[PDF] o Courbes param´etr´ees - Université Grenoble Alpes

courbes parametrees - Université Paris-Saclay

Courbes paramétrées Courbes polaires - univ-toulousefr

Exercices : courbes paramétrées

Courbes en polaires - e Math

o Courbes param´etr´ees - Université Grenoble Alpes

Maths : cours et exercices corrigés de mathématiques

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Feuilleno6MM2Courbes param´etr´ees

Courbes param´etr´ees en coordonn´ees cart´esiennes

Exercice 1.

´Etudier la courbe param´etr´ee d´efinie par ?x(t) = cos3t y(t) = sin2t

Exercice 2.

´Etudier la courbe param´etr´ee d´efinie par ?x(t) = 2cos2t y(t) = sin3t

Exercice 3.

´Etudier la courbe param´etr´ee d´efinie par ?x(t) =1-t21 +t2 y(t) =t31 +t2

Exercice 4.

´Etudier la courbe param´etr´ee d´efinie par ?x(t) =1t y(t) =t3+ 2t

Exercice 5.

´Etudier la courbe param´etr´ee d´efinie par ?x(t) =et y(t) =t2 On d´eterminera le point d"inflexion ainsi que l"´equation de la tangente en ce point.

Courbes cart´esiennes classiques

Exercice 6(Astro¨ıde).Soit la courbe param´etr´ee d´efinie par ?x(t) = cos3t y(t) = sin3t 1.

´Etudier cette courbe.

2. On noteA(t) etB(t) les points d"intersection des axes (Ox) et (Oy) avec tangente au point de

param`etret?= 0[π/2] de la courbe pr´ec´edente. Calculer la distanceA(t)B(t). Exercice 7(Lemniscate de Bernoulli).Soit la courbe param´etr´ee d´efinie par ?x(t) =sint1 + cos 2t y(t) =sintcost1 + cos 2t. 1 1.

´Etudier cette courbe.

2. On introduit les pointsF(1/⎷2,0) etF?(-1/⎷2,0).

Montrer que pour tout pointMde la courbe ci-dessus

MF×MF?=12

Exercice 8(Tractrice).Soit la courbe param´etr´ee d´efinie par ?x(t) =t-tht y(t) =1cht 1.

´Etudier cette courbe.

2. On noteAle point d"intersection de l"axe (Ox) avec la tangente au pointMde param`etretde la

courbe ci-dessus. Pr´eciser la nature du mouvement du pointAainsi que la valeur de la distance AM. Exercice 9(Cardo¨ıde).´Etudier la courbe param´etr´ee d´efinie par ?x(t) = 2cost+ cos2t y(t) = 2sint+ sin2t Exercice 10(Delto¨ıde).´Etudier la courbe param´etr´ee d´efinie par ?x(t) = 2cost+ cos2t y(t) = 2sint-sin2t

Probl`emes relatifs aux tangentes

Exercice 11.Soit la courbe param´etr´ee d´efinie par ?x(t) = 3t2 y(t) = 2t3 1.

´Etudier cette courbe.

2. D´eterminer les droites qui sont `a la fois tangente et normale `a cette courbe.

Exercice 12.Soit la courbe param´etr´ee d´efinie par ?x(t) = 4t3 y(t) = 3t4 1.

´Etudier et repr´esenter cette courbe.

2. Former une ´equation de la tangente au point de param`etret?R.

3. D´eterminer un param´etrage du lieu des points d"o`u l"on peut mener deux tangentes `a la courbe

pr´ec´edente orhogonales et ´etudier cette courbe. Exercice 13.Soitt?→M(t) un arc r´egulier tel que en tout pointM(t), la tangente est D t: (t3+ 3t)x-2y=t3

D´eterminer un param´etrage en coordonn´ees cart´esiennes de cet arc et le repr´esenter.

2

Exercices suppl´ementaires

Exercice 14.D´eterminer une condition suraetbtelle que la courbe suivante poss`ede un point de rembroussement : ??x(t) = 2t+at 2 y(t) =t2+2bt Exercice 15.SoitCla courbe param´etr´ee donn´ee par ???x(t) =t33t+ 1 y(t) =3t23t+ 1

1. Montrer qu"il existea,betc?Rtels que

lim t→±∞x(t)-ay(t)2-by(t) =c

2. En d´eduire queCest asymptote `a la parabolePd"´equationx=ay2+by+c.

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