FACTORISATION DE POLYNÔMES

FACTORISATION DE POLYNÔMES

Définitions

Techniques de factorisation

Peut-on compter les étoiles ?

Capacité de la salle : 100 places

Pour toute augmentationde ͳ̈́

du prix du billet, il y aura une diminution des ventes de 2billets.

Nombre de

Revenu = Prix du billet ൈDemande: x

augmentation en $ du prix du billet

Variable (inconnue)

Exemple 1

Définitions

ൌͳͷͲͲ൅͹Ͳݔെʹݔ2Forme développée

Forme factorisée

Définitions

Peut-on compter les étoiles ?

2 5 10

Facteur

Produit215 100 2 6 70 1500x x x x

Définitions

Polynôme Forme factorisée du polynôme

2Revenu 6 70 1500xx 15 100 2xx 25Rx55xx 221Q x x

21x224P x xy22x x y

1100 100Vi

La mise en évidence simplecababca 100100

Techniques de factorisation: mise enévidencesimple

1100 1iV

t =1t =0 100

610110iV

Techniques de factorisation: mise enévidencesimple 2xx224P x xy 2xx2 y22yx2x2x22x x y2xx22xy224x xy P

Vérification : développer laforme

factorisée du polynôme P

La mise en évidence simplecababca

Factoriser, si possible, le polynôme :

forme factorisée du polynôme 7

Exemple 2

Techniques de factorisation: mise enévidencedouble

3210 5 4 2P x x x

La mise en évidence double

d d d d aa b a b a bac c c c b b 2152xx122x21x21x 21x25x2forme factorisée du polynôme P
8

Exemple 3

Techniques de factorisation: mise enévidencedouble

3210 5 4 2P x x x

Mise en garde : utilisation des parenthèses après un signe " െ»

3210 5 4 2Q x x x 32 10 5xx4x222 1 5 2xx 22 1 5 2xx

Exemple 4

Techniques de factorisation: identitésremarquables

La différence de carrés :22bababa

La différence de cubes :2323bba a a abb

La somme de cubes :2323bba a a abb

10 Techniques de factorisation: différencede carrées

La différence de carrés22bababa 2249P x y

2223yx3232yyxx 2ax3by

Factoriser, si possible, le polynôme :

Exemple 5

Techniques de factorisation: différencede cubes La différence de cubes2323bba a a abb 38 27Px 3332x

22323223x x x 2ax3b

22 3 4 6 9x x x

Factoriser, si possible, le polynôme :

Exemple 6

Techniques de factorisation: sommede cubes

La somme de cubes2323bba a a abb 38 27Px

3332x

22323223x x x 2ax3b

22 3 4 6 9x x x

Factoriser, si possible, le polynôme :

Exemple 7

Soit : un polynôme en x de degré 2.2cPxaxb 24abc

Discriminant de P

Si , alors est irréductible(ne peut pas se décomposer en un produit de polynômes à coefficients réels de degré 1). 0P

Si , alors admet une racine réelle double et 0P02ra

b 2 0Paxr Si , alors admet deux racines réelles : et 0P12 et 22raa brb 12rxraPx 14

222P x x 1a2b2c

24
48
40
acb Pestirréductible(ne peut pas se décomposer en un produit de polynômes à coefficients réels de degré 1).

Factoriser, si possible,

Exemple 8

29Px1a0b9c

24
0 36 36 0
cba

Pest irréductible

Factoriser, si possible,

Remarque

est appelée " somme de carrés ».22ab Si un polynôme Pest une somme de carrés, alors Pestirréductible. 16

Exemple 9

221P x x 1a2b1c

2 0 4 44
cab

Padmet une racine réelle double

02122
b ar 2 0Paxr

Factoriser, si possible,

211x

21x
17

Exemple 10

223P x x 2a1b3c

2 5 4 1 24

25 0 et

acb Padmet deux racines réelles distinctes :121 5 3 1 5 et 12 4 2 2 4rbb aar

Factoriser, si possible,

3 122

P r x r

xx ax 18

Exemple 11

Techniques de factorisation: autrescas

3 2 2P a b a b

Factoriser, si possible, 3 2 2bbaPa2 + baab1

Vérification2 + baab1

32ab2ba

Exemple 12

Autrescasde factorisation

3 2 21 2 1 1 2 1P x x x x

Factoriser, si possible,

3 2 22 1 2 111Pxxxx

2 + 211xx 211xx1

Remarque32 ab

222 3 1 1211xxxx

3 2 22 1 2 111Pxxxx 2 ba

202 + baab1 1ax= 2 1bx

22221123xxxx

Exemple 13

Autrescasde factorisation

3 2 41 2 1 2 1 2 1P x x x x

Factoriser, si possible,

3 2 22 1 2 1311Pxxxx

2 1 1 2 xx211xx3

222132131xxxx

22212 3 21xxxx

Exemple 14

22 1)( 2121xxxx

Autrescasde factorisation

5 4 4 52 3 2 1 3 3 2 1P x x x x

Factoriser, si possible,

5 4 4 5332 2 1312Pxxxx

44 213xx23x321x

442 6 6 3231xxxx

4442391xxx

Exemple 15

Résumé

Mise en évidence simple : cababca

Mise en évidence double :bddac c cbaabdab

Techniques de factorisation

Factoriser un polynôme de degré deux

Factoriser une somme ou unedifférence de cubes

Résumé

Bibliographie

Josée Hamel, Mise à niveau Mathématique, 2eédition, 2017, Éditeur Pearson (ERPI)

Quiz niveau1

Dites si les énoncés suivants sont vrais ou faux :

Polynôme Polynôme factorisé3 2 2 28 8 16 4x y x y x y xy 24 2 2 4 1xy x xy x 259x5 3 5 3xx 5 3 5 3xx 259x211xx321x x x 3414xx quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

[PDF] FACTORISATION DE POLYNÔMES - HEC

FACTORISATION DE FONCTIONS QUADRATIQUES