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Exercices : courbes paramétrées
Exercice 1
paramétrique : x=f(t) =4t+ 4t2 y=g(t) = 14t10t2 oùtappartient à l"intervalle[0;1].
1. Etudier les variations des fonctionsfetgsur[0;1]et présenter les résultats dans un tableau
unique.
2. Déterminer les coordonnées des points en lesquelsCadmet des tangentes parallèles aux
axes de coordonnées.
3. Déterminer un vecteur directeur de la tangente au pointM(0)puis au pointM(1).
4. Placer les points précédents et construire les tangentes à la courbe en ces points.
5. Tracer la courbeCobtenue lorsquetvarie dans l"intervalle[0;1].
Exercice 2
paramétrique : x=f(t) = 12t212t+ 3 y=g(t) = 8t312t2+92 t oùtappartient à l"intervalle[0;1].
1. Etudier les variations des fonctionsfetgsur[0;1]et présenter les résultats dans un tableau
unique.
2. Déterminer les coordonnées des points en lesquelsCadmet des tangentes parallèles aux
axes de coordonnées.
3. Déterminer un vecteur directeur de la tangente au pointM(0)puis au pointM(1).
4. Tracer la courbeCobtenue lorsquetvarie dans l"intervalle[0;1].
Exercice 3
1. Etudier la courbeCdu plan rapporté à un repère(O;~i;~j), (unités 2 cm), de représentation
paramétrique : x=f(t) = (t1)2 y=g(t) =t2et oùtappartient à l"intervalle[1;3].
2. Tracer les tangentes à la courbe aux points correspondants àt=1,t= 0,t= 1,t= 2et
t= 3puis tracer la courbe. 1
Exercice 4
Cest la courbe du plan définie paramétriquement par : x=f(t) = cos3t y=g(t) = cos4t oùtappartient à l"intervalle[0].
1. Exprimerf(t)en fonction def(t)etg(t)en fonction deg(t). En déduire :
(a) une propriété de la courbe; (b) une réduction de l"intervalle d"étude.
2. Etudier les variations des fonctionsfetgsur[0;2
3. Tracer la courbeCpourt2[0;]dans un repère orthonormal d"unités 5 cm.
Exercice 5
La courbeCest définie par la représentation paramétrique : x=f(t) = costsint y=g(t) = cost+ sint oùtappartient à l"intervalle[;3].
1. Etudier la périodicité des fonctionsfetgpuis réduire l"intervalle d"étude.
2. Exprimerf(t+)en fonction def(t)etg(t+)en fonction deg(t). En déduire une
propriété de la courbe et une réduction de l"intervalle d"étude.
3. Calculerf0(t)etg0(t); montrer quef0(t) =p2cos(t4
)etg0(t) =p2cos(t+4
4. Etudier les variations des fonctionsfetgsur[0;]et former le tableau de variation.
5. Tracer la courbeCobtenue lorsquetvarie dans l"intervalle[;3].
Exercice 6
Cest la courbe du plan de représentation paramétrique : x=f(t) = sint y=g(t) = sin(2t) oùtappartient à l"intervalle[;].
1. Etudier la parité des fonctionsfetg; en déduire une symétrie deC.
2. Exprimerf(t)en fonction def(t)etg(t)en fonction deg(t). En déduire une
deuxième symétrie deC.
3. Etudier les variations des fonctionsfetgsur[0;2
]et former le tableau de variation.
4. Tracer, en utilisant les deux symétries, la courbeCobtenue lorsquetvarie dans l"intervalle
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courbes parametrees - Université Paris-Saclay