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Mod`eles physiques de quelques instruments de musiqueet acoustiques
Corrig´e
Premi`ere partie
Corde vibrante - Instruments `a cordes
A.´Equation de propagation de l"´ebranlement
1. a)d?=?
(dx)2+ (dy)2= dx?1 +?∂y∂x? 2 . Au premier ordre en∂y∂x: d?= dx. b)Soit l"´el´ement de cordeMM?compris entre les abscissesxetx+ dx(sur la figure les angles ont ´et´es exag´er´es pour la rendre lisible) : -→T(x,t)-→T(x+dx,t)
M M dyPuisque le poids est n´eglig´e, l"´el´ement de corde, de longueur d??dx, de masse dm=μd?,
est soumis `a : la tension de la portion de fil situ´ee `a droite du pointM?, soit-→T(x+ dx,t), la tension de la portion de fil situ´ee `a gauche du pointM?, soit--→T(x,t).Le mouvement de la corde ayant lieu selonOy, le th´eor`eme de la r´esultante cin´etique appliqu´e
`a cet ´el´ement de corde s"´ecrit : dm∂2y ∂t2-→ey=-→T(x+ dx,t)--→T(x,t).(1)Soit en projection surOy:
dm∂2y ∂t2= (Tsinα)(x+ dx,t)-(Tsinα)(x,t).(2)Au premier ordre en
∂y ∂x: dm=μdx,cosα(x,t) = 1 et sinα(x,t) =α(x,t) =∂y ∂xEn se limitant `a l"ordre 1 en
∂y ∂x, l"´equation (2) s"´ecrit : 1Mais le module de la tension lui-mˆeme est une l´eg`ere perturbation par rapport `a sa valeurT0au
repos. Au premier ordre en∂y ∂x,Tα=T0αpuisque l"angleαest un infiniment petit du premier ordre. L"´equation (3) s"´ecrit alors, au premier ordre : ∂2y L"´elongationy(x,t) v´erifie donc l"´equation d"onde de d"Alembert : 2y ∂t2=c2∂2y∂x2(4) o`uc=? T02. a)T0est une force, donc s"exprime en N ou encore en kg.m.s-2,μest une masse lin´eique,
donc s"exprime en kg.m -1,T0 μs"exprime donc en m2.s-2:cest bien homog`ene `a une vitesse. b)La solution g´en´erale de l"´equation de d"Alembert unidimensionnelle est la somme d"une onde plane progressive dans le sens desxcroissants et d"une onde plane progressive dans le sens desxd´ecroissants, les deux `a la vitessec: y(x,t) =f(x-ct) +g(x+ct) ou y(x,t) =?? t-x c? t+xc? c)Pour la corde de guitare :c= 185 m.s-1, pour celle de piano :c= 310 m.s-1(μ=ρ×s= 8,82 g.m-1).
La c´el´erit´ecest d"autant plus grande que la corde est plus tendue. B.Corde fix´ee `a ses deux extr´emit´es. Modes propres1. Modes propres, fr´equences propres
a)Une onde stationnaire est une onde de la formey(x,t) =f(x)g(t), elle ne se propage pas. b)On cherche des solutions particuli`eres de l"´equation de d"Alembert sous la formey(x,t) = f(x)g(t) o`uf(x) est une fonction de l"abscisse seule etg(t) du temps seul.Alors :
2y ∂t2=c2∂2y∂x2?f(x)g??(t) =c2f??(x)g(t)?f??(x)f(x)=1c2g??(t)g(t) en supposant que les fonctionsfetgne sont pas identiquement nulles. Les variablesxett´etant ind´ependantes, si une fonction dexest ´egale `a une fonction det, elle est n´ecessairement
constante. On pose alors : f ??(x) f(x)=1c2g??(t)g(t)=C0 2 o`uC0est une constante. SiC0est positive,f(x) etg(t) s"´ecrivent comme la somme de deux exponentielles r´eelles, l"une croissante, l"autre d´ecroissante. Quandttend vers l"infini,g(t) tend ou bien vers l"infini(en valeur absolue) ou bien vers 0. Le premier cas n"a pas de r´ealit´e physique (et dans ce cas le
cadre de l"´etude - petites perturbations - n"est plus respect´e), le second correspond `a un r´egime
transitoire inint´eressant. SiC0est nul, le probl`eme est le mˆeme. Le seul cas physiquement acceptable est doncC0n´egatif. On pose :C0=-k2. Alors : ?f(x) =Acos(kx+?) g(t) =Bcos(ωt+ψ) o`uk=ω c. c)Les conditions aux limites imposent `a la fr´equencef=ω/2πde ne prendre que certainesvaleursfn, ce sont lesfr´equences propres. L"´elongation correspondante,yn(x,t) =y0ncos(ωnt+
?)cos(knx+ψ) est lemode propreassoci´e. d)La conditiony(0,t) = 0 impose cos(ψ) = 0. On choisitψ=-π2, d"o`u :
y(x,t) =y0cos(ωt+?)sin(kx) La deuxi`eme conditiony(L,t) = 0 donne : cos(kL) = 0, soitkL=nπo`unest un entier strictement positif. Orf=ω/2πetk=ω/cdonc : f n=nc 2L e)Un noeud de vibration est un point qui reste immobile :?t,y(x,t) = 0. Les noeuds se situent enxntel quekxn=nπo`unest un entier positif. Deux noeuds sont donc distants deπ k=λ2. Un ventre de vibration est un point pour lequel l"amplitude de vibration est maximale. Les ventres se situent enx?mtel quekx?m=mπ+π2o`umest un entier. Deux ventres sont donc
´egalement distants de
2. Un noeud et un ventre cons´ecutifs sont distants de 4. f)L"aspect de la corde pour les premiers modes propres est le suivant : n=1 n=2 n=3g)Exp´erience : corde de Melde, les fr´equences propres de la corde sont les fr´equences pour
lesquelles il y a r´esonance (`a peu pr`es ...). On peut aussi enregistrer le son ´emis par une corde (micro + carte d"acquisition) et faire l"analyse harmonique (logiciel). 3 h)Guitare :L= 63 cm. Piano :L= 105 cm.2. Solution g´en´erale
a)Les conditions initiales imposent : y(x,0) =α(x) =∞? n=1a nsin? nπ Lx? et : ∂y ∂t(x,0) =β(x) =∞? n=1b nnπcLsin? nπLx? Les coefficientsanapparaissent comme les coefficients du d´eveloppement en s´erie de Fourier de la fonction ˜α(x) d´efinie dans l"´enonc´e. Les coefficientsbnsont ´egaux `aL nπcfois les coefficients du d´eveloppement en s´erie de Fourier de la fonction˜β(x).
b) 0L2L3L-L
-2L-3Lα(x)˜α(x)3. Corde pinc´ee
a)La vitesse initiale est nulle donc lesbnsont tous nuls. Pour d´eterminer lesan, on calcule les coefficient de Fourier de la fonction ˜α(x). b)Soit la fonctionαd´efinie par : ?α(x) =ηhLxpour 0< x α(x) =ηh
(η-1)L(L-x) pourLη< x < L o`uηest un nombre entier positif (´egal `a 2 ou 5 dans les exemplespropos´es). La d´eriv´ee de la fonction ˜αest ´egale, sur une p´eriode, `a : ?˜α?(x) =ηh Lpour 0< x ˜α?(x) =-ηh
(η-1)LpourLη< x <2L-Lη ˜α?(x) =ηh
Lpour 2L-Lη< x <2L
Elle est paire donc seuls ses coefficientsan(en cosinus) sont non nuls. Ils sont proportionnels `a sin?nπ donc nuls pournmultiple deη. Les coefficients de Fourier de la fonction ˜αse calculent simplement `a partir de ceux de sa d´eriv´ee par une int´egration par partie : 2L 0 ˜α?(x)cosnπx
Ldx=? ˜α(x)cosnπxL?
2L 0+nL? 2L 0 ˜α(x)sinnπxLdx=nL?
2L 0 ˜α(x)sinnπxLdx
Donc si un coefficient en cosinus de la d´eriv´ee est nul, le coefficient en sinus correspondant
de la fonction est nul aussi : les harmoniques multiples deηsont absents, ce que l"on voit bien sur les spectres pr´esent´es. 4 Pour la corde pinc´ee en son milieu, on peut donner un argument plus simple : il n"y a que des harmoniques impairs parce que une translation d"unedemi-p´eriode (c"est-`a-dire deL) transforme la fonction en son oppos´e. 4. Corde frapp´ee
a)Maintenant, ce sont lesanqui sont nuls puisqueα(x) = 0. L`a o`u on frappe la corde, il ne peut pas y avoir de noeud de vibration. Pour supprimer l"harmoniquen, il faut interdire le mode o`u il y un noeud enx=sL, il faut donc ques=p/n o`upest un entier pouvant prendre toutes les valeurs de 1 `an-1. b)Le son d"un clavecin est moins riche en harmoniques que le sond"un piano puisque les amplitudes des harmoniques ´elev´es sont plus faibles que pour le piano. 5. Limites du mod`ele
On a oubli´e tout effet dissipatif (perte d"´energie dans la corde et au contact de l"air en particulier). C. ´Etude ´energ´etique
1. a)L"´energie cin´etique de la portion de corde{x,x+ dx}est dec=1
2dmv2(x,t), avec
dm=μd?=μdx`a l"ordre 1. La densit´e lin´eique d"´energie cin´etique de la corde est donc :
e c=1 2μv2=12μ?∂y∂t?
2 b) xx+dxy(x,t)y(x+dx,t) -→T(x,t)-→ T(x+dx,t)
M M i)La puissance des forces ext´erieures s"´ecrit : P ext=Ty(x+ dx,t)v(x+ dx,t)-Ty(x,t)v(x,t) ∂(Tyv) ∂x(x,t)dx.(5) o`uTyest la projection de la tension sur-→ey. ii)Le th´eor`eme de l"´energie cin´etique appliqu´e `a l"´el´ement de corde{x,x+ dx}s"´ecrit :
∂(δEc) ∂t=Pext+Pint OrδEc=ec(x,t)dxdonc :
∂(δEc) ∂t=∂∂t? 12μv2?
dx=∂∂t? 12μ?∂y∂t?
2? dx.(6) 5 On d´eduit des ´equations (6) et (5) l"expression de la puissance des forces int´erieures : P int=∂(δEc) ∂t- Pext ∂t? 12μv2?
dx-∂(Tyv)∂xdx μv∂v
dx. Or, compte tenu de la projection du th´eor`eme de la r´esultante cin´etique sur l"axeOy, les deux
premiers termes de cette ´equation s"annulent. Il reste : P int=-Ty∂v ∂xdx=-Ty∂∂x? ∂y∂t? dx=-Ty∂∂t? ∂y∂x? dx=-1T0T y∂T y∂tdx=-∂∂t? 12T0T2y?
dx iii)La puissance des efforts int´erieurs se met sous la forme :Pint=-∂(δEP) ∂t. La densit´e lin´eique d"´energie potentielle de la corde est : e P=1 2T0T2y=T02?
∂y∂x? 2 2. a)L"´energie totale de la corde est :
E(t) =Ec(t) +Ep(t) =?
L 0? 1 2μ?∂y∂t?
2 (x,t) +12T0?∂y∂x? 2 (x,t)? dx Dans le mode propren,yn(x,t) =cnsin(ωnt+?n)sin(knx). L"´energieEnde la corde est donc : E n(t) =? L 0? 1 2μc2nω2ncos2(ωnt+?n)sin2(knx) +12T0c2nk2nsin2(ωnt+?n)cos2(knx)?
dx L 4μc2nω2ncos2(ωnt+?n) +L4T0c2nk2nsin2(ωnt+?n)
Orμω2n=T0k2n, donc :
E n(t) =L 2c2nT0k2n=n2c2nπ24LT0
b)Il suffit d"´ecrire l"´energie de la corde sous forme d"une int´egrale surxet de permuter l"int´egrale surxet la somme surn. En utilisant l"orthogonalit´e des polynˆomes trigonom´etriques,
on obtient : E=∞?
n=1E n C"est l"´egalit´e de Parseval.
L"´energie de la corde est la somme des ´energies de chaque mode propre. Il n"y a pas de "couplage" entre les diff´erents modes propres. 3.Pour une corde frapp´ee :En=c21
n2π 2T04L.
Pour une corde pinc´ee,En=c?21π2T0
4L. Pour un instrument `a cordes frapp´ees, l"´energie du modenne d´epend pas den, tous les harmoniques participent `a l"´energie de la mˆeme fa¸con cequi explique en partie la richesse du
6 son d"un piano. Pour un instrument `a cordes pinc´ee, l"´energie des harmoniques d´ecroˆıt en1n2:
le son est plus pur, plus "cristallin". D.Influence de la pesanteur
1. a)d?=?
(dx)2+ (dy)2. b)L"´el´ement de corde compris enxetx+ dxest soumis `a son poids et aux deux tensions enxet enx+ dx.`A l"´equilibre : 0 =-→T(x+ dx)--→T(x) +μd?-→g
c)En projection surOx, on obtient (avec les mˆemes notations que pr´ec´edemment): T x(x+ dx)-Tx(x) = 0 d"o`uTx= cste =T0, avecTx(x) =T(x)cosα(x). d)En projection surOy: T y(x+ dx)-Ty(x)-μd?g= 0?dTy dx=μgd? OrTy(x) =T(x)sinα(x) =Tx(x)tanα(x) =T0tanα(x) avec tanα(x) =dy dx. Finalement, avecm=μL, on obtient l"´equation demand´ee : T 0 μgd
2ydx2=?1 +?dydx?
2 (7) 2.δest homog`ene `a une longueur (rapport d"une force et d"une force par unit´e de longueur).
3. a)Soitu(x) =dy
dx. Cette fonction v´erifie l"´equation : du dx=⎷1 +u2 qui s"int`egre en argsh(u) =x δ+cste. Or au pointH(voir figure de l"´enonc´e),uetxsont nuls : la constante est nulle. Il vient :dy
dx= sh?xδ? , qui s"int`egre en :y(x) =δch?xδ? -h-δen tenant compte du fait quey(0) =-h. C"est l"´equation demand´ee. b)La longueur de la corde est : L=? +d -dd?=? +d -dch?x dx= 2δsh?dδ? c)Au pointB(par exemple),y(d) = 0 soit : ch?d = 1 +hδ. D"autre part : sh?dδ? =L2δ. Or : ch
2x-sh2x= 1. On en d´eduit la relation donn´ee dans l"´enonc´e.
d)δ?3415 m eth?15μm. La corde est quasiment horizontale, il est tout `a fait l´egitime de n´egliger le poids devant la tension. E.Prise en compte de la raideur de la corde
7 1.Soit un ´echantillon de solide de longueurLet de sectionS. Quand on exerce la force-→F
dans le sens de la longueur de l"´echantillon, celui-ci s"allonge de Δl, l"allongement relatifΔl
L ´etant proportionnel `a la force surfaciqueF
Stant que l"on reste dans le domaine d"´elasticit´e du solide. Le coefficient de proportionnalit´e est l"inverse dumodule d"Young : Δl L=1EFS.(8)
Le module d"Young est homog`ene `a une pression. Il s"exprime donc en pascals ou en newtons par m`etres carr´es. 2. a)Es"exprime en N.m-2,Sen m2,Ken m et∂2y/∂x2en m-1, donc le membre de
droite de l"´egalit´e s"exprime en N.m -1. Il est bien homog`ene `a un moment de force. b)Le th´eor`eme de la r´esultante cin´etique pour la tranche{x,x+ dx}s"´ecrit (au premier
ordre, sa masse estμdx) : μdx∂2y
∂t2-→ey=-→T(x+ dx,t)--→T(x,t) En projection surOx:
0 =Tx(x+ dx,t)-Tx(x,t)?∂Tx
∂x= 0 doncTx(x,t) ne d´epend que dex. On prend :Tx(x,t) =T0. En projection surOy:
μdx∂2y
∂t2=Ty(x+ dx,t)-Ty(x,t)?μ∂2y∂t2=∂Ty∂x c)SoitMetM?les extr´emit´es du segment ´etudi´e etGson centre de masse. Le th´eor`eme du moment cin´etique enGpour cette portion de corde s"´ecrit : d -→L(G) dt=--→GM??-→T(x+ dx,t)---→GM?-→T(x,t) + Γz(x+ dx,t)-→ez-Γz(x,t)-→ez
OrL(G) est proportionnel au moment d"inertie du segment de corde.Celui-ci est proportionnel `a dmet `a (dx)2. Il est du troisi`eme ordre en dx. On le n´eglige. Sachant que
GM=-dx
2-→ex-∂y∂xdx2-→eyet--→GM?=dx2-→ex+∂y∂xdx2-→ey, on obtient, au premier
ordre en dx: T y(x,t)dx-T0∂y ∂xdx+∂Γz∂xdx= 0 En rempla¸cant Γ
zpar son expression, on obtient : T y-T0∂y ∂x+ESK2∂3y∂x3= 0 d)En ´eliminantTyentre les deux ´equations pr´ec´edentes, on obtient l"´equation de propa-
gation : ∂2y ∂t2-T0∂2y∂x2+ESK2∂4y∂x4= 0 3. Modification des fr´equences propres
8 a)En rempla¸canty(x,t) par la forme donn´ee dans l"´enonc´e, on obtient : 2=T0 μk2+ESK2μk4
b) i)Les conditions aux limites sont les mˆemes. Les fr´equencespropres v´erifient, comme pour la corde sans raideur :knL=nπo`unet un entier positif. On reporte dans l"´equation obtenue pr´ec´edemment et on obtient (avecT0μc2= 1) : n=nπc L? 1 +ESK2T0n
2π2L2?
1/2 ou encore : f n=nc 2L? 1 +ESK2T0n
2π2L2?
1/2 C"est bien l"expression demand´ee en posant :
B=ESK2
T0π
2L2 Les fr´equences propres de la corde avec raideur ne sont plusmultiples d"une fr´equence fondamentale : le son n"est pas harmonique. ii) nfn 0 2020
4040
60
avec raideur sans raideur iii)On cherchensolution de⎷ 1 +Bn2=12⎷2, ce qui donne :n= 18.
9 Deuxi`eme partieMembranes vibrantes - Instruments `apercussion A. ´Equation de propagation de la d´eformation
1.Projections de la r´esultante des forces de tension :
SurOx:
dFx=?Tcosα?(x+ dx,y,t)dy-?Tcosα?(x,y,t)dy?∂(Tcosα) ∂x(x,y,t)dxdy SurOy:
dFy=?Tcosβ?(x,y+ dy,t)dx-?Tcosβ?(x,y,t)dx?∂(Tcosβ) ∂y(x,y,t)dydx SurOz:
dFx=?Tsinα?(x+ dx,y,t)dy-?Tsinα?(x,y,t)dy +?Tsinβ?(x,y+ dy,t)dx-?Tsinβ?(x,y,t)dx ∂(Tsinα) Commeαetβsont faibles et queTest uniforme, il vient : dFx?0 et dFy?0. D"autre part, α?∂z
∂xetβ?∂z∂yau premier ordre. On obtient alors : d FT=T?∂2z
∂x2+∂2z∂y2? dxdy-→ez 2.Le th´eor`eme de la r´esultante cin´etique appliqu´e `a cet´el´ement de surface s"´ecrit :
dm∂2z ∂t2-→ez= d-→FT puisqu"on n´eglige le poids. Avec dm=σdxdy, on obtient, apr`es simplification par dxdy: 2z ∂t2=Tσ? ∂2z∂x2+∂2z∂y2? 3. a)C"est une ´equation de d"Alembert `a deux dimensions. La c´el´erit´e des ondes est :
c=? T b)Ts"exprime en N.m-1donc en kg.s-2,σen kg.m-2etcen m.s-1. On arrive donc au syst`eme suivant :???a+b= 0 -2a=-1 -2b= 1 ce qui donne :a= 1/2 etb=-1/2, soit :c=? T 10 c)c= 107 m.s-1. B.Modes propres d"une membrane circulaire
1.z(r,θ,t) v´erifie l"´equation :∂2z
∂t2=c2Δz. On cherchez(r,θ,t) sous la forme :z(r,θ,t) = F(r)G(θ)H(t). En utilisant l"expression du laplacien en coordonn´ees polaires donn´e par l"´enonc´e,
on obtient : F(r)G(θ)H??(t) =c2?
F ??(r)G(θ)H(t) +1 rF?(r)G(θ)H(t) +1r2F(r)G??(θ)H(t)? Aux points o`uF(r)G(θ)H(t) ne s"annule pas, on a : H ??(t) H(t)=c2?F??(r)F(r)+1rF
?(r)F(r)+1r2G??(θ)G(θ)? r,θettsont des variables ind´ependantes donc les deux termes de cette ´egalit´e sont constants.
On a donc :
H ??(t) =KH(t) o`uKest une constante. SiKest positive,H(t) diverge ou tend vers 0 quandttend vers l"infini : le premier cas n"a aucune r´ealit´e physique et le second aucun int´erˆet. SiK= 0, le probl`eme est
le mˆeme. On choisit doncK <0. On poseK=-ω2. 2. a)On en d´eduit :
quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18
α(x) =ηh
(η-1)L(L-x) pourLη< x < L o`uηest un nombre entier positif (´egal `a 2 ou 5 dans les exemplespropos´es). La d´eriv´ee de la fonction ˜αest ´egale, sur une p´eriode, `a : ?˜α?(x) =ηhLpour 0< x ˜α?(x) =-ηh
(η-1)LpourLη< x <2L-Lη ˜α?(x) =ηh
Lpour 2L-Lη< x <2L
Elle est paire donc seuls ses coefficientsan(en cosinus) sont non nuls. Ils sont proportionnels `a sin?nπ donc nuls pournmultiple deη. Les coefficients de Fourier de la fonction ˜αse calculent simplement `a partir de ceux de sa d´eriv´ee par une int´egration par partie : 2L 0 ˜α?(x)cosnπx
Ldx=? ˜α(x)cosnπxL?
2L 0+nL? 2L 0 ˜α(x)sinnπxLdx=nL?
2L 0 ˜α(x)sinnπxLdx
Donc si un coefficient en cosinus de la d´eriv´ee est nul, le coefficient en sinus correspondant
de la fonction est nul aussi : les harmoniques multiples deηsont absents, ce que l"on voit bien sur les spectres pr´esent´es. 4 Pour la corde pinc´ee en son milieu, on peut donner un argument plus simple : il n"y a que des harmoniques impairs parce que une translation d"unedemi-p´eriode (c"est-`a-dire deL) transforme la fonction en son oppos´e. 4. Corde frapp´ee
a)Maintenant, ce sont lesanqui sont nuls puisqueα(x) = 0. L`a o`u on frappe la corde, il ne peut pas y avoir de noeud de vibration. Pour supprimer l"harmoniquen, il faut interdire le mode o`u il y un noeud enx=sL, il faut donc ques=p/n o`upest un entier pouvant prendre toutes les valeurs de 1 `an-1. b)Le son d"un clavecin est moins riche en harmoniques que le sond"un piano puisque les amplitudes des harmoniques ´elev´es sont plus faibles que pour le piano. 5. Limites du mod`ele
On a oubli´e tout effet dissipatif (perte d"´energie dans la corde et au contact de l"air en particulier). C. ´Etude ´energ´etique
1. a)L"´energie cin´etique de la portion de corde{x,x+ dx}est dec=1
2dmv2(x,t), avec
dm=μd?=μdx`a l"ordre 1. La densit´e lin´eique d"´energie cin´etique de la corde est donc :
e c=1 2μv2=12μ?∂y∂t?
2 b) xx+dxy(x,t)y(x+dx,t) -→T(x,t)-→ T(x+dx,t)
M M i)La puissance des forces ext´erieures s"´ecrit : P ext=Ty(x+ dx,t)v(x+ dx,t)-Ty(x,t)v(x,t) ∂(Tyv) ∂x(x,t)dx.(5) o`uTyest la projection de la tension sur-→ey. ii)Le th´eor`eme de l"´energie cin´etique appliqu´e `a l"´el´ement de corde{x,x+ dx}s"´ecrit :
∂(δEc) ∂t=Pext+Pint OrδEc=ec(x,t)dxdonc :
∂(δEc) ∂t=∂∂t? 12μv2?
dx=∂∂t? 12μ?∂y∂t?
2? dx.(6) 5 On d´eduit des ´equations (6) et (5) l"expression de la puissance des forces int´erieures : P int=∂(δEc) ∂t- Pext ∂t? 12μv2?
dx-∂(Tyv)∂xdx μv∂v
dx. Or, compte tenu de la projection du th´eor`eme de la r´esultante cin´etique sur l"axeOy, les deux
premiers termes de cette ´equation s"annulent. Il reste : P int=-Ty∂v ∂xdx=-Ty∂∂x? ∂y∂t? dx=-Ty∂∂t? ∂y∂x? dx=-1T0T y∂T y∂tdx=-∂∂t? 12T0T2y?
dx iii)La puissance des efforts int´erieurs se met sous la forme :Pint=-∂(δEP) ∂t. La densit´e lin´eique d"´energie potentielle de la corde est : e P=1 2T0T2y=T02?
∂y∂x? 2 2. a)L"´energie totale de la corde est :
E(t) =Ec(t) +Ep(t) =?
L 0? 1 2μ?∂y∂t?
2 (x,t) +12T0?∂y∂x? 2 (x,t)? dx Dans le mode propren,yn(x,t) =cnsin(ωnt+?n)sin(knx). L"´energieEnde la corde est donc : E n(t) =? L 0? 1 2μc2nω2ncos2(ωnt+?n)sin2(knx) +12T0c2nk2nsin2(ωnt+?n)cos2(knx)?
dx L 4μc2nω2ncos2(ωnt+?n) +L4T0c2nk2nsin2(ωnt+?n)
Orμω2n=T0k2n, donc :
E n(t) =L 2c2nT0k2n=n2c2nπ24LT0
b)Il suffit d"´ecrire l"´energie de la corde sous forme d"une int´egrale surxet de permuter l"int´egrale surxet la somme surn. En utilisant l"orthogonalit´e des polynˆomes trigonom´etriques,
on obtient : E=∞?
n=1E n C"est l"´egalit´e de Parseval.
L"´energie de la corde est la somme des ´energies de chaque mode propre. Il n"y a pas de "couplage" entre les diff´erents modes propres. 3.Pour une corde frapp´ee :En=c21
n2π 2T04L.
Pour une corde pinc´ee,En=c?21π2T0
4L. Pour un instrument `a cordes frapp´ees, l"´energie du modenne d´epend pas den, tous les harmoniques participent `a l"´energie de la mˆeme fa¸con cequi explique en partie la richesse du
6 son d"un piano. Pour un instrument `a cordes pinc´ee, l"´energie des harmoniques d´ecroˆıt en1n2:
le son est plus pur, plus "cristallin". D.Influence de la pesanteur
1. a)d?=?
(dx)2+ (dy)2. b)L"´el´ement de corde compris enxetx+ dxest soumis `a son poids et aux deux tensions enxet enx+ dx.`A l"´equilibre : 0 =-→T(x+ dx)--→T(x) +μd?-→g
c)En projection surOx, on obtient (avec les mˆemes notations que pr´ec´edemment): T x(x+ dx)-Tx(x) = 0 d"o`uTx= cste =T0, avecTx(x) =T(x)cosα(x). d)En projection surOy: T y(x+ dx)-Ty(x)-μd?g= 0?dTy dx=μgd? OrTy(x) =T(x)sinα(x) =Tx(x)tanα(x) =T0tanα(x) avec tanα(x) =dy dx. Finalement, avecm=μL, on obtient l"´equation demand´ee : T 0 μgd
2ydx2=?1 +?dydx?
2 (7) 2.δest homog`ene `a une longueur (rapport d"une force et d"une force par unit´e de longueur).
3. a)Soitu(x) =dy
dx. Cette fonction v´erifie l"´equation : du dx=⎷1 +u2 qui s"int`egre en argsh(u) =x δ+cste. Or au pointH(voir figure de l"´enonc´e),uetxsont nuls : la constante est nulle. Il vient :dy
dx= sh?xδ? , qui s"int`egre en :y(x) =δch?xδ? -h-δen tenant compte du fait quey(0) =-h. C"est l"´equation demand´ee. b)La longueur de la corde est : L=? +d -dd?=? +d -dch?x dx= 2δsh?dδ? c)Au pointB(par exemple),y(d) = 0 soit : ch?d = 1 +hδ. D"autre part : sh?dδ? =L2δ. Or : ch
2x-sh2x= 1. On en d´eduit la relation donn´ee dans l"´enonc´e.
d)δ?3415 m eth?15μm. La corde est quasiment horizontale, il est tout `a fait l´egitime de n´egliger le poids devant la tension. E.Prise en compte de la raideur de la corde
7 1.Soit un ´echantillon de solide de longueurLet de sectionS. Quand on exerce la force-→F
dans le sens de la longueur de l"´echantillon, celui-ci s"allonge de Δl, l"allongement relatifΔl
L ´etant proportionnel `a la force surfaciqueF
Stant que l"on reste dans le domaine d"´elasticit´e du solide. Le coefficient de proportionnalit´e est l"inverse dumodule d"Young : Δl L=1EFS.(8)
Le module d"Young est homog`ene `a une pression. Il s"exprime donc en pascals ou en newtons par m`etres carr´es. 2. a)Es"exprime en N.m-2,Sen m2,Ken m et∂2y/∂x2en m-1, donc le membre de
droite de l"´egalit´e s"exprime en N.m -1. Il est bien homog`ene `a un moment de force. b)Le th´eor`eme de la r´esultante cin´etique pour la tranche{x,x+ dx}s"´ecrit (au premier
ordre, sa masse estμdx) : μdx∂2y
∂t2-→ey=-→T(x+ dx,t)--→T(x,t) En projection surOx:
0 =Tx(x+ dx,t)-Tx(x,t)?∂Tx
∂x= 0 doncTx(x,t) ne d´epend que dex. On prend :Tx(x,t) =T0. En projection surOy:
μdx∂2y
∂t2=Ty(x+ dx,t)-Ty(x,t)?μ∂2y∂t2=∂Ty∂x c)SoitMetM?les extr´emit´es du segment ´etudi´e etGson centre de masse. Le th´eor`eme du moment cin´etique enGpour cette portion de corde s"´ecrit : d -→L(G) dt=--→GM??-→T(x+ dx,t)---→GM?-→T(x,t) + Γz(x+ dx,t)-→ez-Γz(x,t)-→ez
OrL(G) est proportionnel au moment d"inertie du segment de corde.Celui-ci est proportionnel `a dmet `a (dx)2. Il est du troisi`eme ordre en dx. On le n´eglige. Sachant que
GM=-dx
2-→ex-∂y∂xdx2-→eyet--→GM?=dx2-→ex+∂y∂xdx2-→ey, on obtient, au premier
ordre en dx: T y(x,t)dx-T0∂y ∂xdx+∂Γz∂xdx= 0 En rempla¸cant Γ
zpar son expression, on obtient : T y-T0∂y ∂x+ESK2∂3y∂x3= 0 d)En ´eliminantTyentre les deux ´equations pr´ec´edentes, on obtient l"´equation de propa-
gation : ∂2y ∂t2-T0∂2y∂x2+ESK2∂4y∂x4= 0 3. Modification des fr´equences propres
8 a)En rempla¸canty(x,t) par la forme donn´ee dans l"´enonc´e, on obtient : 2=T0 μk2+ESK2μk4
b) i)Les conditions aux limites sont les mˆemes. Les fr´equencespropres v´erifient, comme pour la corde sans raideur :knL=nπo`unet un entier positif. On reporte dans l"´equation obtenue pr´ec´edemment et on obtient (avecT0μc2= 1) : n=nπc L? 1 +ESK2T0n
2π2L2?
1/2 ou encore : f n=nc 2L? 1 +ESK2T0n
2π2L2?
1/2 C"est bien l"expression demand´ee en posant :
B=ESK2
T0π
2L2 Les fr´equences propres de la corde avec raideur ne sont plusmultiples d"une fr´equence fondamentale : le son n"est pas harmonique. ii) nfn 0 2020
4040
60
avec raideur sans raideur iii)On cherchensolution de⎷ 1 +Bn2=12⎷2, ce qui donne :n= 18.
9 Deuxi`eme partieMembranes vibrantes - Instruments `apercussion A. ´Equation de propagation de la d´eformation
1.Projections de la r´esultante des forces de tension :
SurOx:
dFx=?Tcosα?(x+ dx,y,t)dy-?Tcosα?(x,y,t)dy?∂(Tcosα) ∂x(x,y,t)dxdy SurOy:
dFy=?Tcosβ?(x,y+ dy,t)dx-?Tcosβ?(x,y,t)dx?∂(Tcosβ) ∂y(x,y,t)dydx SurOz:
dFx=?Tsinα?(x+ dx,y,t)dy-?Tsinα?(x,y,t)dy +?Tsinβ?(x,y+ dy,t)dx-?Tsinβ?(x,y,t)dx ∂(Tsinα) Commeαetβsont faibles et queTest uniforme, il vient : dFx?0 et dFy?0. D"autre part, α?∂z
∂xetβ?∂z∂yau premier ordre. On obtient alors : d FT=T?∂2z
∂x2+∂2z∂y2? dxdy-→ez 2.Le th´eor`eme de la r´esultante cin´etique appliqu´e `a cet´el´ement de surface s"´ecrit :
dm∂2z ∂t2-→ez= d-→FT puisqu"on n´eglige le poids. Avec dm=σdxdy, on obtient, apr`es simplification par dxdy: 2z ∂t2=Tσ? ∂2z∂x2+∂2z∂y2? 3. a)C"est une ´equation de d"Alembert `a deux dimensions. La c´el´erit´e des ondes est :
c=? T b)Ts"exprime en N.m-1donc en kg.s-2,σen kg.m-2etcen m.s-1. On arrive donc au syst`eme suivant :???a+b= 0 -2a=-1 -2b= 1 ce qui donne :a= 1/2 etb=-1/2, soit :c=? T 10 c)c= 107 m.s-1. B.Modes propres d"une membrane circulaire
1.z(r,θ,t) v´erifie l"´equation :∂2z
∂t2=c2Δz. On cherchez(r,θ,t) sous la forme :z(r,θ,t) = F(r)G(θ)H(t). En utilisant l"expression du laplacien en coordonn´ees polaires donn´e par l"´enonc´e,
on obtient : F(r)G(θ)H??(t) =c2?
F ??(r)G(θ)H(t) +1 rF?(r)G(θ)H(t) +1r2F(r)G??(θ)H(t)? Aux points o`uF(r)G(θ)H(t) ne s"annule pas, on a : H ??(t) H(t)=c2?F??(r)F(r)+1rF
?(r)F(r)+1r2G??(θ)G(θ)? r,θettsont des variables ind´ependantes donc les deux termes de cette ´egalit´e sont constants.
On a donc :
H ??(t) =KH(t) o`uKest une constante. SiKest positive,H(t) diverge ou tend vers 0 quandttend vers l"infini : le premier cas n"a aucune r´ealit´e physique et le second aucun int´erˆet. SiK= 0, le probl`eme est
le mˆeme. On choisit doncK <0. On poseK=-ω2. 2. a)On en d´eduit :
quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18
˜α?(x) =-ηh
(η-1)LpourLη< x <2L-Lη˜α?(x) =ηh
Lpour 2L-Lη< x <2L
Elle est paire donc seuls ses coefficientsan(en cosinus) sont non nuls. Ils sont proportionnels `a sin?nπ donc nuls pournmultiple deη. Les coefficients de Fourier de la fonction ˜αse calculent simplement `a partir de ceux de sa d´eriv´ee par une int´egration par partie : 2L 0˜α?(x)cosnπx
Ldx=?˜α(x)cosnπxL?
2L 0+nL? 2L 0˜α(x)sinnπxLdx=nL?
2L 0˜α(x)sinnπxLdx
Donc si un coefficient en cosinus de la d´eriv´ee est nul, le coefficient en sinus correspondant
de la fonction est nul aussi : les harmoniques multiples deηsont absents, ce que l"on voit bien sur les spectres pr´esent´es. 4 Pour la corde pinc´ee en son milieu, on peut donner un argument plus simple : il n"y a que des harmoniques impairs parce que une translation d"unedemi-p´eriode (c"est-`a-dire deL) transforme la fonction en son oppos´e.4. Corde frapp´ee
a)Maintenant, ce sont lesanqui sont nuls puisqueα(x) = 0. L`a o`u on frappe la corde, il ne peut pas y avoir de noeud de vibration. Pour supprimer l"harmoniquen, il faut interdire le mode o`u il y un noeud enx=sL, il faut donc ques=p/n o`upest un entier pouvant prendre toutes les valeurs de 1 `an-1. b)Le son d"un clavecin est moins riche en harmoniques que le sond"un piano puisque les amplitudes des harmoniques ´elev´es sont plus faibles que pour le piano.5. Limites du mod`ele
On a oubli´e tout effet dissipatif (perte d"´energie dans la corde et au contact de l"air en particulier). C.´Etude ´energ´etique
1. a)L"´energie cin´etique de la portion de corde{x,x+ dx}est dec=1
2dmv2(x,t), avec
dm=μd?=μdx`a l"ordre 1. La densit´e lin´eique d"´energie cin´etique de la corde est donc :
e c=12μv2=12μ?∂y∂t?
2 b) xx+dxy(x,t)y(x+dx,t) -→T(x,t)-→T(x+dx,t)
M M i)La puissance des forces ext´erieures s"´ecrit : P ext=Ty(x+ dx,t)v(x+ dx,t)-Ty(x,t)v(x,t) ∂(Tyv) ∂x(x,t)dx.(5) o`uTyest la projection de la tension sur-→ey.ii)Le th´eor`eme de l"´energie cin´etique appliqu´e `a l"´el´ement de corde{x,x+ dx}s"´ecrit :
∂(δEc) ∂t=Pext+PintOrδEc=ec(x,t)dxdonc :
∂(δEc) ∂t=∂∂t?12μv2?
dx=∂∂t?12μ?∂y∂t?
2? dx.(6) 5 On d´eduit des ´equations (6) et (5) l"expression de la puissance des forces int´erieures : P int=∂(δEc) ∂t- Pext ∂t?12μv2?
dx-∂(Tyv)∂xdxμv∂v
dx.Or, compte tenu de la projection du th´eor`eme de la r´esultante cin´etique sur l"axeOy, les deux
premiers termes de cette ´equation s"annulent. Il reste : P int=-Ty∂v ∂xdx=-Ty∂∂x? ∂y∂t? dx=-Ty∂∂t? ∂y∂x? dx=-1T0T y∂T y∂tdx=-∂∂t?12T0T2y?
dx iii)La puissance des efforts int´erieurs se met sous la forme :Pint=-∂(δEP) ∂t. La densit´e lin´eique d"´energie potentielle de la corde est : e P=12T0T2y=T02?
∂y∂x? 22. a)L"´energie totale de la corde est :
E(t) =Ec(t) +Ep(t) =?
L 0? 12μ?∂y∂t?
2 (x,t) +12T0?∂y∂x? 2 (x,t)? dx Dans le mode propren,yn(x,t) =cnsin(ωnt+?n)sin(knx). L"´energieEnde la corde est donc : E n(t) =? L 0? 12μc2nω2ncos2(ωnt+?n)sin2(knx) +12T0c2nk2nsin2(ωnt+?n)cos2(knx)?
dx L4μc2nω2ncos2(ωnt+?n) +L4T0c2nk2nsin2(ωnt+?n)
Orμω2n=T0k2n, donc :
E n(t) =L2c2nT0k2n=n2c2nπ24LT0
b)Il suffit d"´ecrire l"´energie de la corde sous forme d"une int´egrale surxet de permuterl"int´egrale surxet la somme surn. En utilisant l"orthogonalit´e des polynˆomes trigonom´etriques,
on obtient :E=∞?
n=1E nC"est l"´egalit´e de Parseval.
L"´energie de la corde est la somme des ´energies de chaque mode propre. Il n"y a pas de "couplage" entre les diff´erents modes propres.3.Pour une corde frapp´ee :En=c21
n2π2T04L.
Pour une corde pinc´ee,En=c?21π2T0
4L. Pour un instrument `a cordes frapp´ees, l"´energie du modenne d´epend pas den, tous lesharmoniques participent `a l"´energie de la mˆeme fa¸con cequi explique en partie la richesse du
6son d"un piano. Pour un instrument `a cordes pinc´ee, l"´energie des harmoniques d´ecroˆıt en1n2:
le son est plus pur, plus "cristallin".D.Influence de la pesanteur
1. a)d?=?
(dx)2+ (dy)2. b)L"´el´ement de corde compris enxetx+ dxest soumis `a son poids et aux deux tensions enxet enx+ dx.`A l"´equilibre :0 =-→T(x+ dx)--→T(x) +μd?-→g
c)En projection surOx, on obtient (avec les mˆemes notations que pr´ec´edemment): T x(x+ dx)-Tx(x) = 0 d"o`uTx= cste =T0, avecTx(x) =T(x)cosα(x). d)En projection surOy: T y(x+ dx)-Ty(x)-μd?g= 0?dTy dx=μgd? OrTy(x) =T(x)sinα(x) =Tx(x)tanα(x) =T0tanα(x) avec tanα(x) =dy dx. Finalement, avecm=μL, on obtient l"´equation demand´ee : T 0μgd
2ydx2=?1 +?dydx?
2 (7)2.δest homog`ene `a une longueur (rapport d"une force et d"une force par unit´e de longueur).
3. a)Soitu(x) =dy
dx. Cette fonction v´erifie l"´equation : du dx=⎷1 +u2 qui s"int`egre en argsh(u) =x δ+cste. Or au pointH(voir figure de l"´enonc´e),uetxsont nuls : la constante est nulle.Il vient :dy
dx= sh?xδ? , qui s"int`egre en :y(x) =δch?xδ? -h-δen tenant compte du fait quey(0) =-h. C"est l"´equation demand´ee. b)La longueur de la corde est : L=? +d -dd?=? +d -dch?x dx= 2δsh?dδ? c)Au pointB(par exemple),y(d) = 0 soit : ch?d = 1 +hδ. D"autre part : sh?dδ? =L2δ.Or : ch
2x-sh2x= 1. On en d´eduit la relation donn´ee dans l"´enonc´e.
d)δ?3415 m eth?15μm. La corde est quasiment horizontale, il est tout `a fait l´egitime de n´egliger le poids devant la tension.E.Prise en compte de la raideur de la corde
71.Soit un ´echantillon de solide de longueurLet de sectionS. Quand on exerce la force-→F
dans le sens de la longueur de l"´echantillon, celui-ci s"allonge de Δl, l"allongement relatifΔl
L´etant proportionnel `a la force surfaciqueF
Stant que l"on reste dans le domaine d"´elasticit´e du solide. Le coefficient de proportionnalit´e est l"inverse dumodule d"Young : ΔlL=1EFS.(8)
Le module d"Young est homog`ene `a une pression. Il s"exprime donc en pascals ou en newtons par m`etres carr´es.2. a)Es"exprime en N.m-2,Sen m2,Ken m et∂2y/∂x2en m-1, donc le membre de
droite de l"´egalit´e s"exprime en N.m -1. Il est bien homog`ene `a un moment de force.b)Le th´eor`eme de la r´esultante cin´etique pour la tranche{x,x+ dx}s"´ecrit (au premier
ordre, sa masse estμdx) :μdx∂2y
∂t2-→ey=-→T(x+ dx,t)--→T(x,t)En projection surOx:
0 =Tx(x+ dx,t)-Tx(x,t)?∂Tx
∂x= 0 doncTx(x,t) ne d´epend que dex. On prend :Tx(x,t) =T0.En projection surOy:
μdx∂2y
∂t2=Ty(x+ dx,t)-Ty(x,t)?μ∂2y∂t2=∂Ty∂x c)SoitMetM?les extr´emit´es du segment ´etudi´e etGson centre de masse. Le th´eor`eme du moment cin´etique enGpour cette portion de corde s"´ecrit : d -→L(G)dt=--→GM??-→T(x+ dx,t)---→GM?-→T(x,t) + Γz(x+ dx,t)-→ez-Γz(x,t)-→ez
OrL(G) est proportionnel au moment d"inertie du segment de corde.Celui-ci est proportionnel `a dmet `a (dx)2. Il est du troisi`eme ordre en dx. On le n´eglige.Sachant que
GM=-dx
2-→ex-∂y∂xdx2-→eyet--→GM?=dx2-→ex+∂y∂xdx2-→ey, on obtient, au premier
ordre en dx: T y(x,t)dx-T0∂y ∂xdx+∂Γz∂xdx= 0En rempla¸cant Γ
zpar son expression, on obtient : T y-T0∂y ∂x+ESK2∂3y∂x3= 0d)En ´eliminantTyentre les deux ´equations pr´ec´edentes, on obtient l"´equation de propa-
gation : ∂2y ∂t2-T0∂2y∂x2+ESK2∂4y∂x4= 03. Modification des fr´equences propres
8 a)En rempla¸canty(x,t) par la forme donn´ee dans l"´enonc´e, on obtient : 2=T0μk2+ESK2μk4
b) i)Les conditions aux limites sont les mˆemes. Les fr´equencespropres v´erifient, comme pour la corde sans raideur :knL=nπo`unet un entier positif. On reporte dans l"´equation obtenue pr´ec´edemment et on obtient (avecT0μc2= 1) : n=nπc L?1 +ESK2T0n
2π2L2?
1/2 ou encore : f n=nc 2L?1 +ESK2T0n
2π2L2?
1/2C"est bien l"expression demand´ee en posant :
B=ESK2
T0π
2L2 Les fr´equences propres de la corde avec raideur ne sont plusmultiples d"une fr´equence fondamentale : le son n"est pas harmonique. ii) nfn 0 20204040
60
avec raideur sans raideur iii)On cherchensolution de⎷
1 +Bn2=12⎷2, ce qui donne :n= 18.
9 Deuxi`eme partieMembranes vibrantes - Instruments `apercussion A.´Equation de propagation de la d´eformation
1.Projections de la r´esultante des forces de tension :
SurOx:
dFx=?Tcosα?(x+ dx,y,t)dy-?Tcosα?(x,y,t)dy?∂(Tcosα) ∂x(x,y,t)dxdySurOy:
dFy=?Tcosβ?(x,y+ dy,t)dx-?Tcosβ?(x,y,t)dx?∂(Tcosβ) ∂y(x,y,t)dydxSurOz:
dFx=?Tsinα?(x+ dx,y,t)dy-?Tsinα?(x,y,t)dy +?Tsinβ?(x,y+ dy,t)dx-?Tsinβ?(x,y,t)dx ∂(Tsinα) Commeαetβsont faibles et queTest uniforme, il vient : dFx?0 et dFy?0. D"autre part,α?∂z
∂xetβ?∂z∂yau premier ordre. On obtient alors : dFT=T?∂2z
∂x2+∂2z∂y2? dxdy-→ez2.Le th´eor`eme de la r´esultante cin´etique appliqu´e `a cet´el´ement de surface s"´ecrit :
dm∂2z ∂t2-→ez= d-→FT puisqu"on n´eglige le poids. Avec dm=σdxdy, on obtient, apr`es simplification par dxdy: 2z ∂t2=Tσ? ∂2z∂x2+∂2z∂y2?3. a)C"est une ´equation de d"Alembert `a deux dimensions. La c´el´erit´e des ondes est :
c=? T b)Ts"exprime en N.m-1donc en kg.s-2,σen kg.m-2etcen m.s-1. On arrive donc au syst`eme suivant :???a+b= 0 -2a=-1 -2b= 1 ce qui donne :a= 1/2 etb=-1/2, soit :c=? T 10 c)c= 107 m.s-1.B.Modes propres d"une membrane circulaire
1.z(r,θ,t) v´erifie l"´equation :∂2z
∂t2=c2Δz. On cherchez(r,θ,t) sous la forme :z(r,θ,t) =F(r)G(θ)H(t). En utilisant l"expression du laplacien en coordonn´ees polaires donn´e par l"´enonc´e,
on obtient :F(r)G(θ)H??(t) =c2?
F ??(r)G(θ)H(t) +1 rF?(r)G(θ)H(t) +1r2F(r)G??(θ)H(t)? Aux points o`uF(r)G(θ)H(t) ne s"annule pas, on a : H ??(t)H(t)=c2?F??(r)F(r)+1rF
?(r)F(r)+1r2G??(θ)G(θ)?r,θettsont des variables ind´ependantes donc les deux termes de cette ´egalit´e sont constants.
On a donc :
H ??(t) =KH(t) o`uKest une constante. SiKest positive,H(t) diverge ou tend vers 0 quandttend vers l"infini :le premier cas n"a aucune r´ealit´e physique et le second aucun int´erˆet. SiK= 0, le probl`eme est
le mˆeme. On choisit doncK <0. On poseK=-ω2.