[PDF] Dérivation - application Premi`ere S ES STI - Exercices Corrigés en



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Derivation - application

Premiere S ES STI - Exercices

Corriges en video avec le cours sur

jaicompris.com Etude des variations d'une fonction polyn^ome de degre 4 Dresser le tableau de variations de la fonctionfdenie surRparf(x) =14 x4x3+x25

Etude des variations d'une fonction homographique

Dresser le tableau de variations de la fonctionfdenie surRn f1gparf(x) =x+ 41x

Etude des variations d'une fonction

Dresser le tableau de variations de la fonctionfdenie surRn f1gparf(x) = 4x+1x+ 1Minimum d'une fonction

Montrer que la fonctionfdenie sur [0 ; +1[ parf(x) = (x2)pxadmet un minimum.Montrer une inegalite Montrer que pour tout reelxstrictement positif,x+1x >2.Variations d'une fonction avec une fonction auxiliaire Soitfla fonction denie sur ]4 ; +1[ parf(x) =x32x+ 4. 1. V erierque p ourtout r eelxappartenant a ]4 ; +1[,f0(x) =2x3+ 12x2+ 2(x+ 4)2. 2. Soit gla fonction denie sur ]4 ; +1[ parg(x) = 2x3+ 12x2+ 2. Etudier les variations deget en deduire que pour tout reelxappartenant a ]4 ; +1[,g(x)>0. 3. D ecrireles v ariationsde f.Longueur minimale d'une cl^oture A l'aide d'un grillage, on souhaite delimiter une surface rectangulaire de 100 m

2adossee a un mur.

Le but de cet exercice est de trouver la longueur minimale de grillage necessaire. 1.

On p oseAB=x(l'unite de longueur est le metre).

Exprimer la longueur de la cl^oture en metres en fonc- tion dex. 2.

Etudier les variations de la fonctionfdenie sur

]0 ; +1[ parf(x) = 2x+100x 3. D eterminerla longueur de grill ageminimale (arrondie au dm pres) pour delimiter une surface rectangulaire de 100 m

2adossee a ce mur.Distance d'un point a une parabole

Dans un repere orthonorme,Pest la parabole d'equationy=x2.Mest un point quelconque dePd'abscissexetAest le

point de coordonnees (0 ; 1).

Le but de l'exercice est de trouver la position du pointMsurPqui minimise la distanceAM. Nous admettons que ce

probleme revient egalement a minimiser le nombreAM2. 1.

D emontrerque AM2=x4x2+ 1.

2. On consid erela fonction fdenie surRparf(x) =x4x2+ 1. (a) Expliquer p ourquoiil sut d' etudierfsur [0 ; +1[ pour resoudre notre probleme. (b)

Calculer f0(x) et etudier son signe sur [0 ; +1[.

(c) Dresser l etableau de v ariationsde fsur [0 ; +1[. (d)

Conclure.

1

Minimiser le co^ut d'une bo^te

Une entreprise souhaite fabriquer une bo^te de 128 cm

3de volume de la forme d'un pave droit a base carree. Le fond et le

couvercle lui reviennent a 4 centimes le cm

2et les faces laterales a 2 centimes le cm2. On notexla longueur en cm du c^ote

de la base ethla hauteur en cm de la bo^te. 1.

Exprimer hen fonction dex.

2. En d eduirequ ele prix de revien ten cen timesest p(x) = 8x2+1024x 3.

Etudier les variations depsur ]0 ; +1[.

4.

Donner les dimensions de la b o^tep ourque le prix de revien tsoit minimal. Aire maximale d'un triangle sous une parabole

Sur la gure ci-contre, on a represente dans

un repere orthonorme la parabole d'equation y=29 x2+ 8. Elle coupe l'axe des abscisses enAetB. SoitMun point du segment [AB], la perpendiculaire a l'axe des abscisses passant parMcoupe la parabole enN.

Ou placer le pointMsur le segment [AB] pour

avoir l'aire du triangleAMNmaximale?Position relative de deux courbes

On considere les fonctionsfetgdenies surRpar :

f(x) =x43x+ 1 etg(x) = 2x33x1

On a represente ci-contre les courbesCfetCg

representatives des fonctionsfetg.

Demontrer queCfest toujours au-dessus deCg.2

Aire constante sous une tangente

On a trace une tangente a la courbe

d'equationy=1x . Elle coupe l'axe des ordonnees en M et celui des abscisses en

N. Montrer que l'aire du triangle MNO

est independante de la tangente tracee.3quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21