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Courbes paramétrées,
Courbes polaires
Exercice 1(Une courbe paramétrée).On considère la courbe paramétrée suivante : [0;]!R2 t7!(x(t);y(t)) = (2cos(t);3sin(t)): 1.En év aluant
(t)pour un certain nombre de valeurs detbien choisies, effectuer un dessin préliminaire de la courbe paramétrée parSolution:La courbe décrite par
étant construite à partir des fonctionscosetsin, on peut utiliser les valeurs remarquables de ces deux fonctions pour construire un certain nombre de points de la courbe. Les valeurs choisies sont résumées dans le tableau suivant.t06 4 3 2 2334
56
x(t) 2p3 p2 1 01p2p32 y(t) 032 3p2 2 3p3 2 33p3
2 3p2 2 32
0On peut alors obtenir la figure suivante, sur laquelle on devine une courbe qui pourrait être par
exemple une parabole ou une demi-ellipse.21012xy 01232. Mon trerque la fon ctiont7!9x(t)2+ 4y(t)2est constante. Solution:D"après le théorème de Pythagore,cos2(t) +sin2(t) = 1quel que soitt2R. Par conséquent, on a pour toutt2Rl"égalité
9x2(t) + 4y2(t) = 36cos2(t) + 36sin2(t) = 36:3.Quelle courb eest repré sentéepar
Solution:On reconnait dans l"équation
9x2+ 4y2= 36
l"équation d"une ellipse centrée à l"origine. D"après la réponse à la question précédente,(x(t);y(t))
vivent pour toutt2[0;]sur cette ellipse. Cependant, puisquet2[0;], l"intégralité de l"ellipse n"est
pas parcourue. At= 0, on part du point de coordonnées(2;0)sur l"ellipse, pour remonter ensuitevers la partie supérieur du plan et parcourir la demi-ellipse en arrivant au point de coordonnées
(2;0). La partie inférieur de l"ellipse ne fait pas partie de la courbe (elle en ferait partie si on avait
pristdans l"intervalle[0;2]). La courbe est représentée en bleu dans la figure suivante.21012xy3210123
Exercice 2(Folium).On considère la courbe paramétrée définie par les équations x(t) = sin(2t); y(t) = sin(3t);t2R: 1.En ut ilisantles propri étésde s ymétriede la courb e,mon trerqu"o np eutréduire le domaine d"étude à
t2[;], puis àt2[0;]. Solution:Commencons par rappeler que la fonctionsinest périodique de période2. La fonction xest donc périodique de périodeTx=22 =et la fonctionyest également périodique, de période T y=23 . Le rapport entre ces deux périodes est T yT x=23 =23 C"est un nombre rationnel, il existe donc une période communeTentrexetyqui est donnée parT= 3Ty= 2Tx= 2:
On peut donc se réduire à l"étude de la courbe sur un domaine de longueur2, comme par exemple
Étudions maintenant la parité de la courbe. La fonctionsinest impaire et on a donc x(t) =x(t); y(t) =y(t):Par conséquent, la courbe pour lest <0s"obtient par symétrie centrale de la courbe pour lest >0et
réciproquement. On peut donc se restreindre à la partie positive de l"intervalle d"étude précédement
selectionné, c"est à dire se restreindre à[0;].Page 2