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Exercices de mathématiques MP MP* - Dunod

Exercices de

mathématiques

Centrale-Supelec, Mines-Ponts,

École Polytechnique et ENS

MP MP*

T. DUGARDIN, M. R

EZZOUK2

E

ÉDITION

© Dunod, 2015, 2016

5 rue Laromiguière, 75005 Paris

www.dunod.com ISBN 978-2-10-074905-8Conception de couverture : Atelier 3+

Table des matières

1 Dénombrabilité, combinatoire, probabilités1

Ensembles dénombrables.......................... 1 Combinatoire, probabilités......................... 4 Probabilités plus poussées : loi forte des grands nombres, marches aléa- toires,chaînesdeMarkov .......................... 72

2 Algèbre générale111

Arithmétique dansZ,polynômesàcoefficientsentiers .......... 111

Groupes.................................... 135

Anneaux,idéaux............................... 154 Polynômes .................................. 157

3 Algèbre linéaire et bilinéaire179

Matrices,applicationslinéaires,déterminants............... 179 Réductiondesendomorphismesetdesmatrices.............. 201 Algèbre bilinéaire.............................. 232

4 Suites et séries numériques, topologie deR279

Suitesréellesoucomplexes ......................... 279 Sériesnumériques .............................. 314 Familles sommables............................. 333

5 Fonctions339

Fonctiondelavariableréelle ........................ 339 Suitesetsériesdefonctions......................... 354 Sériesentières ................................ 377 Intégration .................................. 390

6 Topologie415

7 Équations différentielles457

8 Calcul différentiel491

Index521

Avant-propos

Cet ouvrage d"exercices corrigés de mathématiques s"adresse aux élèves de classes

préparatoires scientifiques. Il est plus particulièrement adapté à la filière MP/MP* et

conforme au nouveau programme officiel (rentrée 2014) de cette filière. Il pourra bien

sûr également être utile aux élèves des autres filières et aux candidats aux concours

d"enseignement (CAPES et Agrégation). Les exercices sont d"un niveau relativement élevé et visent à préparer les concours les plus exigeants : Centrale-Supélec, Mines-Ponts, École Polytechnique et les Écoles

Normales Supérieures.

Outre les exercices classiques incontournables, nous avons essayé de proposer quelques exercices plus originaux élaborés à partir de ce que nous avons pu proposer en tant qu"examinateurs à des concours aux grandes écoles. Ils nous a semblé intéressant d"illustrer quelques exercices par une implémentation en langage Python conformément au programme d"informatique pour tous en vigueur depuis la rentrée 2013. Nous avons peu utilisé le calcul formel (modulesympyou logicielsage) car celui-ci n"est plus - et c"est dommage - évalué au concours. Ces exercices sont systématiquement recensés dans l"index en fin de l"ouvrage. Le chapitre portant sur les probabilités, thème nouvellement introduit en classes préparatoires scientifiques, est particulièrement développé mais compte tenu de la taille relativement restreinte de l"ouvrage, nous avons supposé que le lecteur s"était déjà familiarisé avec des exercices plus élémentaires d"appropriation du cours. Notre source d"inspiration doit beaucoup à la Revue de Mathématiques Spéciales (RMS) qui constitue une aide précieuse pour tout élève ou professeur en classes pré- paratoires scientifiques. Nous espérons que le lecteur trouvera de l"intérêt à la recherche de ces exercices et nous nous excusons par avance des éventuelles coquilles, omissions ou - pire - erreurs qui seraient encore présentes dans le texte.

Thierry Dugardin

Marc Rezzouk

Remerciements

Nous tenons à remercier Jean-Jacques Chauvin pour sa contribution précieuse, Alain Mansoux pour sa relecture bienveillante, ainsi que nos familles pour leur soutien et leur patience...

Chapitre 1

Dénombrabilité, combinatoire, probabilités

Ensembles dénombrables

Exercice 1.1 - Connexité par arcs et dénombrabilité

1)SoitDun ensemble dénombrable de points deR

2 .Montrer queR 2 ?Dest connexe par arcs. Indication :on pourra considérer la médiatrice de deux points distinctsaetb deR 2 ?D.

2)Montrer que l"espaceR

3 privé d"une réunion dénombrable de droites estquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3