CQP 099 - Mathématiques de base - Université de Sherbrooke

CQP 099 - Mathématiques de base

Chapitre 3

Factorisation de polynômes et fractions algébriques

Olivier Godin

Université de Sherbrooke

14 août 2018

Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques1 / 60

Introdution

La première partie du chapitre est consacrée aux différentes de méthodes de factorisation. La factorisation de polynômes est très utile pour simplifier les résultats obtenus, avec la manipulation des fractions algébriques. La deuxième partie du chapitre est d"ailleurs consacrée aux fractions algébriques, c"est-à-dire aux fractions dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. Il sera question des opérations que l"on peut effectuer sur celles-ci. Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques2 / 60

Plan du chapitre

1Factorisation de polynômes

2Fractions algébriques

3Références

Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques3 / 60

Factorisation de polynômes

1Factorisation de polynômes

Mise en évidence simple

Mise en évidence double

Factorisation d"une différence de carrés

Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variable

Factorisation d"un trinôme carré parfait

Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+c

Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+c

Factorisation d"une différence de cubes

Factorisation d"une somme de cubes2Fractions algébriques

3Références

Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques4 / 60

Factorisation de polynôme

Unfacteurest un élément d"unproduit. Sia,betcsont des nombres réels, et si a=bc, alorsbetcsont des facteurs dea. De la même façon, siP,QetSsont des polynômes, et siP=QS, alorsQetSsont des facteurs deP. Lafactorisation d"un polynômeconsiste à l"exprimer sous la forme d"un produit de polynômes, appelésfacteurs irréductibles, de degrés inférieurs. Il faut apprendre à reconnaître le modèle d"un polynôme et à utiliser la méthode appropriée de factorisation. On doit toutefois savoir que la factorisation d"un polynôme n"est pas toujours possible. Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques5 / 60

Mise en évidence simple

1Factorisation de polynômes

Mise en évidence simple

Mise en évidence double

Factorisation d"une différence de carrés

Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variable

Factorisation d"un trinôme carré parfait

Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+c

Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+c

Factorisation d"une différence de cubes

Factorisation d"une somme de cubes2Fractions algébriques

3Références

Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques6 / 60

Mise en évidence simple

On utilise lamise en évidence simplelorsque tous les termes contiennent un facteur commun.

Pour mettre en évidence ce facteur commun, on utilise la propriété de distributivité de la

multiplication sur l"addition : ab+ac=a(b+c)Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques7 / 60

Mise en évidence simple

Question éclair 3.1

Factorisez les polynômes suivants.

18 x227x

15 t725t340t4

20 x2+40x2y70xy2

56 u2v424uv3+32u3v2Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques8 / 60

Mise en évidence double

1Factorisation de polynômes

Mise en évidence simple

Mise en évidence double

Factorisation d"une différence de carrés

Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variable

Factorisation d"un trinôme carré parfait

Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+c

Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+c

Factorisation d"une différence de cubes

Factorisation d"une somme de cubes2Fractions algébriques

3Références

Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques9 / 60

Mise en évidence double

On utilise la méthode de lamise en évidence doublelorsqu"il n"existe pas de facteur commun à tous les termes, mais que des termes, une fois regroupés par deux (ou par trois, par quatre, etc.), contiennent un facteur commun à chaque groupe de termes. Après les avoir regroupés, on effectue deux mises en évidence successives, si possible : ac+bc+ad+bd=c(a+b) +d(a+b)mise en évidence decet ded

= (a+b)(c+d)mise en évidence de(a+b)Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques10 / 60

Mise en évidence double

Question éclair 3.2

Factorisez les polynômes suivants.

2 x3x2+6x3

b)6t3+15t28t+20 c)xy2x2y+4 d)

2 u33u2v+2uv23v3Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques11 / 60

Mise en évidence double

Exercice 3.1

Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques12 / 60

Mise en évidence double

Il n"est cependant pas toujours possible de trouver un facteur commun. Dans ce cas, il faudra essayer une autre méthode de factorisation. Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques13 / 60

Factorisation d"une différence de carrés

1Factorisation de polynômes

Mise en évidence simple

Mise en évidence double

Factorisation d"une différence de carrés

Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variable

Factorisation d"un trinôme carré parfait

Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+c

Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+c

Factorisation d"une différence de cubes

Factorisation d"une somme de cubes2Fractions algébriques

3Références

Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques14 / 60

Factorisation d"une différence de carrés

Unedifférence de carréest un binôme composé de la différence de deux carrés. Il peut alors s"exprimer comme le produit de la somme et de la différence des deux racines carrées : a

2b2= (ab)(a+b)

Notons qu"une somme de deux carrés n"est pas décomposable en facteurs. Ainsi, la

factorisation dea2+b2est impossibile.Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques15 / 60

Factorisation d"une différence de carrés

Question éclair 3.3

Factorisez les polynômes suivants.

a)x249 b)

36 121t2

100 x29y2

4 u23Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques16 / 60

Factorisation d"une différence de carrés

Exercice 3.2

Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques17 / 60 Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variable

1Factorisation de polynômes

Mise en évidence simple

Mise en évidence double

Factorisation d"une différence de carrés

Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variable

Factorisation d"un trinôme carré parfait

Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+c

Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+c

Factorisation d"une différence de cubes

Factorisation d"une somme de cubes2Fractions algébriques

3Références

Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques18 / 60 Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variable Soit le polynômeP=ax2+bc+c. Lesracines(ouzéros) du polynômePsont les valeurs de la variablexpour lesquellesax2+bc+c=0. Le concept de racine peut être étendu à un polynôme quelconque de degrén anxn+an1xn1++a1x+a0. Soit un trînôme de la forme précédente, soitax2+bx+c. On peut factoriser certains de

ceux-ci en respectant les étapes suivantes :1On cherche deux nombres dont la somme estbet le produit estac.2On remplacebpar la somme de ces deux nombres.3On effectue une double mise en évidence :

2+bx+c= (mx+u)(nx+v), oùmn=a;uv=cetmv+nu=bChapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques19 / 60

Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variable Cela nous amène à proposer le théorème suivant :

SoitP=ax2+bc+c, un polynôme enxde degré 2.

Sib24ac<0, alorsPest irréductible, c"est-à-dire qu"on ne peut pas le décomposer et l"écrire comme un produit de deux polynômes à coefficients réels de degré 1. Sib24ac0, alorsP=a(xr1)(xr2), oùr1etr2sont les racines dePet sont obtenues par laformule quadratique: r 1=bpb

24ac2aetr2=b+pb

24ac2aChapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques20 / 60

Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variable

Question éclair 3.4

Factorisez si possible les polynômes suivants.

2 x2+10x28

9 t212t+4

3 u25u+4

6 x2+19x+10Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques21 / 60

Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variable

Exercice 3.3

Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques22 / 60

Factorisation d"un trinôme carré parfait

1Factorisation de polynômes

Mise en évidence simple

Mise en évidence double

Factorisation d"une différence de carrés

Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variable

Factorisation d"un trinôme carré parfait

Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+c

Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+c

Factorisation d"une différence de cubes

Factorisation d"une somme de cubes2Fractions algébriques

3Références

Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques23 / 60

Factorisation d"un trinôme carré parfait

On utilise la méthode de factorisation d"untrinôme carré parfaitlorsque le polynôme est composé de la somme des carrés de deux nombres et du double du produit de ces mêmes nombres. On peut constater que le carré d"un binôme prend toujours cette forme : (a+b)2=a2+2ab+b2 (ab)2=a22ab+b2Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques24 / 60

Factorisation d"un trinôme carré parfait

Question éclair 3.5

Factorisez les polynômes suivants en utilisant la méthode décrite dans cette section. a)x212x+36 b)t2+8t+16 c)

36 x2+12x+1

16 u240u+25Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques25 / 60

Factorisation d"un trinôme carré parfait

Exercice 3.4

Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques26 / 60 Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+c1Factorisation de polynômes

Mise en évidence simple

Mise en évidence double

Factorisation d"une différence de carrés

Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variable

Factorisation d"un trinôme carré parfait

Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+c

Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+c

Factorisation d"une différence de cubes

Factorisation d"une somme de cubes2Fractions algébriques

3Références

Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques27 / 60

Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+c

Pour décomposer un trinôme dont le coefficient du terme de second degré est 1, il faut trouver deux nombres,uetv, dont la somme estbet le produit estc. On obtient alors x

2+bx+c= (x+u)(x+v)oùu+v=betuv=cChapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques28 / 60

Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+cQuestion éclair 3.6 Factorisez les polynômes suivants en utilisant la méthode décrite dans cette section. a)x2+11x+18 b)u2+3u28 c)t211t+24 d)x2x30Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques29 / 60 Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+cExercice 3.5 Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques30 / 60 Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+c1Factorisation de polynômes

Mise en évidence simple

Mise en évidence double

Factorisation d"une différence de carrés

Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variable

Factorisation d"un trinôme carré parfait

Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+c

Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+c

Factorisation d"une différence de cubes

Factorisation d"une somme de cubes2Fractions algébriques

3Références

Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques31 / 60 Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+cQuestion éclair 3.7 Factorisez les polynômes suivants en utilisant la méthode décrite dans cette section. a)

2 x2+5x3

6 x2+11x+4

5 t29t2

12 u225u+12Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques32 / 60

Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+cExercice 3.6 Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques33 / 60

Factorisation d"une différence de cubes

1Factorisation de polynômes

Mise en évidence simple

Mise en évidence double

Factorisation d"une différence de carrés

Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variable

Factorisation d"un trinôme carré parfait

Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+c

Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+c

Factorisation d"une différence de cubes

Factorisation d"une somme de cubes2Fractions algébriques

3Références

Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques34 / 60

Factorisation d"une différence de cubes

Ladifférence de deux cubesest un binôme dont chacun des termes est le cube d"un nombre ou d"une expression algébrique.

On a que

3b3= (ab)(a2+ab+b2)Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques35 / 60

Factorisation d"une différence de cubes

Question éclair 3.8

Factorisez les polynômes suivants.

a)x38 b) 64 u3
c)

216 t31000

27 x3125y3Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques36 / 60

Factorisation d"une somme de cubes

1Factorisation de polynômes

Mise en évidence simple

Mise en évidence double

Factorisation d"une différence de carrés

Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variable

Factorisation d"un trinôme carré parfait

Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+c

Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+c

Factorisation d"une différence de cubes

Factorisation d"une somme de cubes2Fractions algébriques

3Références

Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques37 / 60

Factorisation d"une somme de cubes

Le même principe s"applique dans le cas d"unesomme de cubes: a

3+b3= (a+b)(a2ab+b2)Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques38 / 60

Factorisation d"une somme de cubes

Question éclair 3.9

Factorisez les polynômes suivants.

a)x3+64 b)

8 t3+125

c)x3+164 y3 d) 18 u3+27v3Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques39 / 60

Factorisation d"une somme de cubes

Exercice 3.7

Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques40 / 60

Fractions algébriques

1Factorisation de polynômes

2Fractions algébriques

Simplification de fractions algébriques

Produit de deux fractions algébriques

Quotient de deux fractions algébriques

Somme ou différence de deux fractions algébriques3Références Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques41 / 60

Fractions algébriques

On appellefraction algébrique(oufraction rationnelle) toute expression de la forme PQ oùPetQsont des polynômes et oùQ6=0.

Ledomaine d"une fraction algébriquePQ

est l"ensemble de toutes les valeurs réelles

telles que le dénominateurQest différent de 0.Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques42 / 60

Fractions algébriques

Question éclair 3.10

Déterminez le domaine des fractions algébriques suivantes. a)

2x315x

b) 4t2t 33t2
c) u2+u+116u2+1 d) x2+x+116x21Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques43 / 60

Simplification de fractions algébriques

1Factorisation de polynômes

2Fractions algébriques

Simplification de fractions algébriques

Produit de deux fractions algébriques

Quotient de deux fractions algébriques

Somme ou différence de deux fractions algébriques3Références Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques44 / 60

Simplification de fractions algébriques

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[PDF] CQP 099 - Mathématiques de base - Université de Sherbrooke

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Les méthodes de factorisation - Lycée Michel Rodange