[PDF] Cône de révolution



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Cône de révolution Ministère de l'Enseignement Secondaire et de la Formation Technique et Professionnelle

Cours en ligne Niveau 4AS Cône de révolution 2/2 Page 1/6 Par Horma Ould Hamoud

République Islamique de Mauritanie

Ministère de l"Enseignement Secondaire

et de la Formation Technique et Professionnelle

Cours en ligne

Chapitre Cône de révolution

Leçon 2/2 Patron et section d"un cône

Niveau 4AS

Savoirs faire 1) Reconnaitre et calculer l"angle au centre du secteur circulaire d"un cône de révolution.

2) Construire et reconnaitre un patron d"un cône de révolution.

3) Calculer les mesures d"un cône à partir des données de son patron.

4) Identifier les deux parties, tronc et réduction, d"un cône de

révolution sectionné par un plan parallèle à sa base.

5) Appliquer les effets d"une réduction sur les longueurs, les surfaces et

le volume d"un cône.

Plan du cours 1) Activités d"introduction

2) Patron

3) Section d"un cône de révolution

4) QCM

5) Exercices d"application

Auteur Horma Hamoud

1) Activités d"introduction

Activité 1

La génératrice, la hauteur et le rayon de disque de base d"un cône de révolution sont notés g, h et r successivement. Compléter le tableau suivant : g h r a) 5 4 b) 9 3 c) 5 11

Activité 2

Voici des tableaux de proportionnalité. Compléter chaque tableau par le quatrième proportionnelle.

Longueur Angle Longueur Angle

Cercle complet 20p 360° Cercle complet 12p 360°

Arc de cercle 15p Arc de cercle 120°

Longueur Angle Longueur Angle

Cercle complet 360° Cercle complet 25p 360°

Arc de cercle 9p 90° Arc de cercle 72°

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2) Patron d"un cône

Construction

Le patron d"un cône de révolution est composé d"un disque de rayon r (sa base) et d"un secteur circulaire de rayon g (obtenu en déroulant sa surface latérale dans un plan) tels que : · Le disque de rayon r est la base du cône. · Le rayon du secteur circulaire est égal à la génératrice g du cône. · La longueur de la circonférence du secteur circulaire est égale au périmètre du disque de base: sL 2 r= p. · L"angle du secteur circulaire (en degré): rA 360g= ´ °.

Remarques

1) Dans la représentation du patron, le disque de base et le secteur circulaire sont

tangents (en n"importe quel point du secteur circulaire).

2) Si le cône est de hauteur h et de rayon de base r, alors sa génératrice est

2 2g r h= +. Donc on a

2 2 r rA 360 A 360gr h= ´ ° Û = ´ °+.

3) La génératrice g est appelée aussi rayon du grand cercle.

4) D"après la relation entre g, r et

ˆA: rˆA 360g= ´ ° , on a aussi :

rg 360ˆA= ´ ° , ˆAr g360= ´°, et la proportionnalité : ˆr A g 360=°. Ministère de l'Enseignement Secondaire et de la Formation Technique et Professionnelle

Cours en ligne Niveau 4AS Cône de révolution 2/2 Page 3/6 Par Horma Ould Hamoud

Exemple

Construire le patron d"un cône de révolution de hauteur

4 2cm, et dont le rayon de

disque de base mesure 2 cm.

Solution

Pour construire le patron d"un cône de révolution on doit avoir les mesures de : - L"angle

ˆA du secteur circulaire.

- La génératrice g (rayon du cercle de ce secteur) - Le rayon r du disque de base On a h 4 2cm= et r 2cm=

22 2 2g r h 2 4 2 4 32 36 6= + = + = + = =

Remarques

Il faut distinguer entre les deux angles suivants qui sont totalement différents :

1) L"angle (ou le demi-angle) au sommet du cône

: l"angle ASOa = du triangle rectangle ASO, (figure ci -conte). Cet angle ne présente pas un élément important du cône. On peut utiliser les formules trigonométriques dans le triangle rectangle

ASO pour déterminer cet angle :

SOcosSAa = et OAsinSAa =.

2) L"angle au centre du patron :

l"angle b au sommet du secteur circulaire formé par le patron, (figure ci -conte). Une mesure de cet angle en dégré est calculée par la formule r360gb = ´ °. r 2 720ˆA 360 360 120g 6 6 Ministère de l'Enseignement Secondaire et de la Formation Technique et Professionnelle

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3) Section d"un cône de révolution par un plan parallèle à sa base

Réduction d"un cône

Lors qu"on sectionne un cône de révolution par un plan parallèle à sa base : - La section est un cercle réduction de sa base.

- Le cône de révolution est partagé en deux parties : cône réduction et tronc de cône

Le rapport de réduction

Le rapport de réduction est égal au rapport

d'une longueur de la figure réduite par la longueur correspondante de la figure initiale.

Par exemple, dans la figure ci contre, le

rapport de réduction est :

SO' SA' O'A' r'kSO SA OA r= = = =.

Propriétés

Dans une réduction de rapport

k,(réel strictement positif) :

· Les longueurs sont multipliées par

k,

· Les aires sont multipliées par

2k,

· Les volumes sont multipliés par

3k.

Exemple

Dans la figure ci-contre on considère le cône de révolution C de sommet S et de hauteur SO = 8 cm. Son disque de base a pour centre O et rayon r = 3 cm.

On appelle K le milieu du segment [SO].

On appelle C' le cône réduit de sommet S et de hauteur SK = 4cm, formé par la section d'un plan parallèle à la base passant par K.

1) Calculer le rapport de réduction pour passer de C à C'.

2.a) Calculer la génératrice g du cône C.

b) Calculer l"aire A du disque de base du cône C. c) Calculer le volume du cône C.

3) Déduire de ce qui précède :

a) La génératrice g' du cône C' réduction de C. b) L"aire A' du disque de base du cône C'. c) Le volume du cône C'.

4) En déduire le volume du tronc de cone C de hauteur [OK].

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Solution

1) Le rapport de réduction qui permet de passer du cône C au cône C' est égal au

rapport d'une longueur (par exemple la hauteur ici) de la figure réduite par la longueur correspondante de la figure initiale. Donc

SK 1kSO 2= =.

2.a) La génératrice :

2 2 2 2g r h g 9 8 g 145 cm= +⇒= +⇒=.

b) L"aire A du disque de base du cône C : 2 2A r A 9 cm= p⇒= p c) Le volume du cône C :

1V Aire de Base Hauteur3= ´2 2

C C1 1V r h V 3 83 3= p⇒= p´ ´.

3

CV 24 cm⇒= p

3) Dans une réduction de rapport

k : a) Les longueurs sont multipliées par k. Alors la génératrice g' du cône C' est :

1 1g' g 145 cm2 2= =.

b) Les aires sont multipliées par 2k. Alors l"aire A' du disque de base du cône C' est :

21 1A' A 92 4

 = ´ = ´ p   . Donc 29A' cm4 p=. c) Les volumes sont multipliés par

3k. Alors le volume du cône C' est :

3

C' C1 1V V 242 8

 = ´ = ´ p  . Donc 3

C'V 3 cm= p.

4) Le volume du tronc de cône = Volume grand cône - Volume petit cône

tronc C CV =V V¢- 3 troncV 24 3 cm= p- p 3 troncV 21 cm= p.

4) QCM

Pour chacue des 4 questions précisez la bonne réponse. N° Question Réponse A Réponse B Réponse C

1 Un cône de hauteur 15 cm et de diamètre de base 24 cm a pour volume en

3cm 15 24´ ´p 720p 120p

2

Un cône de révolution de hauteur 15 cm et

de rayon de base 24 cm est plus volumineux qu"un cône de révolution de hauteur 5 cm et de rayon de base 8 cm de

27 fois 9 fois 3 fois

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