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Universit
e de Toulouse Preparationa l'agregation
Geometrie ane et euclidienne
Exercices preparatoires
Cette feuille d'exercices contient la plupart des denitions necessaires a la resolution des exercices.
Il sera cependant parfois utile de s'aider d'un cours de geometrie ane et euclidienne et il ne faut pas
hesiter a le faire.
1 Un peu d'algebre lineaire
SoitKun corps. On noteEun espace vectoriel sur le corpsK. Exercice 1.1. Rappeler la denition d'espace vectoriel et de sous-espace vectoriel.
2. L'intersection, la reunion, la somme d'une famille (nie ou non) de sous-espaces vectoriels est-
elle un espace vectoriel? Le complementaire d'un sous-espace vectoriel est-il un sous-espace vectoriel? Exercice 2.1. SoientFetGdeux sous-espaces supplementaires dansE. (a) Rappeler la denition de projectionpdeEsurFparallelement aG. (b) Montrer quepest lineaire. Determiner ensuite son noyau et son image. La projectionp est-elle injective, surjective? (c) Verier quepp=p. (d) Montrer qu'il existe une base naturelle deEdans laquelle la matrice depest diagonale. (e) Soitqla projection deEsurGparallelement aF. Quel lien existe-t-il entrepetq?
2. Soitfun endomorphisme deEtel queff=f. Prouver queE= imfkerfet quefest la
projection sur imfparallelement a kerf. Exercice 3.Avec les notations de l'exercice precedent, l'applications= 2pid s'appelle la symetrie par rapport aFparallelement aG.
1. Six=y+zavec (y; z)2FG, montrer ques(x) =yz.
2. Etablir les analogues des resultats de l'exercice precedent.
2 Geometrie ane
Un espace ane est un couple (E; E), ouEest un ensemble de points etEun espace vectoriel. L'ensemble de vecteursEagit sur l'ensemble des pointsEviaE E! E, (A; ~x)7!A+~x, de facon libre et transitive. Exercice 4.Pour tousA,B,CetDpoints d'un espace aneE, montrer que les proprietes suivantes sont equivalentes :
1.!AB=!DC,
2.!AD=!BC,
3.!AB+!AD=!AC.
Exercice 5.Soient (E; E) et (F; F) deux espaces anes etf:E ! Fune application ane.
1. Rappeler la denition d'application ane.
2. Montrer quefest injective (resp. surjective, bijective) si et seulement si l'application vectorielle~fassociee afl'est.
Exercice 6.On appelle translation de vecteur~x2Eune application anet~x:E ! Edenie par
A7!A+~x. Montrer les proprietes suivantes :
1. Pour tous~x,~y2E, on at~xt~y=t~x+~y=t~yt~x.
2. Pour tout~x2E, l'applicationt~xest bijective, d'inverse (t~x)1=t~x.
3. Pour toute application anef:E ! Eet pour tout~x2E, on aft~x=t~f(~x)f.
4. Pour tout couple (A; B)2EE, il existe une unique translationttelle quet(A) =B.
Exercice 7.SoientA,Bdeux points deE(distincts ou non). On notesA(resp.sB) la symetrie ane de centreA(resp.B). Determiner la composeesBsA.
3 Geometrie euclidienne
Soit (E; ') un espace euclidien (c'est-a-dire un espace vectorielEmuni d'un produit scalaire ':EE!R). On dit que l'applicationu:E!Eest orthogonale si pour tous~x,~y2E, on a'(u(~x); u(~y)) ='(~x; ~y). On noteO(') le groupe orthogonal etO(n) les matrices orthogonales de taillen. Exercice 8.Soitu:E!Eun endomorphisme etu:E!Eson adjoint (relativement a').
1. Montrer queuetuont les m^emes valeurs propres.
2.
Etablir l'identite keru= (imu)?.
3. On suppose queuest normal, c'est-a-dire queuu=uu.
(a) Citer deux exemples d'endomorphismes normaux. (b) Montrer que :8~x2E,jju(~x)jj=jju(~x)jj. (c) En deduire l'egalite keru= kerupuis la decompositionE= keruimu.
Exercice 9.1. Montrer queO(2) =a"b
b "a ; a; b2R; "2 f1g; a2+b2= 1
2. En deduire les descriptions deSO(2) etO(2) en fonction de matrice en coset sin. ainsi
que le fait queO(2) est l'ensemble des matrices diagonalisables deO(2) ayant pour valeurs propres 1 et1.
3. Demontrer que les groupesSO(2) etR=2Rsont isomorphes.
4 Geometrie ane et euclidienne
On considere maintenant un espace ane euclidien (E; E; '), c'est-a-dire un espace ane (E; E) muni d'une structure euclidienne (E; '). Exercice 10.1. Soit!H= (K~a)?un hyperplan deE. On note~ala re exion vectorielle d'hy- perplan (K~a)?. Rappeler la denition de~aet decrire sa valeur en~xen fonction de',~aet~x. Representer a l'aide d'un dessin cette application.
2. Montrer que~aest une application orthogonale (on pourra par exemple calculer sa matrice
dans une base orthonormee bien choisie).
3. SoientHun hyperplan ane deEet~aun vecteur deEtel que!H?=R~a. On noteHla
re exion d'hyperplanH, c'est-a-dire une isometrie ane admettant au moins un point xeAet veriantE1(!H)?=R~a=E1(!H). DecrireH(B) en fonction deB,!AB,'et~a. Representer graphiquement cette application.
4. SoientH1etH2deux hyperplans anes du plan aneE=R2.
(a) Supposons!H1=!H2. Decrire la transformationH1H2. (b) On suppose maintenant!H16=!H2. Decrire la transformationH1H2. (c) Generaliser les questions precedentes a un espace ane de dimension quelconque.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2
Géométrie Af?ne Euclidienne - Université Paris-Saclay