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Brevet 4 : Problème ² Groupe Sud ² 2006
La station de ski Blanche Neige propose les tarifs suivants pour la saison 2004-2005 : Tarif A : Chaque journée de ski coûte 20 euros.Tarif B : En adhérant au club des sports dont la cotisation annuelle s'élève à 60 euros, on
bénéficie d'une réduction de 30 % sur le prix de chaque journée à 20 euros.1) Yann est adhérent au club des sports de la station. Sachant qu'il a déjà payé sa cotisation annuelle,
expliquez pourquoi il devra payer 14 euros par journée de ski.2) Reproduire et compléter le tableau suivant :
Nombre de jours de ski pour la saison 2004-2005 5 8Coût en euros avec le tarif A 100 220
Coût en euros avec le tarif B 130
3) On appelle x le nombre de journée de ski durant la saison 2004-2005. Exprimer en fonction de x :
a) Le coût annuel CA en euros pour un utilisateur ayant choisi le tarif A. b) Le coût annuel CB en euros pour un utilisateur ayant choisi le tarif B.4 6MŃOMQP TXH KMQQ MGOpUHQP MX ŃOXN M GpSHQVp MX PRPMO 242 ½ ŃRPNLHQ GH ÓRXUV M-t-il skié ?
5) Sur une feuille de papier millimétré, dans un repère orthogonal, prendre :
en abscisses : 1 cm pour 1 jour de ski. en ordonnées : 1 cm pour 10 euros.On placera l'origine du repère en bas à gauche de la feuille, l'axe des abscisses étant tracé sur le
petit côté de la feuille.Tracer dans ce repère les représentations graphiques des fonctions affines f et g définies par :
f(x ) = 20x ; g(x ) = 14x + 60.6) Dans cette partie, on répondra aux différentes questions en utilisant le graphique (faire apparaître
sur le graphique les traits nécessaires).a) Léa doit venir skier douze journées pendant la saison 2004-2005. Quel est pour elle le tarif le
plus intéressant ? Quel est le prix correspondant ?b) En étudiant les tarifs de la saison, Chloé constate que, pour son séjour, les tarifs A et B sont
égaux. Combien de journées de ski prévoit-elle de faire ? Quel est le prix correspondant ?Solution :
1)Prix d·une journée de ski pour un adhérent :
En tant qu·MGOpUHQP, on bénéficie d'une réduction de 30 % sur le prix de chaque journée à 20 euros.
THEME :
APPLICATIONS LINEAIRES
APPLICATIONS AFFINES
SUJETS DE BREVETS - Serie 4
CORRECTION
Réduction : ( 30% de 20 ½ )
0,30 20 = 6 (½)
Prix de la journée :
20 ² 6 = 14 (½)
Remarque :
Nous pouvions également opérer comme suit :
Si 30% sont déduits du prix, l·adhérent ne paie que 70 % ( 100 ² 30 = 70 ) Donc sa journée revient à 0,70 20 , soit 14 euros. Prix d·une journée pour un adhérent : 14 ½2) Tableau :
Nombre de jours de ski pour la saison 2004-2005 5 8 1120220n
Coût en euros avec le tarif A 100 20 8
= 160 220Coût en euros avec le tarif B 130 14 8 + 60
= 17214 11 + 60
= 2143) Coût annuel CA en euros pour un utilisateur ayant choisi le tarif A et coût annuel CB en
euros pour un utilisateur ayant choisi le tarif B : En appelant x le nombre de journée de ski durant la saison 2004-2005, nous avons :CA = 20 x = 20 x
CB = 14 x + 60 = 14 x + 60
CA = 20 x et CB = 14 x + 60
4) Nombre de jours de ski pour Yann, adhérent au club, qui M GpSHQVp MX PRPMO 242 ½ :
Appelons x le nombre de jours skiés par Yann.
Comme il est adhérent, pour x jours, il a payé CB euros, c'est-à-dire ( 14 x + 60 ) euros. Or, nous savons que cette somme est égale à 242 euros. Nous avons donc :14 x + 60 = 242
Donc : 14 x = 242 ² 60
14 x = 182
x = 1314182
Yann a skié 13 jours.
5) Tracés des représentations graphiques des fonctions affines f et g :
R Tracé de la représentation graphique de la fonction f définie par f(x ) = 20x :La fonction f est une application affine ( d·après le texte) , mais f est plus précisément une fonction
linéaire. Sa représentation graphique est une droite Df passant par l·origine.Si n est le nombre de jours de ski, nous
avons : 20 n = 220 Donc 1120220n
14 euros la leçon ( en tant qu·adhérent )
+ Cotisation annuelle de 60 euros Nous devons donc déterminer les coordonnées d·un seul point.Nous pouvons donner arbitrairement une valeur pour x. Il est préférable ( gain de temps ) d·utiliser les
résultats du tableau présenté dans une question précédente. Nous savons que :Pour 5 jours de ski, le prix à payer est 100 ½ . Donc la représentation graphique Df passe par le point
de coordonnées ( 5 ; 10 )Pour 8 jours de ski, le prix à payer est 160 ½ . Donc la représentation graphique Df passe par le point
de coordonnées ( 8 ; 16 )Pour 11 jours de ski, le prix à payer est 220 ½ . Donc la représentation graphique Df passe par le point
de coordonnées ( 11 ; 220 )Un seul point suffit.
Pour tracer une droite, il est préférable de choisir des points éloignés. Il serait donc préférable ici de prendre
le point de coordonnées ( 11 ; 220 ) . Mais les coordonnées de ce point ont été obtenues par le calcul. Comme tout
calcul peut comporter une erreur, il est préférable ici de choisir le point de coordonnées ( 5 ; 100 )
( coordonnées données par le texte ) . La droite Df passe par l·origine et le point A de coordonnées ( 5 ; 100 ) R Tracé de la représentation graphique de la fonction g définie par f(x ) = 14x + 60 : La fonction g est une application affine. Sa représentation graphique est une droite Dg.Deux points suffisent pour la tracer.
Ces points, nous pouvons les choisir parmi les trois points proposés par le tableau précédent.
Nous savons que la droite Dg passe par les points de coordonnées ( 5 ; 130 ) ; ( 8 ; 172 ) ou ( 11 ; 214 ).
Prendre deux de ces points évite de refaire un calcul. Nous pouvons également en déterminer d·autres.Si x = 0 , alors g(0) = 14 0 + 60 = 60
Dg passe par le point B de cordonnées ( 0 ; 60 ) ( point facile à placer )Si x = 10 , alors g(10) = 14 10 + 60 = 200
Dg passe par le point C de cordonnées ( 10 ; 200 ) ( point facile à placer )6) Lecture graphique :
a)Formule la plus avantageuse pour 12 journées :D·après le graphique, la formule la plus avantageuse pour 12 jours est la formule B ( tarif B ) ( C·est la
première droite rencontrée, donc le prix pour 12 jours sera le plus petit ! )Le prix à payer est de 228 euros ( lecture graphique possible en utilisant du papier millimétré )
Pour 12 jours, le tarif B est le plus avantageux avec un prix de 228 euros.Remarque :
Un calcul rapide ( à ne pas écrire sur votre copie, car non demandé ) permet de savoir que ce prix est
de 228 euros. Il suffit de faire le calcul suivant :14 12 + 60 = 168 + 60 = 228 ( ½ )
b) Tarifs A et B égaux :Que représente le point d·intersection des deux droites. Pour une valeur particulière de x, les images
f(x) et g(x) sont identiques. Comme f(x) et g(x) représentent les différents tarifs, nous constatons
( dessin ci-dessous ) que pour x = 10, les deux tarifs A et B sont égaux. Si les deux tarifs sont égaux, alors le nombre de jours de ski est 10Toujours par lecture graphique ( dessin ci-dessous ) , nous constatons que le prix pour ces 10 jours est