Une courbe paramétrée peut ne pas avoir de tangente au sens de cette définition alors que son support, vu comme un graphe, peut admettre une tangente (au sens de la tangente d'un graphe). Exemple. – Soit ? : R ?? R2 donnée par ?(t)=(t3,t9). Puisque ? (0) = 0, cette courbe paramétrée n'a pas de tangente en t = 0.
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Chapitre6
Courbesparam´et r´ees
41
42CHAPITRE6.COURBES PARAM
ETR EES
6.1Courbesd'´ equationy=f(x)
Pour´etudierunecourb ed'´equationy=f(x)(ousimplemen t´ etudierune fonctionf),lesc h´ema estlesuivant: -Oncommence parcherc her l'ensemblede d´efinitiondelafonctionf. Eventuellement,silafonctionestpaire/impaire,p´erio dique,onp eut restreindrel'interv alled'´etude. -Onc herchesi onpeutprolongerfparcontin uit´e. -On´ etudielad ´erivabilit´ede f.Laplupart desfonctions"enpratique» sontd´erivables (etmˆemeC )surleur ensemble ded´ efinition,mais attention,¸can'estpas toujourslecas(racinecarr´ ee,arcsin...).Si ona prolong´elafonctionf,on´ etudie´egalementlad´erivabilit´eau(x)point(s) deprolongement. -On´ etudielesv ariationsdelafonctionf(laplupartdu tempsen´ etu- diantlesignedela d´eriv ´ee). -Onc hercheles limitesdefauxbornes desonensemblede d´efinition. -Onr ´esumeles deux´etapespr´ec´ edentesdans letableaude variationsde f. -Even tuellement,on´etudielesasymptotesobliques(s'ilyena). -Ontrace lacourbe. Lacourbe estunmo yender´ esumergraphiquement toutesles´ etapespr ´ec´edentes.Ilnesert` ariendeplacer´enorm´ementde pointspourlatracer.Il faut(etilsu ffi tde)placer les´ el´emen tscarac- t´eristiquesd´etermin´esau coursdel'´etude:ontracelesasymptotes,on placelesp ointso `uilyadestangenteshorizon tales,destangentesver- ticales,´ev entuellementquelquespointsparticuliers(intersectionavec lesaxes,ou lesasymptotes), etonrelie lespoin tsentenan tcomptedu tableaudev ariations.Even tuellement,sionacalcul ´el'´equationd'une tangente,onlatrace.
Remarques:
-Lacourb edoitˆ etrelacourberepr´ esentative d'unefonction,i.eilne doitpasy avoir plusieurspoin tsaveclamˆemeabscisse. -Unecourb edoit ˆetretrac´eede mani`ere pr´eciseetsoign´ ee. Exemple:On´etudie lacourbed'´equation y=(x+5) x+1 x-1
6.2.COURBESP ARAM
ETR
EESENCOORDONN
EESCART
ESIENNES43
6.2Courbesparam´ etr´eesencoordonn ´eescar-
t´esiennes Danslapartie pr´ ec´eden te,l'ordonn´ee´etaitunefonctiondesabscisses:on avaity=f(x).Unecourb eparam´ etr´eeestunecourb edontl'abscisseetl'or- donn´eesonttouteslesdeux desfonctionsd'unparam`etre t,i.eil s'agitd'une courbedontl' ´equationestdelaforme x=f(t) y=g(t) o`utestlav ariable. Physiquement,celas'interpr`ete commelatra jectoired'unpointenfonc- tiondutemps :`a touttempstcorresponduneposition (f(t),g(t)). 6.2.1
Etudedesbranchesinfini es
SoitM:I→R
2 unecourbe param´etr´eeet a?I.Onnote M=(x,y). D´efinition.Onditque Mposs`edeunebrancheinfinieauvoi sinage de asilim t→a ?M(t)?=+∞.
Plusieurscasson tp ossibles:
-Premiercas:seulel'unedes deuxlimiteslim t→a x(t)oulim t→a y(t)est infinie(l'autreest finie).
1.Silim
t→a x(t)=m?Retlim t→a y(t)=±∞,ladroite d'´equation x=m estappel ´eeasymptotedeMena.
2.Silim
t→a x(t)=±∞etlim t→a y(t)=m?R,ladroite d'´equation y=m estappel ´eeasymptotedeMena. -Secondcas: lesdeuxlimites lim t→a x(t)etlim t→a y(t)sont infinies.
1.Silim
t→a y(t) x(t) =0,on ditqueMposs`edeunebrancheparabolique dansladirection (Ox).
2.Silim
t→a y(t) x(t) =±∞,ondit queMposs`edeunebrancheparabo- liquedansladirection (Oy).
3.Silim
t→a y(t) x(t) =m?R: (a)silim t→a y(t)-mx(t) =±∞,ondit queMposs`edeune brancheparaboliquedansladirection y=mx; (b)silim t→a y(t)-mx(t) =p?R,ladroite d'´equation y=mx+p estappel ´eeasymptotedeMena.
44CHAPITRE6.COURBES PARAM
ETR EES
6.2.2R´eductiondudomaine d'´etude
Onconsid` eretoujoursunecourbeparam´etr ´eedonn ´eeen coordonn´eescar- t´esiennessurunintervalle r´eel I:M=(x,y):I→R 2 .Lapremi `ere´ etape deson´ etudeconsiste` areduirel'intervalled' ´etudeen s'appuyantsur unep´ e- riodicit´eou/etdessym´etries.Plusieurscas sontp ossibles.Laliste suivante n'estpasexhaustiv e.
1.Caso` uI=Reto` uxetysontp´erio diquesdep´eriodeT:alors
pourtoutt?R,lep ointM(t+T)co¨ıncideav eclepointM(t).D'o` u
Etudesurun interv alledelongueur T
2.Caso` uIestsym´ etriqueparrapport`a 0eto` uxetysont
paires:alorspour toutt?I,lep ointM(-t)co¨ıncideav eclepoint
M(t).D'o` u
EtudesurI∩R
3.Caso` uIestsym´ etriqueparrapport`a 0eto` uxetysont
impaires:alorspour toutt?I,lep ointM(-t)estle sym´etrique du pointM(t)parrapp ort`a O.D'o`u
EtudesurI∩R
puissym´ etrieparrapport`aO
4.Caso` uIestsym´ etriqueparrapport`a 0eto` uxestpaireet y
estimpaire: alorspour toutt?I,lep ointM(-t)estle sym´ etrique dupoin tM(t)parrapp ort`a (Ox).D'o`u
EtudesurI∩R
puissym´ etrieparrapport`a(Ox)
5.Caso` uIestsym´ etriqueparrapport`a0eto` uxestimpaireet
yestpaire :alorspour toutt?I,lep ointM(-t)estle sym´ etrique dupoin tM(t)parrapp ort`a (Oy).D'o`u
EtudesurI∩R
puissym´ etrieparrapport`a(Oy)
6.Caso` uIestsym´ etriqueparrapport`a0eto` ux(-t)=y(t)et
y(-t)=x(t):alorspour toutt?I,lep ointM(-t)estle sym´ etrique dupoin tM(t)parrapp ort`a ladroited'´equationy=x.D'o` u
EtudesurI∩R
puissym´ etrieparrapport`ay=x
6.2.COURBESP ARAM
ETR
EESENCOORDONN
EESCART
ESIENNES45
7.Caso` uIestsym´ etriqueparrapport`a0eto` ux(-t)=-y(t)et
y(-t)=-x(t):alorspour toutt?I,lep oint M(-t)estle sym´ etrique dupoin tM(t)parrapp ort`a ladroited'´equationy=-x.D'o` u
EtudesurI∩R
puissym´ etrieparrapport`ay=-x
8.Caso` uIestsym´ etriqueparrapport`a
2 avecuncertainr´eel αeto` ux(α-t)=x(t)ety(α-t)=y(t):alorspour toutt?I,le pointM(α-t)co¨ıncideav eclepointM(t).Orl'application t→α-t estg´ eom´etriquementlasym´etriedeRparrapport `a 2 .Lorsquetd´ecrit 2 ,α-td´ecritquant`alui 2 .D'o` u
EtudesurI∩
2
6.2.3Pointssingulier s
Propri´et´e:Si
f (a) g (a) 0 0 ,alorsla tangente` alac ourbe aupointde param`etreaestladr oitequi passeparlep ointdec oordonn´ees(f(a),g(a))et dirig´eeparlevecteur decoordonn´ ees f (a) g (a) .Enp articulier: -Sig (a)=0etf (a)?=0,alorsil ya unetangentehorizontale `ala courbeaupointdecoor donn´ees (f(a),g(a)). -Sif (a)=0etg (a)?=0,alorsil yaune tangenteverticale `ala courbe aupoint decoordonn´ ees(f(a),g(a)).
Remarque:Sif
(t 0 )=0 etg (t 0 )=0, alorslep ointde param`etre t 0 est ditstationnaire ousingulier.Pourd ´ecrirel'allure delacourb e,nousutilisons lesDLdes fonctionsfetgauvoisinage det 0 (quandilsexisten t).
Notation:si f(t)=a
0 +a 1 (t-t 0 )+···+a n (t-t 0 n +o((t-t 0 n )et g(t)=b 0 +b 1 (t-t 0 )+···+b n (t-t 0 n +o((t-t 0 n ),notonse i a i b i ,alors nous´ecriv ons:
M(t)=e
0 +e 1 (t-t 0 )+···+e n (t-t 0 n +o((t-t 0 n Enfait,si fetgsontsuffisammentd´erivables, nousobtenonsuneformule deTa ylor-Youngvectorielle:
M(t)=M(t
0 (t-t 0 1! M (t 0 (t-t 0 n n! M (n) (t 0 )+o((t-t 0 n
46CHAPITRE6.COURBES PARAM
ETR EES avecM (k) (t 0 f (k) (t 0 g (k) (t 0 Th´eor`eme.Soientm
6.2.4Etudepratiqued'une courbe param´etr´ee Leplang ´en ´eralestlesuivant
-D´ eterminationdudomaine,desp´eriodeset dessym´ etries´ eventuelles ; -Calculde x (t)etde y (t),tableaude variations; -Etudedes asymptotes; -Etudedes points singuliers,calculde quelquestangentes; -D´ eterminationdespointsdoubles; -Repr´ esentationgraphique. Exemple:Etudedela courbe
M(t)= x(t) y(t) t+ 4 t-1 t+1+ 4 (t-1) 2quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25
courbes parametrees - Université Paris-Saclay