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S´eries Chronologiques

Exercices et TP

Agn`es Lagnoux

lagnoux@univ-tlse2.fr ISMAG

MASTER 1 - MI00141X

M1 ISMAG

MI00141X - S´eries chronologiques

Feuille d"exercices n°1 : Introduction aux s´eries chronologiques

Exercice 1

Montrer si les suites ci-dessous sont p´eriodiques ou de somme nulle (et discuter selon les valeurs deaet deb) :

1.?t?Z,st=acos(2πt

p);

2.?t?Z,s2t=aets2t+1=bavecaetbdeux r´eels;

3.?t?Z,st=abtavecaetbdeux r´eels;

Exercice 2

D´emontrer le r´esultat de cours suivant :

Toute composante de somme nulle sur une p´eriodepest p´eriodique de p´eriodep.

Exercice 3

On consid`ere le mod`ele additif :

?t?Z, Xt=Zt+St+?t, o`u (Zt)test une tendance, (St)tune composante saisonni`ere de p´eriodepet (?t)tune suite de variables al´eatoires iid de carr´e int´egrable (la variance sera not´eeσ2).

1. Calculer l"esp´erance deXtpour toutt?Z.

2. Calculer la variance deXtpour toutt?Z.

3. Calculer la covariance entreXtetXspour tout (t,s)?Z2.

Exercice 4

Mˆeme questions que l"exercice 3 lorsque l"on consid`ere lemod`ele multiplicatif : ?t?Z, Xt=ZtSt+?t, o`u (Zt)test une tendance, (St)tune composante saisonni`ere de p´eriodepet (?t)tune suite de variables al´eatoires iid de carr´e int´egrable (la variance sera not´eeσ2).

Exercice 5

Mˆeme questions que l"exercice 3 lorsque l"on consid`ere lemod`ele multiplicatif complet : ?t?Z, Xt=ZtSt?t, o`u (Zt)test une tendance, (St)tune composante saisonni`ere de p´eriodepet (?t)tune suite de variables al´eatoires iid de carr´e int´egrable (la variance sera not´eeσ2).

Exercice 6

On consid`ere la s´erie suivante du nombre de v´ehicules `a un p´eage autoroutier de Midi- Pyr´en´ees selon la plage horaire observ´e pendant 4 jours : 2 1234

0h-6h1394209323432839

6h-12h2469282430263841

12h-18h1665211627793009

18h-24h2588293435613579

1. Repr´esenter graphiquement cette s´erie. On num´erotera les donn´ees de 1 `a 16.

2. D´eterminer s"il s"agit d"un mod`ele additif ou multiplicatif.

Exercice 7

On consid`ere la s´erie suivante

ti12345678910 yi58403115181599108

1. Repr´esenter graphiquement cette s´erie.

2. On se propose d"ajuster une tendancefde la formef(t) =1

at+b.

Justifier ce choix pourf.

3. Estimer directement leaet lebpar la m´ethode des points m´edians.

4. Proposer un changement de variable appropri´e de fa¸con `a obtenir un mod`ele lin´eaire.

D´eterminer ensuite les coefficientsaetb

- par la m´ethode des moindres carr´es ordinaires; - par la m´ethode des points m´edians.

5. Repr´esenter les trois tendances obtenues sur le graphique pr´ec´edent.

Exercice 8

Le tableau suivant donne le chiffre d"affaires (CA)yd"une entreprise (en milliers d"euros) selon le mois de l"ann´eex:

Ann´ee 1Ann´ee 2

xiJFMAMJJASONDJFMA

1. Repr´esenter graphiquement cette s´erie.

2. Que peut-on dire de la tendance?

3. Proposer un ajustement lin´eaire

- par la m´ethode des moindres carr´es ordinaires; - par la m´ethode des points m´edians.

4. Repr´esenter les deux estimations de la tendance obtenues sur le graphique pr´ec´edent.

5. Proposer une pr´evision pour les mois de Mai et Juin de la 2`eme ann´ee avec chacune

des deux m´ethodes. 3

M1 ISMAG

MI00141X - S´eries chronologiques

Feuille d"exercices n°2 : Moyennes mobiles et d´ecomposition Quelques exercices pour manipuler les moyennes mobiles

Exercice 1

Calculer les s´eries des moyennes mobiles d"ordre 2, 3 et 4 dela s´erie initialeXtsuivante t1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Xt30 15 5 30 36 18 9 36 45 15 10 60 48 16 8 72

Exercice 2

On a relev´e le nombre de mariages dans une ville du sud-ouestde la France chaque trimestre pendant 3 ans :

200420052006

1101112

2121415

3131517

4111212

1. Repr´esenter graphiquement cette s´erie chronologique(avec p´eriodes superpos´ees puis

avec p´eriodes successives). Commenter.

2. Calculer la s´erie des moyennes mobiles pour un ordre choisi judicieusement, lisser la

courbe.

3. Calculer les coefficients saisonniers (pour le mod`ele additif).

4. Calculer l"´equation de la droite de tendance et tracer cette droite sur le graphique

pr´ec´edent.

5. Utiliser le mod`ele construit pour pr´evoir le nombre de mariages dans cette ville en 2007.

Exercice 3

Dans une grande entreprise, on a mesur´e l"absence journali`ere pendant 4 semaines : chaque semaine comporte 5 jours de travail. Voici les r´esultats (on donne ici le nombre d"employ´es absents) :

Semaine 1Semaine 2Semaine 3Semaine 4

Lundi1245

Mardi0346

Mercredi571011

Jeudi2423

Vendredi0124

1. Repr´esenter graphiquement cette s´erie chronologique(avec p´eriodes superpos´ees puis

avec p´eriodes successives). Commenter.

2. Calculer la s´erie des moyennes mobiles pour un ordre choisi judicieusement, lisser la

courbe.

3. Calculer les coefficients saisonniers (pour le mod`ele additif).

4. Calculer l"´equation de la droite de tendance et tracer cette droite sur le graphique

pr´ec´edent.

5. Pr´evoir le nombre d"absents pour les 3 premiers jours de la cinqui`eme semaine.

4 Quelques exercices sur les propri´et´es des moyennes mobiles

Exercice 4

Montrer que la composition de toute moyenne mobile avec l"op´erateur retard est com- mutative, i.e. montrer que siMest un moyenne mobile et (Xt)t?Zune s´erie temporelle, alors, ?t?Z, M(BXt) =B(MXt).

Exercice 5

Montrer que les moyennes mobiles sym´etriques v´erifient les propri´et´es suivantes :

1. SiM1etM2sont deux moyennes mobiles centr´ees, alors il en est de mˆeme deM1M2.

2. Une moyenne mobile centr´eeM=BmP(F) est sym´etrique si et seulement siP(B) =

B

2mP(F).

3. SiM1etM2sont deux moyennes mobiles sym´etriques, alors il en est de mˆeme de

M 1M2.

Exercice 6Composition de moyennes mobiles

1. Montrer que siXtest une s´erie invariante parM1etM2, alorsXtest invariante par

M

1M2. Qu"en est-il de la r´eciproque?

2. Montrer que siXtest une s´erie arrˆet´ee parM1ouM2, alorsXtest arrˆet´ee parM1M2.

Qu"en est-il de la r´eciproque?

Exercice 7

1. Soitp?N?. Montrer que la moyenne mobileM= (I-B)p, appel´eeop´erateur de

diff´erence, transforme un polynˆome de degr´epen une constante.

2. Soits?N?. Montrer que la moyenne mobileM=I-Bs, appel´eeop´erateur de

diff´erence saisonni`ere, absorbe les composantes saisonni`eres de p´eriodes.

3. Soientpets?N?. Que se passe-t-il lorsqu"on applique la moyenne mobileM=

(I-Bs)o(I-B)p+1`a la s´erie temporelle X t=Zt+St+?t o`uZest une tendance polynˆomiale de degr´ep,Sune composante saisonni`ere de p´eriodeset?un bruit blanc?

Exercice 8

Soitq?N?. Montrer que la moyenne mobile sym´etrique impaireMd´efinie par M=1

2q+ 1q

i=-qB i, absorbe les composantes saisonni`eres de p´eriode 2q+1 et conserve les polynˆomes de degr´e 1. 5 Quelques exercices sur des moyennes mobiles particuli`eres Exercice 9On s"int´eresse dans cet exercice `a la moyenne arithm´etique d"ordre 5.

1. Ecrire son polynˆome associ´e.

2. V´erifier que la moyenne arithm´etique conserve les polynˆomes de degr´e 1.

3. D´eterminer les s´eries invariantes par la moyenne mobile arithm´etique d"ordre 5.

Exercice 10

D´eterminer les moyennes mobiles sym´etriques d"ordre minimal conservant les polynˆomes de degr´e 2 et annulant les composantes saisonni`eres trimestrielles.

Exercice 11

Soit (Xt) un processus stochastique. On consid`ere la moyenne mobile suivante : MX t=Xt+2+ 2Xt+1+ 2Xt+ 2Xt-1+Xt-2 8.

1. Exprimer cette moyenne mobile `a l"aide de l"op´erateurBet donner son polynˆome

caract´eristique.

2. D´eterminer les suites de la formeatabsorb´ees parM.

3. Montrer que les composantes saisonni`eres de p´eriode 4 sont absorb´ees parM.

4. D´eterminer les suites de la formeatinvariantes parM.

5. Montrer que les polynˆomes de degr´e 1 sont invariants parM.

6. On d´efinit le processus (Xt) parXt=at+b+St+?t, o`uaetbsont deux constantes,

(St) une composante saisonni`ere de p´eriode 4 et?tun bruit blanc faible de variance

2. On poseYt=MXt. Calculer l"esp´erance et les autocovariances de ce processus.

Exercice 12

Le tableau ci-dessous donne les indices de quantit´e d"importations totales de la CEE pour chacun des mois des ann´ees 1961 `a 1963, correspondant aux observationsX1,...,X36.

On consid`ere la moyenne mobileMsuivante :

M=1

3B2+19B+19I+19B-1+13B-2.

Etudier les propri´et´es de cette moyenne mobile. Repr´esenter la s´erie initiale et la s´erie

filtr´ee parM.

Exercice 13

Soit (Xt) un processus stochastique. On consid`ere les deux moyennes mobiles suivantes : M 1Xt=1

4(5Xt+ 2Xt-1-3Xt-2)

6 et M 2Xt=1

2(Xt+Xt-2)

De plus, on consid`ere la moyenne mobileMd´efinie par :M=M1M2.

1. Exprimer ces trois moyennes mobiles `a l"aide de l"op´erateurBet donner leur po-

lynˆome caract´eristique.

2. D´eterminer les suites de la formeatabsorb´ees parM1et parM2. En d´eduire celles

absorb´ees parM.

3. D´eterminer les suites invariantes de la formeatparM1et parM2. V´erifier queM

laisse invariant les polynˆomes de degr´e 1.

4. On d´efinit le processus (Xt) parXt=at+b+St+?t, o`uaetbsont deux constantes,

(St) une composante saisonni`ere de p´eriode 4 et (?t) un bruit blanc faible de variance

2. On poseYt=MXt. Calculer l"esp´erance et les autocovariances de ce processus.

Exercice 14

On consid`ere la moyenne mobile suivante

M=a-2B2+a-1B+a0I+a1B-1+a2B-2

o`ua-2,...,a2sont des constantes r´eelles.

1. Si on dispose des observationsX1,...,Xn, pour quelles valeurs det,Yt=MXt

est-elle d´efinie?

2. Quelles conditions doit-on imposer aux coefficients deMpour queMlaisse inchang´es

les polynˆomes de degr´e 2? Montrer que ces conditions laissent subsister un degr´e de libert´e dans le choix des coefficients lorsque de plusa-2=a2eta-1=a1. Par la suite, on supposera ces conditions v´erifi´ees.

3. On suppose que (Xt) est d´efini, pour toutt, parXt=Zt+?to`uZtest un polynˆome

de degr´e 2 et (?t) un bruit blanc faible de varianceσ2. Calculer l"esp´erance et la variance deYt=MXt. Quelle est la moyenne mobile telle que la variance deYtsoit minimale?

4. On consid`ere les deux moyennes mobiles,M1etM2, suivantes

M 1=1

5(F2+F+I+F-1+F-2)

et M 2=1

8(F2+ 2F+ 2I+ 2F-1+F-2)

Montrer queVt=M1XtetWt=M2Xtont des esp´erances qui diff`erent deZtpar des constantes. Comparer les variances deVtet deWtavec celle deYt.

5. On suppose que les observations sont trimestrielles et queXtest d´efini parXt=

Z t+St+?to`u (St) est une composante saisonni`ere de p´eriode 4. Etudier comment les moyennes mobilesM1etM2op`erent surSt. Discuter la nature du biais que comportent les suitesVtetWtcomme estimateurs de la tendanceZ. 7

M1 ISMAG

MI00141X - S´eries chronologiques

Feuille d"exercices n°3 : Lissage exponentiel

Exercice 1

On consid`ere le mod`ele suivant de s´eries temporelles : ?t?Z, Xt=Zt+?t, o`u (Zt)test une tendance et (?t)test un bruit blanc fort gaussien de varianceσ2. On dispose des observationsX1,...,XT. On souhaite ´etudier les propri´et´es du lissage exponentiel simple d"une telle s´erie temporelle. SoitˆXT(1) l"estimation deXT+1par cette technique :

XT(1) = (1-β)T-1?

j=0β jXT-j, o`uβ?]0,1[. Caract´eriser la loi deˆXT(1) dans les deux cas suivants :

1. pour tout?t?Z,Zt=a;

2. pour tout?t?Z,Zt=at+b.

Que pensez-vous de

ˆXT(1) comme estimateur deXT+1dans ces deux cas?

Exercice 2

Le tableau ci-dessous indique la production mensuelle belge de papier journal (exprim´ee en milliers de tonnes) pour certains mois des ann´ees 1968 `a1970.

1968------9.810.18.37.99.57.5

19709.07.48.08.37.37.8------

Nous disposons aussi de la moyenne des 6 premiers mois de l"ann´ee 1968 qui est de 8.02.

1) Nous nous proposons, dans cette question, de d´eterminerunβconvenable

afin de faire de la pr´evision. Compl´eter les tableaux ci-dessous grˆace `a un lissage exponentiel simple des donn´ees par r´ecurrence pour trois choix de la constante de lissage :

•Constante de lissageβ= 0.9 :

1968------

1969

1970------

•Constante de lissageβ= 0.5 :

1968------

1969

1970------

8

•Constante de lissageβ= 0.1 :

1968------

1969

1970------

Calculer la somme des carr´es des ´ecarts entre les valeurs observ´ees et les valeurs pr´edites

pour chacun des lissages pr´ec´edents. Quel est le lissage qui minimise ce crit`ere d"erreur?

2) Nous nous proposons maintenant de faire de la pr´ediction.

Effectuer une pr´evision pour les 6 derniers mois de l"ann´ee1970 avec leβtrouv´e pr´ec´edemment.

Remarque

: nous rappelons qu"il est possible de choisir de fa¸con syst´ematique leβoptimal

en minimisant surβla somme des carr´es des ´ecarts entre les valeurs observ´ees et les valeurs

pr´edites.

Exercice 3

Soit (Xt)t?Zun processus tel que :

E(Xt) = 0,?t?Z,

Var(Xt) = E(X2t) = 1,?t?Z,

Cov(Xt,Xt+h) = E(XtXt+h) =ρ|h|,?t?Z,?h?Z,

avec-1< ρ <1. On consid`ere la s´erie chronologiqueX1,...,XTet on noteˆXT(h) la pr´evision `a l"horizonhfournie par le lissage exponentiel simple avec constante delissage

β(0< β <1) :

XT(h) = (1-β)T-1?

j=0β jXT-j. On noteDρ(h,β) l"erreur de pr´evision moyenne d´efinie par : D

ρ(h,β) = E?

(XT+h-ˆXT(h))2?

1. CalculerDρ(h,β).

NB. On supposeTsufisamment grand et on remplace dans les calculs?T-1 j=0αjpar 1

1-αpour toutα?]0,1[.

2. D´eterminer, en fonction deρ, la valeur deβminimisantDρ(1,β).

9

M1 ISMAG

MI00141X - S´eries chronologiques

TP 0 - Introduction `a R

1 Ouvrir une session R sous windows

Ouvrir une session R en cliquant sur l"icˆone R du bureau. Au d´emarrage de R, une fenˆetre

apparaˆıt. La premi`ere ligne apparaissant dans la fenˆetre de commandes est le r´epertoire

de travail. En dessous de cette ligne figure le symbole>. Ce symbole signifie que R est disponible pour recevoir une commande `a ´ecrire au clavier. Ainsi, toutes les commandes devront ˆetre introduites devant ce symbole. La rubrique d"aide fournie avec R constitue la premi`ere source de documentation sur le logiciel. Pour appeler cette rubrique, il faut ´ecrire, dans la ligne de commande : > help()

puis enfoncer la touche return. Une nouvelle fenˆetre apparaˆıt `a l"´ecran contenant la ru-

brique d"aide. On peut manipuler cette rubrique `a l"aide dela souris. Il arrive ´egalement que l"on cherche une rubrique d"aide `a propos d"un ´el´ement pr´ecis. Par exemple, si on d´esire afficher la rubrique d"aide qui traite des s´eries ARIMA, il faut ´ecrire : > help(arima) L"aide de R est ´egalement accessible en cliquant sur Help, puis R Help. Une autre source d"information tr`es utile est l"aide ´electronique disponible en ligne. Ces ressources sont ac- cessibles en cliquant sur Help puis, dans Online Manuals, ens´electionnant l"aide en ligne d´esir´ee.

2 Premi`eres manipulations

Symboles de base

Les manipulations de bases en R concernent les calculs arithm´etiques. Pour additionner

12 et 24 par exemple, il suffit de taper, `a l"invite de la ligne de commande :

>12+24 [1] 36 Les quatre symboles arithm´etiques fondamentaux sont repris dans le tableau suivant

Op´erationSymbole `a utiliser

addition+ soustraction- multiplication* division/ Bien entendu, on peut m´elanger plusieurs op´erations, en employant les parenth`eses () si n´ecessaire. En ´ecrivant >(12/8+24)*5-2 [1] 125.5 10 R commence par diviser 12 par 8, ajoute 24, multiplie le tout par 5 et soustrait 2. Le r´esultat n"est pas le mˆeme que >(12/(8+24))*5-2 [1] -0.125 Remarquons que R ne consid`ere pas les espaces blancs qui pourraient exister entre les difi´erentes op´erations : >2 * 24 [1] 48 De plus, R ne commence son calcul que si l"op´eration demand´ee est bien compl`ete. Ainsi, si on ´ecrit 2*, on obtient : >2*

o`u le nouveau + qui apparaˆıt `a la ligne signifie que l"instruction n"est pas termin´ee. On

ajoute alors la fin de l"instruction :quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15