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7000
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INSA { Genie Mathematique Annee 2017/2018
GM4 { Statistique
Polycopie d'exercices
Antoine Godichon-Baggioni
1StatistiqueFeuille de TD 1
Series Chronologiques
Exercice E.1 (Description d'une chronique d'ozone)On dispose de donnees reelles de pollution provenant d'une station de mesures d'AirParif, l'organisme charge de la sur- veillance et de la prevision de la qualite de l'air en Ile de France. Ces donnees sont des mesures journalieres sur la periode 1990-1999 et concernent : le maxim umde la temp eraturedu jour (en oC) la vitesse mo yennede v enten tre14h et 18h (en m/s) le maxim umde la conce ntratione nozone du jour en tre14h et 1 8h(en g/m3) Commenter les graphiques suivants.0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000 50 100 150 200 250
Concentration d'ozone
Concentration en Ozone entre 1990 et 1999
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
-10 0 10 20 30Concentration d'ozone
Température journalière maximum entre 1990 et 199920 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
0 2 4 6 8 10 12
Concentration d'ozone
Vitesse de Vent entre 1990 et 1999Exercice E.2 (Trac SNCF)Le graphique ci-dessous presente l'evolution trimestrielle du
trac voyageur de la SNCF en deuxieme classe, entre 1963 et 1980. Ces donnees, exprimees en millions de voyageurs kilometres, sont extraites du livre de Gourieroux et Montfort.102030405060705000
60007000
8000
9000
10000
11000
Trimestres
Nombre de Voyageurs (en millions)
Trafic voyageur de la SNCF entre 1963 et 1980Decrire la chronique. Exercice E.3 (Coecients de la Droite des Moindres Carres)On considere la serie sta- tistique double (ti;yi)1in. On souhaite ajuster au nuage de points associe a cette serie, une droite des moindres carres d'equationy=at+b. 1. Mon trerque les co ecientsaetbde la DMC ont pour expression : a=P n i=1tit (yiy)P n i=1tit2etb=yat
3 outetydesignent respectivement les moyennes empiriques des series (ti) et (yi). On rappelle que l'on chercheaetbde telle sorte que la quantite f(a;b) =nX i=1 y iatib 2 soit minimale. 2. D emontrerla d ecompositionen sommes de carr essuiv ante: n X i=1(yiy)2=nX i=1 at i+by 2+nX i=1 y iatib 2 et en deduire que n X i=1 y iatib 2=nX i=1(yiy)2a2nX i=1 t it2Exercice E.4 (Recettes de l'industrie automobile)On considere la serie des montants
rapportes par l'industrie automobile au Tresor public belge entre 1970 et 1978 (en millions de francs belges) :t i1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 y i32 38 48 52 61 73 80 84 95 1. V oicila repr esentationgraphique de la s erie.Comm enter.19701971197219731974197519761977197830 4050
60
70
80
90
100
Années
Montants (en million de francs belge)
Recettes de l'automobile2.On se prop osed'a juster acette s erieune tendance lin eairede la forme f(t) =at+b.
Determineraetbpar la methode des moindres carres.
43.Repr esenterla tendance ob tenuesur le graphique pr ecedent.
4. Cal culerle co ecientde corr elationlin eaireempirique que l'on notera r. 5.Le graphe des r esidusest le suiv ant.l
l l l l l l l l19701972197419761978
-2 -1 0 1 2Recettes de l'industrie automobile
Années
RésidusCommenter ce graphique.
6. Cal culerla somm edes carr esdes r esidus,ainsi que le co ecientde d etermination ou pourcentage de variance expliquee. 7.Com menterle sr esultatsobten us.
Pour vous faciliter les calculs, on vous donne les valeurs suivantes :P tiP yiP tit 2P tit (yiy)P (yiy)217766563604753788.22 Exercice E.5 (Methode des 2 points - Recette automobile)Reprendre les donnees de l'exercice 4 sur les recettes de l'automobile et determiner l'equation de la droite d'ajus- tement obtenue par la methode des deux points, en prenant les points medians des sous- series que vous aurez choisies. Representer cette droite sur le graphique. Calculer la somme des carres des residus associes. Comparer avec celle obtenue avec l'ajustement par la droitedes moindres carres. Commenter.Exercice E.6 (Etude de la population americaine)On souhaite etudier l'evolution de
la population americaine entre 1790 et 1990. On dispose des donnees suivantes : 5AnneesNombre d'habitants
(en millions)17903.929214
18005.308483
18107.239881
18209.638453
183012.860702
184017.063353
185023.191876
186031.443321
187038.558371
188050.189209
189062.979766
190076.212168
191092.228496
1920106.021537
1930123.202624
1940132.164569
1950151.325798
1960179.323175
1970203.302031
1980226.545805
1990248.709873
Compte-tenu de la representation graphique de cette serie, on souhaite modeliser sa tendance a l'aide d'un polyn^ome de degred, degre qu'on souhaitera le plus petit possible.l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l1800185019001950
0 50100
150
200
250
Population des Etats-Unis
Année
Nombre d'habitants (en millions)1.D ecrirela c hronique. 62.D eterminerles p olyn^omesdes moindres carr esde degr ed= 0;1;2 et 3. On reportera
dans le tableau ci-dessous les valeurs des dierents coecients ou (Pd) designe le polyn^ome de degred.Polyn^omea 0a 1a 2a 3P 0P 1P 2P3Tableau 1 {Estimations des dierents polyn^omes
3. Cal culerles di erentesparts de v arianceexpliqu ee.On p ourrasyn thetiserles di erents resultats obtenus dans le Tableau ci-dessousModeleSCRPart de variance (P0)(P1)(P2)(P3)Tableau 2 {Somme des Carres des Residus et Part de VarianceQuelle valeur dedsuggerez-vous?
4. Prop oseralors une pr evisionde la p opulationam ericaineen 2000. V erier,en c her- chant sur Internet par exemple, si cette prevision est correcte. Pour tous les calculs, on pourra utiliser les formules du cours (...!!!) combinees avecMatlab ou bien un tableur.
Si vous decidez d'utiliser Excel, ouvrir le chierPopUSA.xlsjoint a la feuille de TD. Puis, si ce n'est pas deja fait, activer dans l'ongletOutilsa la rubriqueMacros complementaires, l'Utilitaire d'Analyse. Ensuite, dans l'ongletOutils, lancez l'Utilitaire d'Analyseet choisirRegression lineaire. Il sut alors de lancer la macro avec comme variableYla colonne "nombre d'habitants" et comme variableXsoit la colonne des "Annees", soit les colonnes "Annees" et "Annees2", soit les colonnes "Annees", "Annees2" et "Annees3".
Il sut alors de lire les resultats. Pour determiner les informations utiles, commencer par faire a la main le calcul des coecients de la droite des moindres carres (polyn^ome de degre 1) ainsi que la part de variance expliquee, puis lancer la macro avec comme variable Yla colonne "nombre d'habitants" et comme variableXla colonne des "Annees".7StatistiqueFeuille de TD 2
Series Chronologiques (Suite)
Exercice E.7Soitn2 etY1;Y2;:::;Yndes variables aleatoires independantes, de m^eme loiN(;) oudesigne l'ecart-type. On se propose d'etudier les proprietes des estimateurs respectifs des parametres supposes inconnuset2. 1. Rapp elerl'expression de l'estim ateurnot ebdu parametre. 2. Sup posonsle param etreconnu. Donner l'expression de l'estimateur du parametre 2. 3. Sup posonsmain tenantinconnu. Donner l'expression de l'estimateur noteS2du parametre2. 4. Don ner,en justian t,la loi de b. Quelles proprietes surbdeduit-on de ce resultat ? 5.D emontrerque
n X i=1(Yi)2=nX i=1 YiY 2+nY2 6.Donn eren justian tla loi de
nX i=1 Yi 2 7. D eduiredu r esultatde la question 4, la loi de nY 2 8.Sac hantque
pn(Y)S suit une loi de Student a (n1) degres de liberte, notee T n1, construire un intervalle de conance bilateral pour le parametreau niveau de conance 1. On pourra notertn1;=2le quantile d'ordre 1=2 de la Student a (n1)ddl, ie. P jTn1j tn1;=2= 1()PTn1tn1;=2= 1=2 9. On d ecided' etudierpar sim ulationle comp ortementde l 'estimateurdu param etre pour des tailles d'echantillon petites et moderees. Pour cela, on simule 200echantillons de taillesn= 50;200;500;1000 et 2000 d'une loiN(1;1). On presente dans la gure ci-dessous quelques trajectoires (valeurs successives de l'estimation) obtenues avec des echantillons de taillen= 200. Commenter. 8050100150200
-2 -1 0 1 2 3 Illustration des fluctuations d'échantillonnage n Estimations de muOn presente dans la gure ci-dessous les bo^tes a moustaches des 200 estimations pour dieentes valeurs den. Commenter. l l l l l l l5020050010002000
0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3200 échantillons de N(1,1)
Estimation de muEnn, pour chacun des 200 echantillons et pour chaque valeur den, on a construit l'intervalle de conance a 95% du parametreet on a note l'appartenance ou non de 9a cet intervalle. Le tableau ci-dessous presente les resultats obtenus. Commenter.Nombre d'ICPourcentageQuantile
quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42