux rentrer dans la démonstration des auteurs (et éventuellement de la critiquer).d) Le texte est parsemé de♠qui sont autant d"invitations à réfléchir sur les définitions et les
résultats qui viennent d"être énoncés. Vous devez donc réaliser le travail demandé dans ces♠. Pour
certains, des indications sont fournies à la fin du polycopié, mais vous ne devez vous y reporter qu"en
dernier recours. e) Si, dans cette lecture active, certains points vous paraissent encore obscurs, notez-les et posez les questions aux enseignants, elles seront les bienvenues.•La troisième étape est d"aborder les exercices d"application ou de complément, notés♣, ils tes-
teront votre compréhension et vous permettront d"aller plus loin.Enfin, les questions marquées d"un♥sont plus délicates mais elles vous mèneront au coeur des
choses.Au travail!
1TABLE DES MATIÈRES
I. ESPACES AFFINES3
1. Espace affine 3
2. Translations 6
3. Sous-espaces affines 7
4. Intersection de sous-espaces affines, sous-espace affine engendré 11
5. Parallélisme 12
6. Exercices 13
II. BARYCENTRES15
1. Définitions et propriétés 15
2. Barycentres et sous-espaces affines 19
3. Repères affines et coordonnées 20
4. Compléments sous forme d"exercices 23
III. CONVEXITÉ26
1. Définition et propriétés 26
2. Enveloppe convexe 27
3. Convexité et topologie 28
IV. APPLICATIONS AFFINES30
1. Applications affines : Définition 30
2. Applications affines : Exemples 31
3. Applications affines : Propriétés 35
4. Théorème de Thalès 36
5. Composition des applications affines, isomorphismes affines 39
6. Groupe affine 41
7. Points fixes d"une application affine, théorème de décomposition 43
Corrigés : ESPACES AFFINES48
1. Espace affine 48
2. Translations 48
3. Sous-espaces affines 49
4. Intersection de sous-espaces affines, sous-espace affine engendré 49
5. Parallélisme 49
Corrigés : BARYCENTRES50
1. Définition et propriétés 50
2. Barycentres et sous-espaces affines 50
3. Repères affines et coordonnées 50
4. Compléments sous forme d"exercices 50
Corrigés : APPLICATIONS AFFINES50
2. Applications affines : Exemples 50
3. Applications affines : Propriétés 51
5. Composition des applications affines, isomorphismes affines 51
6. Groupe affine 51
2I. ESPACES AFFINES
?Dans ce chapitre on développe la théorie des espaces affines abstraits (de dimensionfinie), quipermet notammentde traiterles problèmesgéométriques d"alignement, de concourance et de parallélisme. L"intérêt majeur de cette présentation de la géométrie réside dans l"utilisation de l"outil simple et puis- sant que fournitl"algèbre linéaire. C"est le fil conducteur qui guide ce texte. L"objectif est d"appliquer cette théorie aux cas "concrets" du plan et de l"es- pace (les plus importants pour le CAPES). Aussi, en travaillant ce cours, il est essentiel d"illustrer les définitions et théorèmes dans le plan et l"espace : faites des dessins, encore des dessins, toujours des dessins!1. ESPACE AFFINE
Dans tout le texte,
?Eest unR-espace vectoriel de dimension finie.1.1.Définition.Unespace affine d"espace vectoriel sous-jacent?Econsiste en la donnée d"un en-
sembleEnon vide et d"une applicationΦdeE×Edans?Equi à un couple(x,y)deEassocie un vecteur noté-→xyet qui vérifie1)?(x,y,z)?E3-→xy+-→yz=-→xz(relation de Chasles).
2) Pour tout pointadeE, l"applicationΦadéfinie deEdans?Epar
a(x) =Φ(a,x) =-→ax est une bijection deEdans?E. Ladimensionde l"espace affineEest par définition celle de l"espace vectoriel sous-jacent?E.???Il y a deux types d"objets en jeu : les éléments de E (appelés points et notés
a,b,x,y,...) et ceux de?E (appelés vecteurs et notés?v,...). En général, dans ce texte, on munit de flèches tout ce qui est vectoriel et on réserve les ma- juscules aux parties de E ou ?E. Vous verrez que c"est une notation cohérente et commode. Cependant, comme ce n"est pas la coutume de l"enseignement secondaire, il est peut-être préférable, à l"oral du CAPES, d"utiliser des no- tations plus standard et de noter A,B les points de l"espace affine et-→AB les vecteurs. En fait, la définition précédente est également valable pour un espace vec- toriel-→E de dimension quelconque (finie ou non), sur un corps quelconque.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2