[PDF] Maths Concours PC PSi BCPST - EXTRAIT - Numilog



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3

Avant-propos

Cet ouvrageregroup elesépreuves demathématiques desécolesnormalessup érieureset de l"école polytechniquepourles filièresPC,PSI etBCPSTdesannées 2017à2020.

Les sujetsson tretranscritsfidèlement, éven tuellementav ecleurserreursd"énoncé.Lecorrigé

est complétépar descommen tairesprécisan tunpoin tdecours,détaillan tun calcul,donnant des conseilsmétho dologiquesouapportan tune noteculturelle. Les programmesde sfilièresPC,PSI etBCPST nese recoupen tpas. Ona ladisp ositionsuiv ante:PC

Cependant,lesépreuves 2017à 2020delafilière BCPSTp euven têtre traitéesdans leurgrande

majoritépar lesétudian t.e.sdes filièresPCetPSI (larécipro queétan tfausse). Les thèmes

majoritairesdes épreuv esBCPSTsontleséquations différen tielles,l"algèbrelinéaire(v aleurs

propres, réductiondesmatrices) etles probabilités(discrète sou contin ues).Seuls lespoints suivantssont spécifique sàlafilièreBCPST: §Partie2 del"épreuv e2019 (variablealéatoireà densité) §Question 2de lapartie 1de l"épreuve 2020(théorème central limite) Énuméronsles différen tsthèmesabordésdansl"ensem bledes épreuves.

PSI 2017: beaucoupd"algèbrelinéaire !

"Endomorphismes nilpotents,symétriques. "Produitscalaire, espaces euclidiens. "Polynômes. "Intégration. PSI 2018: sujetd"analysenumérique. Ils"agit delarec herche d"unesoluti onappro chéed"une

équation différentielle.

"Équations différentielles. "Valeurspropres etv ecteurspropres d"unematricetridiagonale. "FormuledeT aylor avecresteintégral. "Norme. "Un peudeprobabilités. Retrouver ce titre sur Numilog.com

4Avant-propos

PSI 2019: sujetd"a nalysenumériqueassezmal rédigéettrès technique. Ils"agi tdelarec herche

d"une solutionappro chéed"unsystèmelinéaireAx"bselon lamétho deditedugradientc onju- gué "Algère linéaireet polynômes dematrices. "Matrices symétriquesetlethéorèmespectral. "Espaces euclidiens. "Norme surles matrices. "Polynômes,don tlespolynômes ditde Tchebychevde pre mièreespèce. PSI 2020: sujetassez difficilep ortant surlesfonctionsconcaves etsemi-conca ves. Beaucoup de majorationsetminorations ! "Fonctionslipsc hitziennes. "Manipulation deb ornessupérieureset inférieures. "Suites denom bresréelsetsuitesdans unespace vectoriel normé. "Problème deminimisation, projections surunconv exefermé. "Fonctionsde plusieursv ariables(gradien t). PC 2017: sujetd"algèbre linéairetournan tautour delanotionde ray onsp ectral. "Norme surles matrices. "Valeurset vecteurs propresd"unematrice. "Nombrescomplexes. PC 2018: sujetoriginal portan tsurlesmatricesà coefficien tsdans t´1,1ucomportantune grande partde probabilités. "Probabilités. "Intégralesgénéralisées. "Fonctionsde deuxv ariables. "FormuledeStirling. PC 2019: sujetassez difficileet quelquep euconfus s"intéressan tàlare constructiond"un signal bruité. "Matrices àco efficientscomplexes. "Norme. "Fonctionsde lav ariablecomplexe. "Probabilités. PC 2020: sujetplut ôtfacileportan tsur leproduittensorieldematrices etla minimisation d"une fonctionnelle. "Algèbre linéaireet réductiondes mat rices. "Intégralesgénéralisées. "Produitscalaire. 5 BCPST 2017: sujetdemandan tpeude connaissancesducours,p ortant surle comportemen t asymptotique dessolutions d"unsystème différentie l.Beaucoup demajorationsetmi norations! "Équations différentielles. "Valeurset vecteurs propresd"unematrice. BCPST 2018: sujetcomp ortantdeuxexercicesindép endants. L"unassez facileétudieune

équation différentielle.L"autre assezdifficil e,plus long,etmalrédigé,portesurle problèmedit

ducollectionneuret comportequelquesv ariablesaléatoires maldéfinies. "Équations différentielles. "Probabilités. "Manipulation d"inégalités. BCPST 2019: sujetin téressantportant surleproblèmeditdutransportoptimal. Peude connaissances ducours sont requises. "Matrices bistochastiques. "Permutationsd"unensem blefini. "Manipulation desommes doubles. "Densités deprobabilités, intégrales généralisées. "Intégralesde fonctionsde deux variables. BCPST 2020: sujetd"analyse numérique assezfacileportan tsur lamétho deditedeséléments finis . Ils" agitdecherc herune solutionapprochéed"uneéquation auxdériv éespartielles. "Probabilités discrètes,théorème central limite. "Équations différentiellesdusecondordre. "Valeurset vecteurs propresd"unematricetridiagonale. "Convergenced"unesuite matricielle. "Fonctionsde deuxv ariables. L"ouvrage comportefatalement descoquilles.Ces erreursou toutautrequestionmathématique peuventêtreadresséesà erreur.livre.x.ens @gmail.comRetrouver ce titre sur Numilog.com

4Avant-propos

PSI 2019: sujetd"a nalysenumériqueassezmal rédigéettrès technique. Ils"agi tdelarec herche

d"une solutionappro chéed"unsystèmelinéaireAx"bselon lamétho deditedugradientc onju- gué "Algère linéaireet polynômes dematrices. "Matrices symétriquesetlethéorèmespectral. "Espaces euclidiens. "Norme surles matrices. "Polynômes,don tlespolynômes ditde Tchebychevde pre mièreespèce. PSI 2020: sujetassez difficilep ortant surlesfonctionsconcaves etsemi-conca ves. Beaucoup de majorationsetminorations ! "Fonctionslipsc hitziennes. "Manipulation deb ornessupérieureset inférieures. "Suites denom bresréelsetsuitesdans unespace vectoriel normé. "Problème deminimisation, projections surunconv exefermé. "Fonctionsde plusieursv ariables(gradien t). PC 2017: sujetd"algèbre linéairetournan tautour delanotionde ray onsp ectral. "Norme surles matrices. "Valeurset vecteurs propresd"unematrice. "Nombrescomplexes. PC 2018: sujetoriginal portan tsurlesmatricesà coefficien tsdans t´1,1ucomportantune grande partde probabilités. "Probabilités. "Intégralesgénéralisées. "Fonctionsde deuxv ariables. "FormuledeStirling. PC 2019: sujetassez difficileet quelquep euconfus s"intéressan tàlare constructiond"un signal bruité. "Matrices àco efficientscomplexes. "Norme. "Fonctionsde lav ariablecomplexe. "Probabilités. PC 2020: sujetplut ôtfacileportan tsur leproduittensorieldematrices etla minimisation d"une fonctionnelle. "Algèbre linéaireet réductiondes mat rices. "Intégralesgénéralisées. "Produitscalaire. 5 BCPST 2017: sujetdemandan tpeude connaissancesducours,p ortant surle comportemen t asymptotique dessolutions d"unsystème différentie l.Beaucoup demajorationsetminorations ! "Équations différentielles. "Valeurset vecteurs propresd"unematrice. BCPST 2018: sujetcomp ortantdeuxexercicesindép endants. L"unassez facileétudieune

équation différentielle.L"autre assezdifficil e,plus long,etmalrédigé,portesurle problèmedit

ducollectionneuret comportequelquesv ariablesaléatoires maldéfinies. "Équations différentielles. "Probabilités. "Manipulation d"inégalités. BCPST 2019: sujetin téressantportant surleproblèmeditdutransportoptimal. Peude connaissances ducours sont requises. "Matrices bistochastiques. "Permutationsd"unensem blefini. "Manipulation desommes doubles. "Densités deprobabilités, intégrales généralisées. "Intégralesde fonctionsde deux variables. BCPST 2020: sujetd"analyse numérique assezfacileportan tsur lamétho deditedeséléments finis . Ils" agitdecherc herune solutionapprochéed"uneéquation auxdériv éespartielles. "Probabilités discrètes,théorème central limite. "Équations différentiellesdusecondordre. "Valeurset vecteurs propresd"unematricetridiagonale. "Convergenced"unesuite matricielle. "Fonctionsde deuxv ariables. L"ouvrage comportefatalement descoquilles.Ces erreursou toutautrequestionmathématique peuventêtreadresséesà erreur.livre.x.ens @gmail.comRetrouver ce titre sur Numilog.com

Tabledesm ati ères

1. Banquecomm uneÉcolePolytec hnique- InterENSfilièrePSI2017

Le corrigécommen té.........................................17

2. Banquecomm uneÉcolePolytec hnique- InterENSfilièrePSI2018

Le corrigécommen té.........................................51

3. ENS-X(XUCR) filièrePS I2019

Le corrigécommen té.........................................87

4. ENS-X(XUCR) filièrePS I2020

Le corrigécommen té........

5. ENS-X-ESPCI(XEULC) filièrePC 2017

Le corrigécommen té.........................................172

6. ENS-X-ESPCI(XEULC) filièrePC 2018

Le corrigécommen té.........................................207

7. ENS-X-ESPCI(XEULC) filièrePC 2019

Le corrigécommen té.........................................238

8. ENS-X-ESPCI(XEULC) filièrePC 2020

Le corrigécommen té........................

9. ENS- ENPCfilière BCPST2017

Le corrigécommen té.........................................300Retrouver ce titre sur Numilog.com

Tabledesm ati ères

1. Banquecomm uneÉcolePolytec hnique- InterENSfilièrePSI2017

Le corrigécommen té.........................................17

2. Banquecomm uneÉcolePolytec hnique- InterENSfilièrePSI2018

Le corrigécommen té.........................................51

3. ENS-X(XUCR) filièrePS I2019

Le corrigécommen té.........................................87

4. ENS-X(XUCR) filièrePS I2020

Le corrigécommen té.........

5. ENS-X-ESPCI(XEULC) filièrePC 2017

Le corrigécommen té.........................................172

6. ENS-X-ESPCI(XEULC) filièrePC 2018

Le corrigécommen té.........................................207

7. ENS-X-ESPCI(XEULC) filièrePC 2019

Le corrigécommen té.........................................238

8. ENS-X-ESPCI(XEULC) filièrePC 2020

Le corrigécommen té.........................

9. ENS- ENPCfilière BCPST2017

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8TABLEDESMA TIÈRES

10. ENS-ENPCfilière BCPST2018

Le corrigécommen té.........................................330

11. ENS-ENPCfilière BCPST2019

Le corrigécommen té.........................................361

12. ENS-ENPCfilière BCPST2020

Le corrigécommen té.........................................389

Sujet n

o 1

Banque communeÉcoleP olytechnique -

InterENSfili èrePSI2017

Dans toutle texte,on adopteles notations suiv antes : -Pourtoute fonctionfdéfinie surun interv alledeRet toutentier ně1, onnote f p n q la fonction dérivéen-ème defsur cetin tervalle(quandcettedérivée n-ème existe).

Ainsi,f

p 1 q "f 1 ,f p 2 q "f 2 , etc.Oncon vient quef p 0 q "f. -Pourtout entier ně1, onp osen!" n k"1 k"1ˆ...ˆnla factoriellede n. Onconvien tque 0!"1. -Pourtous nPN etmPN ,Mn,mpRqdésigne l"ensembledesmatrices àco efficients réels ayantnlignes etmcolonnes. Onp oseM npRq"Mn,npRq, eton noteInla matriceiden tité deM

Sa transposéeestnotée

t réela 1 1. -On noteRrXsleR-espace vectorieldespolynômes àco efficientsréels.P ourtout entier ně0, ondésigne parR nrXsleR-espace vectorieldesp olynômesà coefficientsréels etde

degré inférieurou égalà n. Lesp olynômesdeRrXset lesfonctions poly nomialesassociées

serontnotés identiquemen t.Ainsi,siparexemplePPRrXsdésigne unp olynôme,alorsla fonction polynomialeassociée seraaussinotéeP. -Étantdonné unR-espace vectorieldedimensionfinie E, onnote 0

El"élémentn uldeE,

et onnote Id El"application identitédeEdans lui-même.On noteLpEql"ensembledes endomorphismes deE. SiLPLpEqest unendomorphisme deEetně2un entiernaturel,on noteL n l"application composéede Laveclui-mêmenfois :L n "LL...L(nfois). Parconv entionL 0 "IdE etL 1 "L. Leno yauetl"imagedeLserontnotés respectiv ementkerLetimL.Retrouver ce titre sur Numilog.com

8TABLEDESMA TIÈRES

10. ENS-ENPCfilière BCPST2018

Le corrigécommen té.........................................330

11. ENS-ENPCfilière BCPST2019

Le corrigécommen té.........................................361

12. ENS-ENPCfilière BCPST2020

Le corrigécommen té.........................................389

Sujet n

o 1

Banque communeÉcoleP olytechnique -

InterENSfili èrePSI2017

Dans toutle texte,on adopteles notations suiv antes : -Pourtoute fonctionfdéfinie surun interv alledeRet toutentier ně1, onnote f p n q la fonction dérivéen-ème defsur cetin tervalle(quandcettedérivée n-ème existe).

Ainsi,f

p 1 q "f 1 ,f p 2 q "f 2 , etc.Oncon vient quef p 0 q "f. -Pourtout entier ně1, onp osen!" n k"1 k"1ˆ...ˆnla factoriellede n. Onconvien tque 0!"1. -Pourtous nPN etmPN ,Mn,mpRqdésigne l"ensembledesmatrices àco efficients réels ayantnlignes etmcolonnes. Onp oseM npRq"Mn,npRq, eton noteInla matriceiden tité deM

Sa transposéeestnotée

t réela 1 1. -On noteRrXsleR-espace vectorieldespolynômes àco efficientsréels.P ourtout entier ně0, ondésigne parR nrXsleR-espace vectorieldesp olynômesà coefficientsréels etde

degré inférieurou égalà n. Lesp olynômesdeRrXset lesfonctions poly nomialesassociées

serontnotés identiquemen t.Ainsi,siparexemplePPRrXsdésigne unp olynôme,alorsla fonction polynomialeassociée seraaussinotéeP. -Étantdonné unR-espace vectorieldedimensionfinie E, onnote 0

El"élémentn uldeE,

et onnote Id El"application identitédeEdans lui-même.On noteLpEql"ensembledes endomorphismes deE. SiLPLpEqest unendomorphisme deEetně2un entiernaturel,on noteL n l"application composéede Laveclui-mêmenfois :L n "LL...L(nfois). Parconv entionL 0 "IdE etL 1 "L. Leno yauetl"imagedeLserontnotés respectiv ementkerLetimL.Retrouver ce titre sur Numilog.com

10L"énoncé

SiF1etF2sontdeux sous-espacesv ectorielsde E, onnote F1`F2la sommede cesdeux sous-espaces. Onécrira F

1'F2poursignifie rquecettesomme estdirecte. Si,de plus,Eest

munid"un produit scalaire,onécriraF 1' K

F2poursignifier quela sommeest orthogonale,

c"est-à-dire queF

1etF2sontorthogonaux entre eux.L"orthogonald"unespace sous-espace

vectorielFdeEsera notéF K . Onnotera dimpFqla dimensionde F. Banque communeÉcoleP olytechnique -InterENSfilière PSI2017 11

PartieI

Soitmě2un entiernaturelet EunR-espace vectorieldedimension 2m`1. Cetespace estm uni d"un produitscalairex¨ |¨y . SoientTetMdeux endomorphismesde Evérifiantlesh ypothèses suivantes: (H1)T 2 m ‰0 LpEq etT 2 m 1 "0 LpEq (H2)Mquotesdbs_dbs8.pdfusesText_14