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Une courbe paramétrée peut ne pas avoir de tangente au sens de cette définition alors que son support, vu comme un graphe, peut admettre une tangente (au sens de la tangente d'un graphe). Exemple. – Soit ? : R ?? R2 donnée par ?(t)=(t3,t9). Puisque ? (0) = 0, cette courbe paramétrée n'a pas de tangente en t = 0.
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Une courbe paramétrée peut ne pas avoir de tangente au sens de cette définition alors que son support, vu comme un graphe, peut admettre une tangente (au sens de la tangente d'un graphe). Exemple. – Soit ? : R ?? R2 donnée par ?(t)=(t3,t9). Puisque ? (0) = 0, cette courbe paramétrée n'a pas de tangente en t = 0.
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Courbes paramétréesCHAPITRE

16

4 Faire savoir

chapitre orthonormé ( O ; i ; j

1. Définition

Soient deux fonctions numériques f et g définies sur un même intervalle I. L f(t) ; g(t)), où t appartient à I, est une courbe paramétrée dont une représentation paramétrique est : x (t) y (t) f g t I. La varaiable t est le

paramètre ( il peut être désigné par une autre lettre ). Le point M(t) de coordonées (f(t) ; g(t)) est

appelé point de paramètre t :

OM(t) (t).i (t).j

f + g f et g. On écrira par exemple : soit la courbe de représentation paramétrique : 2 2 2 3 tx(t)1t ty(t)1t

Exemple

Dans le repère orthonormé ( O ;

i ; j ) , une représentation paramétrique du cercleC de centre O et de rayon R est : @x( ) Rcos ; 0 ; 2y( ) Rsin

2. Tangente à une courbe paramétrée

Définition

Soit C une courbe paramétrée :

x f(t) ; t Iy g(t)

Soit M(t0) ( t0 I) un point de C .

Si 0 0 et sont dérivables en t le vecteur: V(t )= '(t ).i + '(t).j n'est pas nul. fg fg Alors, la droite passant par le point M(t0) et de vecteur directeur

0V(t )

est la tangente à C au point

M(t0).

Le vecteur

V(t) x'(t).i y'(t).j

e vecteur dérivée en t , ou encore le vecteur tangent à la courbe en M(t). CChhaappiittrree 1166 CCoouurrbbeess ppaarraammééttrrééeess

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Exemple

C est la courbe définie, dans un repère orthonormal ( O ; i ; j ) par la représentation paramétrique : x(t) cost ; t [0 ; 2 [y(t) sin2t . Les fonctions f : t cost et : sin2t g , sont dérivables en t0 = 2 : f 0) = -sin 2 = -1 et g 0) = 2cos2t0 = 2cos = -2. La courbe C admet donc une tangente au point M0 correspondant au paramètre t0 = 2 .Cette tangente est la droite qui passe par le point M0(0 ; 0).

Donc le point O, et dont un vecteur directeur est

T( 1 ; 2)

. Une équation cartésièenne de la tangente est donc, x1 0y2 -2x + y = 0.

3. Interprétation cinématique

C est la courbe paramétrique dont une représentation paramétrique est : x (t) ; t Iy (t) f g x et y sont données par : x = f(t) et y = g(t) où f et g sont deux fonctions deux foix dérivables sur I.

C est la trajéctoire du point M(t).

0, M occupe la position M0(t0) et on suppose :

Le vecteur dérivée :

0V(t )

00 '(t ).i + '(t ).j

fg est le vecteur vitesse 0.

Le vecteur

0 0 0 0a(t ) v'(t ) ''(t ).i ''(t ).j

fg est appelé vecteur accélération du point mobile M à stant t0. 4. a) Elimination du paramètre Soit la courbe paramétrée définie par la représentation paramétrique : @x(t) cos(t) ; t 0 ; 2y(t) sin(t) . Il est clair que x2(t) + y2(t) = 1 et que le point M(t) x(t) y(t) appartient à

2 + y2 = 1, cst à-dire le cercle C de centre O et de rayon 1.

-dessus, le paramètre. Il faut, donc, savoir comment tracer une courbe paramétrée. b) Comment tracer une courbe paramétrée ? Nous allons tracer la courbe paramétrée C définie dans le repère orthonormé ( O ; i ; j ), par : x cos3t (t) ; ty sin2t (t) Rf g

Les fonctions f et g sont de période 2.

Les valeurs du paramètre t et t + 2 donnent le même point de la courbe. Il suffit de faire varier t dans un intervalle [a ; a + 2] pour obtenir toute la courbe C . CChhaappiittrree 1166 CCoouurrbbeess ppaarraammééttrrééeess

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