Une courbe paramétrée peut ne pas avoir de tangente au sens de cette définition alors que son support, vu comme un graphe, peut admettre une tangente (au sens de la tangente d'un graphe). Exemple. – Soit ? : R ?? R2 donnée par ?(t)=(t3,t9). Puisque ? (0) = 0, cette courbe paramétrée n'a pas de tangente en t = 0.
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Les courbes param´etr´ees
On travaille dans le planE=R2, que l"on voit `a la fois comme un plan affine ou vectoriel selon les besoins du moment. Le plan est muni de sa forme euclidienne canoniquex2+y2.1 D´efinitions
1.1 Qu"est-ce qu"une courbe?
C¸a commence mal! Je ne sais pas vraiment r´epondre `a cette question. Il y a plusieurs aspects possibles, on peut voir une courbe comme l"ensembleV(F) des points (x,y) qui v´erifient une ´equation impliciteF(x,y) = 0, comme l"image d"un param´etraget?→(x(t),y(t)) ou comme le graphe d"une fonction y=f(x). Les deux premi`eres versions sont ´evidemment plus g´en´erales que la troisi`eme (prendreF(x,y) =y-f(x) oux(t) =t,y(t) =f(t)), mais seule la version graphe offre la garantie que le r´esultat ressemble `a une courbe. En ef- fet, mˆeme en supposantFcontinue et non constante,V(F) peut ˆetre assez bi- zarre (pour une courbe), par exemple n"importe quel ferm´e deR2, un disque, un carr´e, etc. (SiCest un ferm´e deR2, regarderF(x,y) =d((x,y),C).) On verra que c"est aussi le cas pour les courbes param´etr´ees. En faisant des hypoth`eses convenables on a toutefois l"´equivalence des trois notions :1.1 Th´eor`eme.SoitCune partie deR2. Les conditions suivantes sont
´equivalentes.
1) Pour chaque pointm0= (x0,y0)deCil existe un voisinageVdem0et
une fonctionF:V→R, de classeC1, dont la diff´erentielle est partout non nulle, telle que l"on aitC∩V=V(F).2) Pour chaque pointm0= (x0,y0)deCil existe un voisinageVdem0, un
intervalle ouvertIdeRet une application de classeC1,f= (x,y) :I→R2, dont la d´eriv´ee ne s"annule pas surI, tels queC∩V= Imf.3) Pour chaque pointm0= (x0,y0)deCil existe un voisinageVdem0, un
intervalle ouvertIdeRet une application de classeC1,f:I→Rtels que C∩Vsoit ´egal au graphe dey=f(x)ou dex=f(y). D´emonstration.L"implication 1) =?3) vient essentiellement du th´eor`eme des fonctions implicites, 3) =?2) est ´evident et pour 2) =?1), si par exemplex?(t0) est non nulle,xest bijective au voisinage det0, on peut donc tirerten fonction dexet il n"y a plus qu"`a reporter dansy. 11.2 Param´etrages et courbes param´etr´ees
1.2.1 D´efinition
1.2 D´efinition.On appelleparam´etrageune applicationf:I→R2, o`u
Id´esigne un intervalle (voire une r´eunion d"intervalles) deRet o`ufest continue. Lacourbe (param´etr´ee)associ´ee `afest son imageC=f(I).1.3Remarques.
1) Il faut dire tout de suite que cette d´efinition n"est pas raisonnable. En effet,
il existe par exemple un param´etragefd´efini sur [0,1] et dont l"image est le carr´e [0,1]2(courbe de Peano ou de Hilbert). Plus g´en´eralement, on peut montrer que siXest un espace m´etrique compact, connexe et localement connexe par arcs, il existef: [0,1]→Xcontinue surjective. Pour ´eviter ce canular,on supposera, dans tout ce qui suit, quef est de classeC1par morceaux. Cela signifie quex(t) ety(t) sont de classe C1par morceaux.
2) Les appellations ne sont pas contrˆol´ees. D"autres parleront de courbe pa-
ram´etr´ee au lieu de param´etrage et de support au lieu de courbe. Le tout est de dire quelque chose de pr´ecis.1.2.2 Branches
Il s"agit de comprendre qu"une courbe param´etr´ee peut avoir plusieurs branches en un point (voir ci-dessous la cubique nodale).1.4 D´efinition.Soitf:I→R2un param´etrage,C=f(I)et soitJun
intervalle ouvert non vide contenu dansI. Si la restrictionf|J:J→R2est injective, son image est appel´ee unebranchedeC.1.5Remarque.Une courbe param´etr´ee, mˆeme de classeC1, peut ne pas
avoir de branche (injective) au voisinage d"un point, t´emoin l"exemple de x(t) =y(t) =t3sin1t1.2.3 Interpr´etation cin´ematique
1.6 D´efinition.Avec les notations de 1.2, on interpr`ete la variabletcomme
letemps. On parle alors defcomme unmouvement(ou la loi horaire d"un mouvement), on note souventf(t) =M(t)et on en parle comme d"unpoint mobileet la courbeCest satrajectoire. Le vecteurvitesse 2 moyenneentre les tempst1ett2(distincts) est le vecteur--------→M(t1)M(t2)t 2-t1= f(t2)-f(t1)t2-t1,levecteur vitesse instantan´eeent0est la limite (si elle
existe) de f(t)-f(t0)t-t0quandttend verst0. Il est ´egal `af?(t0). Sifest deux fois d´erivable ent0, levecteur acc´el´erationen ce point estf??(t0).1.3 Discussion sur les param´etrages : existence? uni-
cit´e?1.3.1 Trouver un param´etrage
La question de trouver un param´etrage a ´et´e abord´ee au th´eor`eme 1.1. Il y a n´eanmoins beaucoup de questions difficiles autour de cette question, notamment celle de l"existence de param´etrage rationnel pour les courbes alg´ebriques (les courbes de la formeV(F) o`uFest un polynˆome). On peut donner deux exemples.1.7Exemple.Si on a une conique dont on connaˆıt un point, on obtient un
param´etrage rationnel en la coupant par une droite variable passant par le point. Par exemple, siCa pour ´equationx2+ 2y2-3x+ 4y= 0, elle passe par l"origine et on coupeCpar la droitey=tx. On trouve l"´equation enx: x2+ 2t2x2-3x+ 4tx= 0 qui donne la solution ´evidentex= 0, mais aussi
un autre pointx=3-4t1 + 2t2,y=3t-4t21 + 2t2.1.8Exercice.Param´etrer rationnellement la conique d"´equation 3x2-xy+
y2-x+ 2y-2 = 0 en partant du point (1,0). (R´esultat :x=t2-2t-2t
2-t+ 3,
y=-t(t+ 5)t2-t+ 3.)
1.9Exemple.La cubiquey2-x3= 0 admet un point de rebroussement `a
l"origine. Si on coupe par la droitey=txon trouve la solutionx= 0, double, mais aussix=t2qui donney=t3et un param´etrage.1.10Exercice.Param´etrer ainsi la cubique nodalex3+x2-y2= 0 ou le
folium de Descartes :x3+y3-xy= 0, voir plus bas. 31.3.2 Op´eration inverse
Il s"agit, `a partir d"un param´etrage rationnel de trouver une ´equation cart´esienneF(x,y) = 0 de la courbe.1.11Exemple.On consid`ere la courbe param´etr´ee parx=t1 +t3ety=
t21 +t3.On at=yx
et, en rempla¸canttdansxon obtient la relationx3+ y3-xy= 0 (le folium).
1.12Exercice.Trouver une ´equation cart´esienne de la courbe d´efinie par
x=t2+ 12t,y=2t-1t2.(R´eponse : en exprimantten fonction dex-1 et
y-1, on trouve l"´equation 4x2y-4xy+y2-4x-2y+ 5 = 0.)1.3.3 Unicit´e
Il n"y a pas du tout unicit´e du param´etrage d"une courbe. Par exemple, l"axe desxpeut ˆetre param´etr´e parx=t,y= 0, mais aussi parx=t3,y= 0, voire parx=t(t-1)(t+ 1),y= 0. Les deux premiers param´etrages sont bijectifs, mais pas le troisi`eme. Dans tous les cas, la trajectoire est identique, mais pas le mouvement. Ici, le premier mouvement est uniforme (`a vitesse constante), mais pas le second (la vitesse s"annule en 0), quand au troisi`eme, le lecteur v´erifiera qu"il comporte des allers et retours. 2´Etude locale des courbes param´etr´ees
Pour d"autres d´etails, voir le fichierTangentes.2.1 Tangente en un point
2.1.1 D´efinition
Il s"agit de donner une d´efinition de la tangente qui vaille aussi dans le cas d"un point singulier. Il y a de nombreuses mani`eres d"aborder le probl`eme. On a choisi ici la voie g´eom´etrique. On notedla distance (par exemple euclidienne) dans le plan. Le principe est le suivant. On consid`ere les droites passant parM0=M(t0). Parmi ces droites, ce qu"on demande `a la tangente c"est d"ˆetre, au voisinage deM0, plus proche de la courbe1que les autres droites. Pr´ecis´ement :1 Ou plutˆot de la branche de la courbe qui correspond au param`etret0. 42.1 D´efinition.Soitf:I→R2un param´etrage,Cson image et soit
M0=M(t0)un point deC. SoitDune droite passant parM0. On dit queD
esttangente`a la branche deCpassant parM0(au tempst0) si, pour toute droiteΔpassant parM0, distincte deD, la distanced(f(t),D)est n´egligeable devantd(f(t),Δ)quandttend verst0.2.2Exemple.Un exemple permet de comprendre. On consid`ere la parabole
d"´equationy=x2. On peut la param´etrer de la mani`ere ´evidente :x=t, y=t2. On regarde ce qui se passe au voisinage de l"origine. La distance de M(t) `a l"axe desxesty=t2, celle `a l"axe desyestx=t. On voit que, quand ttend vers 0, la distance `a l"axe desxest beaucoup plus petite que l"autre (infiniment petite, en fait). Il n"est pas difficile de v´erifier que la distance de M(t) `a une droite passant parO, autre que l"axe desx, est ´equivalente `aa|t| aveca?= 0, donc infiniment grande par rapport `at2.2.3Remarques.
1) On montre facilement que sid(f(t),D) est n´egligeable devantd(f(t),Δ0)
pour une droite Δ0distincte deDla mˆeme propri´et´e vaut pour toutes les
autres droites, de sorte queDest tangente `aCenM0.2) Si la courbe admet une tangente (pour une branche donn´ee) elle est unique.
En effet, siDetD?sont deux tangentes etdetd?les distances def(t) `a ces droites, on aurait `a la foisd=o(d?) etd?=o(d) ce qui est absurde.3) Attention, il peut y avoir plusieurs branches passant par un mˆeme point
(donc plusieurs tangentes) comme l"indique l"exemple suivant.2.4Exemple.Consid´erons le param´etragex(t) = 1-t2,y(t) =t(1-t2). La
courbeCest une cubique nodale, d"´equation cart´esiennex3+y2-x2= 0, qui admet un point double `a l"origine, atteint pour les valeurst=±1 du param`etre. Si l"on regardeC, elle a deux tangentes `a l"origine, tangentes `a chacune des "branches", lesquelles s"obtiennent en restreignant le domaine de d´efinition (par exemple `aR+etR-). Ces droites sont les bissectrices des axesy=±x.2.1.2 Propri´et´e caract´eristique
Le th´eor`eme suivant fait le lien entre tangente et s´ecantes :2.5 Th´eor`eme.Avec les notations pr´ec´edentes,Cadmet une tangente si
et seulement si la pente de la s´ecante :p(t) =y(t)-y(t0)x(t)-x(t0),ou son inverse 5 x(t)-x(t0)y(t)-y(t0),admet une limite finie2. Si la limite depest ´egale `aλ, la tangente est la droite de penteλpassant parM0et un vecteur directeur de cette droite est(1,λ). Si l"inverse depa la limite0, la tangente est la droite verticale passant parM0. D´emonstration.On se ram`ene au cast0= 0,M0= (0,0). Supposons que p(t) =y(t)/x(t) admette la limiteλquandxtend vers 0, l"autre cas est analogue. Nous allons montrer que la droiteDd"´equationy-λx= 0 est tangente. Cela signifie que, si Δ est une droite d"´equationax+by= 0, distincte deD(i.e. aveca+bλ?= 0), la distanced(M(t),D) est n´egligeable devantd(M(t),Δ). Rappelons la formule donnant cette distance : d(M(t),Δ) =|ax(t) +by(t)|⎷a 2+b2. Il s"agit donc de voir quey(t)-λx(t) est n´egligeable devantax(t) +by(t) quanda+bλest non nul. On ´ecrity-λxax+by=yx -λa+byxLe num´erateur tend
vers 0 et le d´enominateur versa+bλ, de sorte que cette quantit´e tend bien vers 0. R´eciproquement, siCadmet pour tangente la droitey-λx, cela signifie, entre autres, quey(t)-λx(t) est un petitodex(t). La quantit´e y(t)-λx(t)x(t)=y(t)x(t)-λa donc pour limite 0, ce qui signifie bien quey/x tend versλ.2.1.3 Le cas des points r´eguliers
2.6 D´efinition.Soitf:I→Run param´etrage de classeC1. Une valeur
t0?Iest diter´eguli`erepourfsif?(t0)est non nul. Une valeur non r´eguli`ere
est ditesinguli`ere.2.7Remarque.On dit parfois, par abus de langage, que le pointM(t0) de la
courbeCest r´egulier (ou singulier). C"est incorrect car le mˆeme point, sur la mˆeme courbe, peut ˆetre r´egulier pour un param´etrage et singulier pour un autre3. C"est le cas, par exemple, du pointO= (0,0) sur l"axe desxavec les
deux param´etrages (t,0) et (t3,0).2 On suppose ici que ces expressions ont un sens. Pourp(t) par exemple on supposex(t)-x(t0)?= 0 pourtvoisin det0et distinct det03En v´erit´e, comme le mot r´egulier a un sens pour les courbesF(x,y) = 0, il serait sans
doute pr´ef´erable de dire stationnaire ou non-stationnaire pour le param´etrage. 6