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Définition 4 2 On appelle fraction rationnelle toute classe d'équivalence pour ⇠ L'ensemble Proposition 4 10 Soient F et G deux fractions rationnelles Faire tendre X vers l'infini (limite), apr`es avoir éventuellement multiplié par un facteur

Par convention, le coefficient dominant du polynôme nul est 0 Enfin, un polynôme est dit unitaire lorsque son coefficient dominant est égal à 1 Proposition 3

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retrouve ici ces deux propositions semblables à celles déjà rencontrées dans la théorie des simple où la fonction algébrique Y est une fraction rationnelle, où, par principale, ne pewent avoir de facteur commun autre qu'une certaine puissance rapport à une parallèle à la diagonale principale menée par A Au- des-

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Parmi ces séries, on retrouve les séries rationnelles à coefficients entiers non négatifs di tes les Soit A un ensr mble fini appr lé alphabet, ]r s élémr nts sont appelés dr s lfttres Supposons d'abord que les deux conditions de la Proposition 2 15 soient Démonstr-al'ion, Dérivons p(x) par rapport à x, on a pl( X) = kXk

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28 oct 2015 · des fractions rationnelles ainsi que sur le calcul des intégrales premi`eres ration- 2 1 Les origines : Méthode de Newton et facteur intégrant A partir de cette proposition, et de l'étude du degré des formes exactes d( p q ) o`u ˙X et ˙Y représentent les dérivées par rapport au temps t, et A, B ∈ C[X, Y ]

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Exemple : La translatée de la valeur principale de Cauchy de 1/x est la valeur principale ∂y) désigne la dérivée partielle par rapport à x (resp y) et i ∈ N rationnelle vérifie les hypothèses de la proposition 4 4 1 donc c'est la transformée le ont un facteur commun, alors on peut le simplifier) et que D est unitaire

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n interrogeant l'apport de la théorie du choix rationnel à l'analyse de l'action bureaucratie (Niskanen 6), de la mise en œuvre (Principal-Agent 7) et des blissant des relations causales et des propositions interprétatives sur l'état du monde ou les agents, se rapporte au comportement d'autrui, par rapport auquel

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Chapitre4

Fractionsrationnelles-

4.1Fractio nsrationnelles

Danstoutlep aragraphe,Kd´esigneuncorpscommutati f(dansl apratiqueRouC).

4.1.1Construction desfractions

Relationd'´equivalence

Surl'ense mbledescouples(A,B)de K[X]!K[X]

,ond ´efi nitlarelation"par(A,B)"(C,D) siAD=BC .

Proposition4.1"estune relationd'´ equivalence.

D´emonstration:Montronsque"estunere lationr´efle xive,sym´etriquee ttransitive. •PourA#K[X] ,ona A.A=A.Adon c(A,A)"(A,A)."estr´efle xive. •Soient(A,B)et (C,D)dansK[X]!K[X] .Su pposons(A,B)"(C,D).Onaalor sAD=BC doncCB=DA.P arsuite (C,D)"(A,B)."estbien sym´etrique. •Soient(A 1 ,B 1 ),(A 2 ,B 2 )et(A 3 ,B 3 )dan sK[X]!K[X] .Su pposons(A 1 ,B 1 )"(A 2 ,B 2 )et (A 2 ,B 2 )"(A 3 ,B 3 ).Onaal orsA 1 B 2 =B 1 A 2 etA 2 B 3 =B 2 A 3 etdoncA 1 B 2 A 2 B 3 =B 1 A 2 B 2 A 3

CommeB

2 A 2 $=0,l apr oposition 1.9(int´egrit´edeK[X])condui t`aA 1 B 3 =B 1 A 3 soit (A 1 ,B 1 )"(A 3 ,B 3 )."esttransit ive.! D´efinition4.2Onapp ellefractionrationnelletouteclassed'´ equivale ncepour".L'ensemble desfracti onsrationnellesestnot´eK(X). Notation.Lacl assed'´equivalenc ede(A,B)estn ot´eeF= A B etondit que A B estun repr´esentantdeF.

Remarque.Onadon cpar d´efinition :

A B C D %&AD=B C

Exemple.(3X

3 +3X 2 ,X 3 +3X 2 +2X) "(3X,X+2) donc 3X 3 +3X 2 X 3 +3X 2 +2X 3X X+2

4.1.2Op´eratio nssurlesfractions

PropositionetD´efinition4.3Soient

A B et C D deux´el´ ementsdeK(X).Lafractionrationnelle

AD+B C

BD estind´ep endanteduchoixdesrepr´esentantsde A B et C D .Onl'appellesommedes 25

26CHAPITRE4.FRACTIONSRA TIO NNELLES-D

ECOMPOSITIONEN

EMENTSSIMPLES

fractions A B et C D eton note A B C D

AD+B C

D´emonstration:Supposonsdonc

A B A 1 B 1 et C D C 1 D 1 .On adoncAB 1 =BA 1 etCD 1 =DC 1

Onveu tmontrerque

A 1 D 1 +B 1 C 1 B 1 D 1

AD+B C

BD .Or(A 1 D 1 +B 1 C 1 )BD=A 1 BDD 1 +DC 1 BB 1 donc(A 1 D 1 +B 1 C 1 )BD=AB 1 DD 1 +D 1 CBB 1 =B 1 D 1 (AD+BC) .Le r´esultatend´ ecou le.

PropositionetD´efinition4.4Soient

A B et C D deux´el´ ementsdeK(X).Lafraction AC BD est A B et C D

Onl' appelleproduitdesfracti ons

A B et C D eton note A B C D AC BD

D´emonstration:Supposonsdonc

A B A 1 B 1 et C D C 1 D 1 .On adoncAB 1 =BA 1 etCD 1 =DC 1

Onche rche`amontrerque

A 1 Cquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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