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NOM : DERIVATION 1ère S

Exercice 1

Dériver les fonctions suivantes :

f(x) =x2 g(x) = 3x42x3+ 5x4h(x) =px 11x k(x) =x+ 5x

2+ 1D. LE FUR 1/??

NOM : DERIVATION 1ère S

Exercice 2

Dériver les fonctions suivantes :

f(x) = 4x23x+ 1 g(x) = (2x+ 3)(3x7)h(x) =2x+ 43x1pourx6=13 k(x) = (2x2+ 3x+ 1)2D. LE FUR 2/??

NOM : DERIVATION 1ère S

Exercice 3

On considère la fonction définie parf(x) =x2x1. On note(Cf)sa courbe représentative.

On considère également la fonctiongdéfinie parg(x) = 3x. On note(D)sa représentation graphique.

1)Calculer la dérivéef0def.

2)Déterminer une équation de la tangente(T)à la courbe(Cf)au point d"abscissex0= 2.

3)Résoudre par le calcul l"équationg(x) =f(x).

4)Préciser les coordonnées des points d"intersections de(Cf)et(D).

5)Tracer sur un même repère les droites(T),(D)et la courbe(Cf).

IllustrationO~

i~ j(Cf)(D)A

65432101234563210123456789

D. LE FUR 3/??

NOM : DERIVATION 1ère S

Exercice 4

Soitfla fonction définie surRnf1gpar :f(x) =2x+ 3x1.

On note(Cf)sa courbe représentative.

1)Calculer la dérivéef0def.

2)SoitAle point d"intersection de(Cf)avec l"axe des abscisses.

Calculer les coordonnées deA, puis une équation de la tangente(TA)à la courbe(Cf)au pointA.

3)SoitBle point d"intersection de(Cf)avec l"axe des ordonnées.

Calculer les coordonnées deB, puis une équation de la tangente(TB)à la courbe(Cf)au pointB.

4)Tracer sur un même repère(TA),(TB)et(Cf).Illustration

O~ i~ j(Cf)A B 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 9 8 7 6 5 4

3210123456789

D. LE FUR 4/??

NOM : DERIVATION 1ère S

Exercice 5

On considère les deux fonctionsfetgdéfinies surRpar : f(x) =x23x g(x) =x33x

1)Etude def.

a)Calculer la dérivéef0def. b)Etudier le signe de la dérivéef0. c)En déduire le tableau de variations de la fonctionf.

2)Etude deg.

a)Calculer la dérivéeg0deg. b)Etudier le signe de la dérivéeg0. c)En déduire le tableau de variations de la fonctiong.

3)Comparaison des deux fonctions.

a)Graphiques.

i.Tracer soigneusement, dans un même repère, les courbes(Cf)et(Cg)représentant les fonctionsf

etg. On se limitera à l"intervalle[2 ; 2]. ii.A l"aide du graphique, essayer de répondre aux questions suivantes : A. Combien y a-t-il de points d"intersections entre (Cf)et(Cg)? B.

Quelles sont leurs coordonnées ?

b)Pour avoir plus de précision, on se propose de retrouver ces résultats par le calcul. i.Résoudre l"équationf(x) =g(x).

ii.En déduire, par calcul, les coordonnées des pointsAetBd"intersection de(Cf)et(Cg).Illustration

O~ i~ j(Cf)(Cg) 2 1 0 1 2 3

210123

D. LE FUR 5/??

NOM : DERIVATION 1ère S

Exercice 6

On considère la fonctionfdéfinie parf(x) =xx

2+ 1surR.

1)Démontrer quefest une fonction paire.

2)Calculer la dérivéef0def.

3)Quel est le signe du dénominateur def0(x)?

4)Résoudre l"inéquationf0(x)>0.

5)Dresser le tableau de variations de la fonctionfen précisant la valeurMde son maximum et la valeurm

de son minimum.

6)Tracer soigneusement la représentation graphique de la fonctionfsur l"intervalle[4 ; 4].

IllustrationO~

i~ j(Cf)43210123421012

D. LE FUR 6/??

NOM : DERIVATION 1ère S

Exercice 7

On considère les deux fonctionsfetgdéfinies surRnf1gpar : f(x) =x1g(x) =x2x1

1)Etude def.

a)Calculer la dérivéef0def. b)Etudier le signe de la dérivéef0. c)En déduire le tableau de variations de la fonctionf.

2)Etude deg.

a)Calculer la dérivéeg0deg. b)Etudier le signe de la dérivéeg0. c)En déduire le tableau de variations de la fonctiong.

3)Comparaison des deux fonctions.

a)Graphiques.

i.Tracer soigneusement, dans un même repère, les courbes(Cf)et(Cg)représentant les fonctionsf

etg. On se limitera à l"intervalle[3 ; 5]. ii.A l"aide du graphique, essayer de répondre aux questions suivantes : A. Combien y a-t-il de point(s) d"intersection(s) entre (Cf)et(Cg)? B.

Quelles sont leurs coordonnées ?

b)Pour avoir plus de précision, on se propose de retrouver ces résultats par le calcul. i.Résoudre l"équationf(x) =g(x). ii.En déduire, par calcul, les coordonnées des pointsAetBd"intersection de(Cf)et(Cg).

IllustrationO~

i~ j(Cf)(Cg) 3 2 1 0 1 2 3 4 5 4

321012345678

D. LE FUR 7/??

NOM : DERIVATION 1ère S

Exercice 8

On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x34x2+ 4x.

1)Calculer la dérivéef0def.

2)Etudier le signe de la dérivéef0.

3)En déduire le tableau de variations de la fonctionf. On précisera les éventuels extremums.

4)Tracer soigneusement la représentation graphique de la fonctionfsur l"intervalle[1 ; 3].

5)Déterminer par le calcul les coordonnées des points d"intersection de(Cf)avec l"axe des abscisses.

IllustrationO~

i~ j(Cf)101238765432101234

D. LE FUR 8/??

NOM : DERIVATION 1ère S

Exercice 9

1)Dresser le tableau de variations de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x23x+ 2.

2)Résoudre l"équationf(x) = 0.

IllustrationO~

i~ j(Cf)210123451012345678910

D. LE FUR 9/??

NOM : DERIVATION 1ère S

Exercice 10

On considère la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x33x3.

On note(Cf)sa représentation graphique.

1)Calculer la dérivéef0defpuis étudier son signe.

2)Dresser le tableau de variations de la fonctionf.

3)Déterminer une équation de la tangente(T)à(Cf)au point d"abscisse0.

4)Tracer(T)et(Cf)dans un même repère.

5)Démontrer que l"équationf(x) = 0admet une solution uniquedans l"intervalle[2 ; 3].

6)Donner une valeur approchée de, par défaut, à101près.Illustration

O~ i~ j(Cf)A 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

8765432101234

D. LE FUR 10/??

NOM : DERIVATION 1ère S

Exercice 11

On considère un rectangle dont le périmètrePest égal à4m.

1)Déterminer ses dimensions (longueurLet largeurl) sachant que son aireSest égale à34

cm2.

2)On recherche maintenant les dimensions du rectangle de façon que son aireSsoit maximale.

a)ExprimerSen fonction del. b)On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x(2x). Calculer la dérivéef0defpuis étudier son signe.

Dresser le tableau de variations de la fonctionf.

Tracer la représentation graphique(Cf)de la fonctionfsur[0 ; 2].

c)En déduire les dimensons du rectangle dont le périmétrePest égal à4met l"aireSest maximale.

IllustrationO~

i~ j(Cf)10121012

D. LE FUR 11/??

NOM : DERIVATION 1ère S

Exercice 12

1)On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) = 2x360x2+ 450x.

a)Etudier les variations defsur l"intervalle[0 ; 20]. Dresser le tableau de variations def.

b)Déterminer une équation de la tangente()à la courbe représentaive(Cf)defau point d"abscisse0.

c)Déterminer, par le calcul, les coordonnées des points d"intersection de(Cf)avec l"axe des abscisses.

d)Tracer()et(Cf)pourx2[0 ; 20].

2)Un fabriquant envisage la production de briques de lait en carton obtenues en découpant deux bandes de

même largeur dans une feuille carrée.Le côté de la feuille mesure30cmet on désigne parxla mesure (en centimètres) de la largeur des bandes

découpées. On suppose que0< x <15. a)Démontrer que le volume (encm3) de la boîte estV(x) = 2x360x2+ 450x. b)Pour quelle valeur dexle volumeV(x)est-il maximal? Préciser la valeur de ce volume maximal en litres.D. LE FUR 12/??

NOM : DERIVATION 1ère S

Illustration

D. LE FUR 13/??

NOM : DERIVATION 1ère S

Exercice 13

Soitfla fonction définie parf(x) =x3x+ 2sur l"intervalle[2 ; 2].

Soit(Cf)sa courbe représentative.

1)Donner, en justifiant, l"équation de la tangente(T)à(Cf)au pointAd"abscisse0.

2)Tracer dans un même repère la courbe(Cf)et la tangente(T)sur l"intervalle[2 ; 2].Illustration

O~ i~ j(Cf)A

2101254321012345678910

D. LE FUR 14/??

NOM : DERIVATION 1ère S

Exercice 14

Soit(P)la parabole définie par la fonctionf(x) =x23x+ 1.

Calculer les coordonnées de son sommetS.

IllustrationO~

i~ j(Cf)S

432101234567321012345678910

D. LE FUR 15/??

NOM : DERIVATION 1ère S

Exercice 15

Un camion doit faire un trajet de150km. Sa consommation de gasoil est de6+v2300 litres par heure, oùvdésigne sa vitesse enkm:h1. Le prix du gasoil est de0;9ele litre et on paie le chaufeur12epar heure.

1)Soittla durée du trajet en heure. Exprimerten fonction de la vitessev.

2)Calculer le prix de revientP(v)du trajet en fonction dev.

3)Quel doit être la vitessevdu camion pour que le prix de revientP(v)de la course soit minimal?D. LE FUR 16/??

NOM : DERIVATION 1ère S

Exercice 16

Le but de cet exercice est de calculer la limite suivante : lim h!0(1 +h)20051h Pour cela, on considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) = (1 +x)2005.

1)Calculer la dérivéef0de la fonctionf. Calculerf0(0).

2)Calculer l"accroissement moyen de la fonctionfentre0eth. En déduire la limite ci-dessus.D. LE FUR 17/??

NOM : DERIVATION 1ère S

Exercice 17

Soitfla fonction définie surRparf(x) =x42x+ 1. Soit(Cf)sa courbe représentative.

1)Donner, en justifiant, l"équation de la tangente(T)à la courbe(Cf)au pointAd"abscisse0.

2)Tracer dans un même repère la courbe(Cf)et la tangente(T)sur l"intervalle[1 ; 1;5].

IllustrationO~

i~ j(Cf)A

101321012345

D. LE FUR 18/??

NOM : DERIVATION 1ère S

Exercice 18

1)Dériver les fonctionsfetgdéfinies ci-dessous :

f(x) =xx+px sur]0 ; +1[g(x) =11 +x 3 surRnf1g

2)Calculerf0(16)etg0(2).D. LE FUR 19/??

NOM : DERIVATION 1ère S

Exercice 19

On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x2 +4x

1)Calculer la dérivéef0et étudier son signe.

2)Dresser le tableau de variations de la fonctionf.

3)Tracer la représentation graphique(Cf)de la fonctionfsur[4 ; 0[[]0 ; 4].

IllustrationO~

i~ j(Cf)AB

4321012341614121086420246810

D. LE FUR 20/??

NOM : DERIVATION 1ère S

Exercice 20

Soit(Cf)la représentation graphique de la fonctionfdéfinie surRnf2gpar : f(x) =x2+ax+bx2a;b2R:

1)Déterminerf0(x).

2)Détermineraetbtels que la droite d"équationy= 8soit tangente à(Cf)au point d"abscisse3.

3)Déterminer les limites suivantes :

lim x!+1f(x) limx!1f(x) limx!2 x>2f(x) limx!2 x<2f(x)

4)Déduire de la question précédente que(Cf)admet une asymptote dont on précisera une équation.

5)Question facultative : déterminer l"abscisse de l"autre point de(Cf)où la tangente est horizontale.

IllustrationO~

i~ j(Cf)A B 4 3 2 1quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21