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MATHEMATIQUES POUR LE DAEU A
Service de la Formation Continue
Département de Mathématiques et Informatique
Université Toulouse 2, Le Mirail
6 octobre 2009
Avant-propos
Ce cours de mathématiques s'adresse aux stagiaires qui ont choisi l'option "Mathématiques" pour
passer le DAEU A.
Il a été préparé par Julien Labetaa
1(coordonnateur), Claudie Chabriac2, Jean-Marc Couveignes3
et Francis Rigal 4.
Les thèmes abordés dans ce polycopié sont les nombres et leurs propriétés, les équations et
les problèmes qu'elles permettent de résoudre, la statistisque descriptive, la géométrie cartésienne.
L'ensemble de ces connaissances mathématiques est susceptible de vous rendre service dans la vie
courante, dans la suite de vos études, ou même dans vos loisirs (lecture d'articles de presse ou d'ou-
vrages savants). Nous avons complété ce cours avec quelques sections d'approfondissement. Ces sections sont
clairement identifiées dans le texte. Les contrôles ne porteront pas sur le contenu de ces sections.
Vous pouvez cependant les lire. Elles peuvent être utiles dans la suite de vos études.
De même, les exercices marqués d'une ou plusieurs étoiles sont plus difficiles et il n'est pas
nécessaire de les maîtriser pour préparer les contrôles. Vous trouverez à la fin de ce document deux sujets d'examen posés l'an dernier.
Bon courage!
L'équipe pédagogique
1labetaa@univ-tlse2.fr
2chabriac@univ-tlse2.fr
3couveig@univ-tlse2.fr
4frigal@univ-tlse2.fr
1
Table des matièresI Le cours6
1 Généralités sur les nombres et les opérations7
1.1 Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 7
1.1.1 Ensembles et éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 7
1.1.2 Approfondissement : Applications . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 8
1.1.3 Nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4 Entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 11
1.1.5 Entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 12
1.1.6 Nombres décimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.7 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 14
1.1.8 Nombres irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 15
1.1.9 Un nombre et plusieurs formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 15
1.2 Règles opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 16
1.2.1 Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 16
1.2.2 Priorités opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 17
1.3 Division euclidienne dans IN, PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 18
1.3.1 Définition de la division euclidienne . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 18
1.3.2 Techniques opératoires de la division euclidienne . .. . . . . . . . . . . . . 19
1.3.3 Diviseurs et multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 20
1.3.4 PGCD, PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Calculs avec des fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 21
1.4.1 Addition et soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 21
1.4.2 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 22
1.4.3 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.4 Radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.5 Approfondissement : présence de radicaux au dénominateur . . . . . . . . . 23
1.5 Calculs avec des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 24
1.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.2 Notation scientifique d'un nombre décimal . . . . . . . . . .. . . . . . . . 24
1.5.3 Règles opératoires avec des puissances . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 25
1.5.4 Approfondissement : Identités remarquables . . . . . . .. . . . . . . . . . . 25
1.6 Proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 26
1.6.1 Suites et grandeurs proportionnelles . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 26
1.6.2 Quatrième proportionnelle, produits en croix . . . . . .. . . . . . . . . . . 27
1.7 Unités et changements d'unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 29
1.7.1 Unités de longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29
1.7.2 Unités d'aire, unités de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 29
1.7.3 Échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2
1.7.4 Unités de masse, densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 32
1.7.5 Unités de durée, vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 32
2 Initiation à la statistique35
2.1 Population . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 35
2.2 Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35
2.2.1 Le type qualitatif nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 36
2.2.2 Le type qualitatif ordinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 37
2.2.3 Le type quantitatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 37
2.3 Effectifs et fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 37
2.4 Regroupement en classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 39
2.5 La médiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
2.5.1 Détermination de la médiane sans regroupement en classes . . . . . . . . . . 41
2.5.2 Approfondissement : Détermination de la médiane avecregroupement en
classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6 La moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
2.7 Variance et écart type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 45
2.7.1 La variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.7.2 Ecart type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.8 Taux de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 47
3 Équations, inéquations, systèmes50
3.1 Calcul littéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 50
3.1.1 Réduire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.2 Supprimer les parenthèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 51
3.1.3 Développer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.4 Factoriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
3.2 Équations à une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 53
3.2.1 Généralités sur les équations à une inconnue . . . . . . . .. . . . . . . . . 53
3.2.2 Équations du premier degré à 1 inconnue . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 54
3.3 Approfondissement : Inéquations à une inconnue . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 57
3.3.1 Généralités sur les inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 57
3.3.2 Inéquations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 58
3.4 Approfondissement : Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 60
3.4.1 Généralités sur les systèmes linéaires . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 60
3.4.2 Systèmes linéaires comportant autant d'équations que d'inconnues . . . . . . 62
4 Géométrie plane65
4.1 Droite graduée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 65
4.2 Repérage d'un point dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 67
4.3 Théorème de Pythagore, repères orthonormés, distances. . . . . . . . . . . . . . . . 69
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