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Première S Exercices sur la dérivation 2010-2011 1
Exercice 1
Prouver l"existence du nombre dérivé au point a de la fonction f indiquée et calculer sa valeur. 1) f(x) = x² - 5x + 3 ; a = 2 2) f(x) = 1
1 - x ; a = 0
Exercice 2
f est une fonction dérivable sur Y. 1) Une équation de la tangente à sa courbe C au point d"abscisse -2 est y = 4x - 7. En déduire l"approximation affine locale de f(-2 + h). 2) L"approximation affine locale de f(3 + h) est -2 + 5h. En déduire une équation de la tangente à sa courbe C au point d"abscisse 3.
Exercice 3
f est la fonction x ?? x²; a est un réel. 1)
Donner l"approximation affine locale de f(a + h).
2) Déterminer, en fonction de h, l"erreur commise lorsque l"on remplace f(a + h) par cette approximation affine. 3) Comment choisir h pour que la précision de cette approximation soit égale
à 10
-6 ? Première S Exercices sur la dérivation 2010-2011 2
Exercice 4
A l"aide d"un grapheur, on a obtenu
la courbe représentant la fonction f : ?? -x
4 + 2x² + x et la tangente T à
cette courbe au point A(-1;0).
Cette tangente semble être tangente à la
courbe en un second point B. Le prouver. Première S Exercices sur la dérivation 2010-2011
CORRECTION
3
Exercice 1
Prouver l"existence du nombre dérivé au point a de la fonction f indiquée et calculer sa valeur. 1) f(x) = x² - 5x + 3 ; a = 2 2) f(x) = 1
1 - x ; a = 0
On pose t(h) =
f(a+h) - f(a) h pour h ¹ 0
1) Après calcul on a t(h) = = h + 2a - 5
Cette fonction est définie pour tout a réel. Le nombre dérivé en a de la fonction f est donc f"(a) = lim h®0 t(h) = 2a - 5 En particulier pour a = 2, f"(a) = 2×2 - 5 = -1 2)
De même : t(h) = 1
1 - (a + h)
- 1 1 - a h = 1 - a - (1 - (a + h)) h(1 - a - h)(1 - a) t(h) = 1 (1 - a - h)(1 - a)
Cette fonction t est définie pour a
¹ 1 et h ¹ 1 - a
Pour a
¹ 1, le nombre dérivé en a de la fonction f est donc : f"(a) = lim h®0 t(h) = 1 (1 - a)²
Pour a = 0, f"(0) = 1
Exercice 2
f est une fonction dérivable sur Y. 1) Une équation de la tangente à sa courbe C au point d"abscisse -2 est y = 4x - 7. En déduire l"approximation affine locale de f(-2 + h). Première S Exercices sur la dérivation 2010-2011
CORRECTION
4 2) L"approximation affine locale de f(3 + h) est -2 + 5h. En déduire une équation de la tangente à sa courbe C au point d"abscisse 3.
1) L"approximation affine locale de f(-2 + h) est : f(-2) + hf"(-2).
Or l"équation de la tangente à la courbe C au point d"abscisse nous fournit f(-2) et f"(-2). f(-2) = 4
´(-2) - 7 = -15 et f"(-2) = 4
L"approximation affine locale de f(-2 + h) est donc : -15 + 4h. 2) f(3 + h) » -2 + 5h
Donc f(3) = -2 et f"(3) = 5.
Une équation de la tangente à C au point d"abscisse 3 est : y = f"(3)(x - 3) + f(3)
Soit : y = 5(x - 3) - 2
Soit y = 5x - 17
Exercice 3
f est la fonction x ?? x²; a est un réel. 1)
Donner l"approximation affine locale de f(a + h).
2) Déterminer, en fonction de h, l"erreur commise lorsque l"on remplace f(a + h) par cette approximation affine. 3) Comment choisir h pour que la précision de cette approximation soit égale
à 10
-6 ?
1) f(a + h) » f(a) + hf"(a) = a² + 2ah
2) Erreur commise : E(h) = f(a + h) - (a² + 2ah) = (a + h)² - a² - 2ah = a² +
2ah + h² - a² - 2ah = h²
3) Première S Exercices sur la dérivation 2010-2011
CORRECTION
5
Exercice 4
A l"aide d"un grapheur, on a obtenu la
courbe représentant la fonction f : ?? -x
4 + 2x² + x et la tangente T à cette
courbe au point A(-1;0). Cette tangente semble être tangente à la courbe en un second point B. Le prouver.
Déterminons une équation de la droite T :
y = f"(-1)(x + 1) + f(-1) f"(x) = -4x
3 + 4x + 1
f"(-1) = 4 - 4 + 1 = 1 f(-1) = 0
Une équation de T est donc y = x + 1
Déterminons une équation de la tangente à la courbe au point d"abscisse 1 : y = f"(1) (x - 1) + f(1) f"(1) = -4 + 4 + 1 = 1 et f(1) = -1 + 2 + 1 = 2
D"où : y = x - 1 + 2
Soit y = x + 1
On reconnait une équation de T.
Les points d"abscisses -1 et 1 admettent donc une tangente commune à la courbe.quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21
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