[PDF] Banque A - 0511 MATHÉMATIQUES ÉPREUVE B



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Banque A - 0511 MATHÉMATIQUES ÉPREUVE B

Banque<>

A - 0511

MATH

EMATIQUES

EPREUVE B

Dur´ee : 3 heures 30 minutes

L'usage d'une calculatrice est interdit pour cette epreuve.

Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble ^etre une erreur d'enonce, il le signale

sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a

prendre. Chaque candidat est responsable de la verication de son sujet d'epreuve : pagination et impression

de chaque page. Ce contr^ole doit ^etre fait en debut d'epreuve. En cas de doute, il doit alerter au plus

t^ot le chef de centre qui contr^olera et eventuellement remplacera le sujet.

Pour tout entier natureln,Ind´esigne l'ensemble des entiers naturelsktels que 06k6netI∗nl'ensemble des entiers naturelsktels que 16k6n.

Pour une variable al´eatoire r´eelleX`a valeurs dansN, on pose, pour tout r´eeltpour lequel cela a un

sens,

X(t) =E(tX) =+∞∑

k=0P[X=k]tk

o`uEd´esigne l'esp´erance. La fonctiongXest appel´eefonction generatricede la variable al´eatoire

X. Dans tout ce probl`eme, on consid`erera que 00= 1, ce qui permet par exemple d'affirmer ici que

X(0) =P[X= 0].

On admet que siUetVsont deux variables al´eatoires r´eelles discr`etes ind´ependantes et poss´edant

une esp´erance, alors le produitUVposs`ede une esp´erance etE(UV) =E(U)E(V).

L'objet de ce probl`eme est l'´etude de quelques propri´et´es des fonctions g´en´eratrices, ainsi que des

exemples d'applications. A. Fonction generatrice d'une variable a valeurs dansIn

Soientnun entier naturel etXune variable al´eatoire r´eelle `a valeurs dansIn. Pour toutk∈In, on

noteak=P[X=k] la probabilit´e queXprenne la valeurk.

A.1.a) Montrer quegXest une fonction polynˆome `a coefficients r´eels dont on pr´ecisera le degr´e

maximal. Quelle est la valeur degX(1)? b) Montrer que sigXest donn´ee, alors la loi deXest enti`erement connue.

A.2.Soient (m1,m2) deux entiers naturels et (Z1,Z2) deux variables al´eatoires r´eelles `a valeurs respec-

tivement dansIm1etIm2. On suppose queZ1etZ2sont ind´ependantes. a) En utilisant pour tout r´eeltl'expressiongX(t) =E(tX), montrer que

Z1+Z2(t) =gZ1(t)gZ2(t).(∗)

b) Calculer la fonction g´en´eratrice d'une variable al´eatoireXsuivant la loi binomiale de param`etres

netpavecp >0.

c) SoitYune variable al´eatoire r´eelle suivant la loi binomiale de param`etresn′etpavecn′un

entier naturel. On suppose queXetYsont ind´ependantes. Montrer en utilisant A.1.b queX+Y suit la loi binomiale de param`etresn+n′etp.

1/4T.S.V.P.

A.3. Exemple(Cette question est sans incidence sur la suite du probleme) On lance deux d´es

classiques `a 6 faces. Le r´esultat affich´e par lei-i`eme d´e est une variable al´eatoireXi`a valeurs dans

∗6={1,2,3,4,5,6}. Les variables al´eatoiresX1etX2sont suppos´ees ind´ependantes.

a) On suppose les d´es ´equilibr´es; autrement dit que les variablesX1etX2suivent des lois uniformes

surI∗6. CalculergXipouri= 1,i= 2. En d´eduire la loi de probabilit´e de la variable al´eatoire

Y=X1+X2.

b) On suppose maintenant que les deux d´es ne sont pas ´equilibr´es. On note pour toutk∈I∗6,pk=P[X1=k] etqk=P[X2=k], et on suppose quepk>0 etqk>0. On cherche `a prouver qu'on ne peut pas trouver des valeurs despketqktelles queY=X1+X2soit une

variable al´eatoire uniforme surI′={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. Nous raisonnons par l'absurde : on

suppose donc dans la suite de cette question queYsuit la loi uniforme surI′. i) Donner la fonction g´en´eratrice deYque l'on noteraR. ii) V´erifier que les racines complexes non r´eelles deRsont les nombres complexes ei2k , pourk entier entre 1 et 10. iii) D´eduire de la relation (∗) duA.2.aqu'il existe deux polynˆomesPetQde degr´e 5 `a coefficients r´eels tels que pour toutt∈R,t2P(t)Q(t) =R(t). iv) Aboutir `a une contradiction quant `a l'existence de racines r´eelles dePetQ. Conclure. B. Fonction generatrice d'une variable a valeurs dansN Soit maintenantXune variable al´eatoire r´eelle `a valeurs dansN. Pour toutn∈N, on pose n=P[X=n]. B.1.Montrer que pour toutt∈[-1,1], la s´erie∑a ntnest absolument convergente. En d´eduire que Xest d´efinie sur [-1,1] et donner la valeur degX(1).

B.2.SoitYune variable al´eatoire r´eelle `a valeurs dansN. Montrer que siXetYsont ind´ependantes,

alors pour toutt∈[-1,1],gX+Y(t) =gX(t)gY(t).

B.3.a) On suppose queXsuit une loi g´eom´etrique de param`etrep∈]0,1[ `a valeurs dansN∗. Calculer

X(t) pourt∈[-1,1] (on pourra poserq= 1-p).

b) Mˆeme question pourXsuivant une loi de Poisson de param`etreλ >0.

Dans la suite du probl`eme, nous admettrons la propri´et´e suivante, g´en´eralisant le r´esultat de A.1.b) :

siXest une variable al´eatoire `a valeurs dansN, alors la connaissance degX(t) pour toutt∈[-1,1]

entraˆıne la connaissance de la loi deX. Ceci permet donc de reconnaˆıtre la loi d'une variable al´eatoire

dont on connaˆıt la fonction g´en´eratrice. C. Fonction generatrice de la somme d'un nombre aleatoire de variables aleatoires

Dans cette partie,

•(Xn)n>1d´esigne une suite de variables al´eatoires r´eelles `a valeurs dansN, ind´ependantes et de

mˆeme loi,

•Nest une variable al´eatoire r´eelle `a valeurs dansN, ind´ependante des variables (Xn)n>1.

On poseS0= 0 et, pour toutn∈N∗,Sn=n∑ k=1X

On d´efinit alorsY=SN(il s'agit donc de la somme d'un nombre al´eatoire de variables al´eatoires).

On admettra queYest bien une variable al´eatoire r´eelle `a valeurs dansN. 2/4

On noterafla fonction g´en´eratrice commune `a toutes les variables (Xn)n>1,hla fonction g´en´eratrice

deN,gla fonction g´en´eratrice deYetψnla fonction g´en´eratrice deSnpout toutn>0. On cherche

maintenant `a d´eterminergen fonction defeth.

On se limitera ici au cas o`uNprend ses valeurs dansIs,s´etant un entier naturel sup´erieur `a 1, fix´e

dans toute cette partie. Soitt∈[-1,1]. C.1.Montrer que, pour toutn∈Is, on aψn(t) = (f(t))n.

C.2.Montrer que, pour tout entier naturelk:

P[Y=k] =s∑

n=0P[(Y=k)∩(N=n)] =s∑ n=0P[(Sn=k)∩(N=n)].

C.3.En d´eduire l'´egalit´e :

g(t) =+∞∑ k=0( s∑ n=0P[Sn=k]P[N=n])

C.4.En d´eduire queg(t) = (h◦f)(t).

On admet pour la suite du probleme que le resultat obtenu dans la question C.4 est encore valable dans le cas general, c'est-a-dire dans le cas ou la variable aleatoireNest a valeurs dansN.

C.5.On suppose ici que les (Xn)n>1suivent la loi g´eom´etrique de param`etrep∈]0,1[ `a valeurs dans

∗etNla loi g´eom´etrique de param`etrep′∈]0,1[ `a valeurs dansN∗. Montrer queYsuit une loi

g´eom´etrique dont on pr´ecisera le param`etre.

D. Multiplication d'une bacterie

Une bact´erieBest pr´esente dans un milieuMplus ou moins propice `a sa reproduction. Elle se

reproduit de la fa¸con suivante : chaque individu donne naissance `aXnouvelles bact´eriesB(appel´ees

dans la suite

⟨⟨fils⟩⟩) puis meurt. On peut donc classer les bact´eries par g´en´eration : les bact´eries d'une

g´en´eration vont chacune donner naissance `a un certain nombre de fils puis disparaˆıtre. Les fils de

toutes les bact´eries de la g´en´erationnformeront ainsi la g´en´erationn+ 1.

Le but est de d´eterminer la probabilit´e que toutes les bact´eriesBdisparaissent du milieuMau bout

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