Montrer que f est continue en tout point de R Exercice 2 14 (Borne supérieure atteinte) 24 Page 8 Soit f une application continue
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Montrer que cette fonction est continue sur D Réponse Or la fonction f − g est continue (comme différence de deux fonctions continues) et la fonction
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(f +g+f −g), et les propriétés des fonctions continues, montrer que la fonction Sup (f,g) est continue sur I Exercice 2 Soient I un intervalle de R et f : I → R
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Soit f une fonction définie en un point x0 ∈ R On dit que f est continue en x0 si f poss`ede x0 convient pour montrer la continuité en x0 Maintenant pour x0
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7 nov 2014 · La fonction f est continue sur un intervalle I si, et seulement si, f est continue Un tableau de variation pourra être suffisant pour montrer la
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Il suffit de montrer séparément que les deux fonctions f(g−l ) et (f −l)l tendent vers 0 Une fonction f est continue en a quand elle admet f(a) comme limite en a
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Montrer que f est continue en tout point de R Exercice 2 14 (Borne supérieure atteinte) 24 Page 8 Soit f une application continue
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Exemple La fonction valeur absolue · est continue sur Démonstration Soit a Nous devons montrer que f est continue en a, i e que : lim a f = f (a), ou encore
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D´emonstration:Lad´ emonstrationn'estpasd´etaill´eeici.I lsuffites sentiellementdereprendrecelle delapr opositi on1.2. Remarque2.2Lacon tinuit´eenunpointestunepropri´e t´elo cale.En effet,Soitfuneapplic ationde D´emonstration:Ondist inguedeuxcaspossibles. L'ensembleAestnonvid e(caril contienta)et estma jor´eparb.Il admetd oncunebornesup ´erieure f(c)=γ. 0.Par contin uit´edefenc,il existe doncα>0t.q. 19 Onadonc ,en particulier, avecβ=min(α,b-c)>0, Ceciprouveque (parexemple)c+β?A,en contrad ictionaveclad´efinitiondec(quiest c=supA).On aain simontr´equef(c)n' estpasstricteme ntinf´ erieur`aγ.On adoncf(c)=γ. Deuxi`emecas.Onsupp osequef(a)>f(b).Soitγ?[f(b),f(a)].Onmont realorsq u'ilexistec?[a,b] 1.Soita,b?R,a
quegeststric tementcroissante.Eneffet,soitx,y?J,xγ}=lim x→γ,x>γ g(x). Mais,commeIm( g)es tuninter valle(c arIm(g)=I)l'ensemble[g l (γ),g r (γ)]esti nclusdans Im(g), cequin 'estpossib lequesig l (γ)=g r (γ).Onad oncg l (γ)=g(γ)=g r (γ),cequ iprouv equegest continueenγ.Unr aison nementanalogueprouvequegestcontin ueenαsiα?J(onconsi d`ere alorslalimi te`adr oitedegenαetonmont re qu'elleest´egale` aa)etquegestcontin ueenβsi β?J(onconsi d`erealorslalimite`agauchedegenβetonmont re qu'elleest´egale` ab).Ce ci terminelad´emonstration deceth ´eor`eme. 22
1.Montrerquelim x→a f(x)=α(onpourr adistinguerlesc asα?Retα=-∞).Montr erque lim x→b f(x)=β. Exercice2.8(Prolongemen tparcontin uit´e) f(x)= x 3 -2x 2 -x+2 1-|x|
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Chapitre2
Continuit´e
2.1D´efiniti onetpropri´et´es
D´efinition2.1(Continuit´een unpoint) Soitfuneappli cationdeD?RdansReta?D.1.Ondit quefestco ntinueenasipo urtoutε>0,ilexisteδ>0t.q.:
2.Ondit quefests´ equentiellementcontinueenasiftransformetoutesuitecon vergent eversaen
suitecon vergenteversf(a),c'est-`a-dire: (x n n?N ?D,lim n→+∞ x n =a?lim n→+∞ f(x n )=f(a). Remarque2.1Sousleshy poth`esesd elad´efinition2.1etsiilexisteb,c?Rt.q.bD?RdansReta?D.Soi tγ>0.On pose
D=D∩]a-γ,a+γ[.Onapp elle
flarest rictiondefa D (c'est-`a-direque festd´e finiesur Det f=fsurD).Alors, festcontin ueenasiet seulemen tsi
fest continueena. D´efinition2.2(Continuit´e)Soitfuneapplic ationdeD?RdansR.onditquefestco ntinuesif estco ntinueentoutpointdeD. Ondonne maintenantlad ´efinitiondelacontinuit´eu niforme ,plusfortequelacontinuit´e. 18 D´efinition2.3(Continuit´eun iforme)Soitfuneapplic ationdeD?RdansR.onditquefestExemple2.1Onpre ndiciD=]0,1[et f(x)=
1 x pourx?]0,1[.L'appl icationfestcontinu e(c'est-`a- direcontinue entoutpointdeD)mai sn'estpas uniform´ementcont inue. Proposition2.1(Somme,produitetqu otientd' applicationscontinues)Soitf,gdeuxapplica- tionsdeD?RdansReta?D.Onsupposequefetgsontcontinues ena.Alors:1.L'applicationf+gestco ntinueena,
2.L'applicationfgestco ntinueena,
3.Ilex isteβ>0t.q.g(x)?=0pourx?D∩]a-β,a+β[etf/g(quiest biend´ efinie pourx?
D∩]a-β,a+β[)estcontinueena.
D´emonstration:Iciaussi, ilsuffites sentiellementdereprendrelad´emonstrationdelapr oposition 1.6.
Proposition2.2(Continuit´edel acompos´ee)Soitfuneapplic ationdeD?RdansRetgune applicationdeE?RdeR.OnsupposequeIm(f)={f(x),x?D}?E(desortequ eg◦festd´ efinie surD).So ita?D.Onsupposequefestco ntinueenaetgestco ntinueenf(a).Alors,g◦fest continueena.D´emonstration:Iciaussi, ilsuffites sentiellementdereprendrelad´emonstrationdelapr oposition 1.8.
2.2Th´eor `emedesvaleursinterm´ediaires
Th´eor`eme2.2(Th´eor`emedesval eursinte rm´ediaires)Soita,b?R,aOncomme nceparremarquerqu'ilex isteun esuite(c
n n?N depoint sdeAt.q.li m n→+∞ c n =c(voir, parexem ple,l'exercice1.6).Parconti nuit´edefenc,ona donc f(c)=lim n→+∞ f(c n )et donc,c omme f(c n Onsupp osemaintenantquef(c)<γ(etonvamont rer quecec iestimpossible).On adoncct.q.f(c)=γparunrai sonnem entsemblableaupr´ec´edentenpren antA={x?[a,b]t.q.f(x)≥γ}.Ce
raisonnementn'estpasd´etaill´eici . Remarque2.3Voicideuxcons ´equencesimm ´ediatesduth´eor`emedesvaleursinterm´e diaires.1.Soita,b?R,a l'intervalledontlesbornessontf(a)etf(b). 2.SoitIuninte rvalledeRetfuneapplic ationcontinuedeIdansR.Alor s,fv´erifiela"propri´et´ed es
valeursinterm´ediai res",c'est`adire:Pourtouta,b?I,amontrequelacontin uit´edefimpliquequefv´erifielapropri´et´ed esvaleu rsinterm´ediaires.Lar´eciproque estfausse, c'est-`a-direquele faitquefv´erifielapropri´et´ed esvaleu rsinterm´ediairesn'impliquepasl a
continuit´edef.(La propri ´et´edesvaleursinterm´ediairesp eutˆetrep r´esent´eecommeune sortedecontinuit´e
aveclanotiond' ordredan sR,alor squelacon tinuit´ef aitplut ˆotappel`alanotiondedistance.)Nous verronsauchapitre3que si festd´eri vablede]a,b[dan sR,alor sf v´erifielapropri´et´ed esvaleu rs 2.3Fonction continuesuruninterval leferm´eborn´e
Th´eor`eme2.3(fonctioncontinuesurunc ompact )Soita,b?R,aD´emonstration: Etape1Onmontr etoutd'abordquefestmajor´ ee(c'est-`a-direqueIm( f)={f(x),x?[a,b]}est major´ee).Pourcela,onraisonneparl 'absurde.O nsupposedoncq uefn'estpasmajor´ee . Soitn?N,com mefn'estpasmajor´ee ,l'ens embleA
n ={x?[a,b]t.q.f(x)≥n}estnonvid e.Comme cetensemb leestmajor´eparb,il admetun ebornesup´er ieure,not´ eex n ,et onax n ?[a,b].Onsai taussi quex n estlimit ed'unesuitedepointd eA n .Com mefestcontin ueenx n ,ona donc f(x n )≥n. Lasu ite(x
n n?N estd´ecr oissante(carA n+1 ?A n )et minor´ ee(para).Elle estdoncconver gentedansR. Onposex=lim
n→+∞ x n n continueenx,ona lim n→+∞ f(x n )=f(x),cequ iimpos siblecarf(x n )≥npourtoutn?N(etdonc lim n→+∞ f(x n Onadonc mont r´equefestmajor´e e.Unraisonnementsimilairenon fai ticipermetdemontrerquefest minor´ee. Etape2OnnoteM=sup{Im(f)}.On montre maintenantqu'ilex isted?[a,b]t.q.f(d)=M.Pou r cela,onutilise unr aisonnementsemblable`ac eluide lapremi`ere´etape. 20 Soitn?N,On poseM
n =M- 1 n etB n ={x?[a,b]t.q.f(x)≥M n }.Com meM n n'estpasun majorantdeIm(f),l'e nsembleB n estnonvid e.Comme cetensembleestm ajor´eparb,il admetun e bornesup´eri eure,not´eey n ,et onay n ?[a,b].Comme y n estlimit ed'unesuitedepointd eB n etqu ef estcontinu eeny n ,ona donc f(y n )≥M n .(O naaussif(y n Lasu ite(y
n n?N estd´ecr oissante(carB n+1 ?B n )et minor´ ee(para).Elle estdoncconver gentedansR. Onposed=lim
n→+∞ y n n continueend,ona lim n→+∞ f(y n )=f(d).On end´e duitque f(d)=Menpassan t`alalimitesur les in´egalit´esM n =M- 1 n n Unrai sonnementsimilairenonfaiticiperme tdemontrerqu'ilexistec?[a,b]t.q.f(c)=m=inf(Im(f)). Exemple2.2Onpre ndiciI=]0,1[et f(x)=1/xpourx?]0,1[.Pourc etexempl e,l'applic ationfest nonmajor ´eeetelleestminor´eem aissabor neinf´erieur eestnonatt einte. Leth ´eor`eme2.2permetdemontrerque l'imaged 'unintervalleparune applicat ioncontinueestun intervalle.Avecleth´eor`eme2.3,ona mˆemeque l'imagep aruneapplicationcontinued'unint ervalle ferm´eborn´eestuni ntervalleferm´eb orn´e.Cec iestdon n´edansleth´eor`eme2.4. Th´eor`eme2.4(Imaged'uninterval leparuneap plicationcontinu e) SoitIintervalle(nonvide)deRetfuneapplic ationcontinuedeIdansR.OnposeIm(f)={f(x), x?I}.Alors: 1.L'ensembleIm(f)estun intervall e.(Autrementdit,l'imageparunea pplicationcontinued 'un
intervalleestunintervalle.) 2.SiI=[a,b]aveca,b?R,a m=inf(Im(f))etM=sup(Im(f))).(Aut rementdit,l'imageparunea pplicationcon tinued'un intervalleferm´eborn´eestun intervalleferm´e born´e.) D´emonstration:
Onmontr etoutd'abordle1eri temduth´e or`eme.SiIm(f)es tminor´ee ,onposeα=inf(Im(f)).S i Im(f)n' estpasminor´ee,on poseα=-∞(danscecas,onpos eaussii nf(Im(f))=-∞).Dem ˆe me,si
Im(f)es tmajor´ee ,onposeβ=sup(Im(f)).Si Im(f)n' estpasmajor´ee,on poseβ=+∞(danscecas,
onpos eaussisup (Im(f))= +∞). Lad´ efinitiondeαetβdonnedoncimm´ ediatement queIm(f)?[α,β].Pourm ontrerque Im(f)estun
intervalle,ilsu ffi tde montre rque]α,β[?Im(f). Soitγ?]α,β[.Comme γn'estpasunminoran tdeIm( f),il existea?It.q.f(a)<γ.De mˆeme, Comme
γn'estpasunmajoran tdeIm( f),il exist eb?It.q.f(b)>γ.le nombreγestdonccomp risentre f(a) etf(b).Comme festcontin uesurl'intervalleferm´ eborn´edon tlesbornessontaetb,le th´eor` emedes
valeursinterm´ediai res(th´eor`eme2.2)donnequ'ilexistexentreaetb(etdoncxdansI)t.q.f(x)=γ. Onadonc bi enmontr´eq ue]α,β[?Im(f)et doncqu eIm(f)es tuninter valle(c 'estunintervalledontles
bornessontαetβ). Onmontr emaintenantledeu xi`emeitemduth´eor`eme.Let h´eor` eme2.3montrequ'ilexistem,M?Ret c,d?[a,b]t.q.f(c)=m,f(d)=Metqu eIm(f)?[m,M).Puis leth´eor`emed esvale ursinterm´ediaires (th´eor`eme2.2)montrequepourtoutγ?[m,M],ilex istexentrecetd(etdoncx?[a,b])t. q.f(x)=γ. Onen d´eduit queIm(f)=[m,M].
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2.4Fonction strictementmonotonee tcontinue
funeapplic ationstrictementcroissante,continue,deIdansR.OnposeIm(f)={f(x),x?I},α= inf(Im(f))(avecinf(Im(f))= -∞siIm(f)estno nminor´ee),β=sup(Im(f))(avecsup(Im(f))= +∞ siIm(f)estno nmajor´ee).A lors: 1.Im(f)estunin terva lledontlesextr´emit´essontαetβ.OnnoteJcetint ervalle.
2.SiI=]a,b[,onaalorsJ=]α,β[.
3.L'applicationfestbiject ivedeIdansJ.
4.Onno teglafo nctionr´eciproquedef(c'est-`a-diregd´efiniedeJdansIt.q.g◦f(x)=xpourtout
x?Ietf◦g(x)=xpourtoutx?J).L'a pplicationgestcon tinueetstrictementcroissan te(de JdansI).
D´emonstration:
1.Leth ´eor`eme2.4donnequeIm(f)es tuninter valle.La d´efinitiondeαetβdonnealorsquel es
2.Pourmontre rqueIm(f)=]α,β[(l orsqueI=]a,b[),ilsuffitde montrer queα??Im(f)etβ??Im(f).
Pourcela,onr aisonneparl'abs urd e.Onsupposequeα?Im(f).Ilex isteal orsc?]a,b[t.q. f(c)=α(etdoncα?R).Mais, enprenanty?]a,c[,onaalor s,gr ˆace `alastricte croissancede f,f(y)3.Lafon ctionfestsurj ectivedeIdansJ(carJ=Im(f)).Ilrest e`amon trerquefestinjec tive,
maiscecie stunecons´equ encesimpl edelastr ictecroissancedef.En effet,soitx,y?I,x?=y.Si x>y,ona f(x)>f(y).Si x4.Onnoteglafonct ionr´eciproquedef(gestdoncd´ efiniedeJdansI).Onre marque toutd'abord
quegeststric tementcroissante.Eneffet,soitx,y?J,x2.SoitIuninte rvalledeRetfuneapplic ationcontinuedeIdansR.Alor s,fv´erifiela"propri´et´ed es
valeursinterm´ediai res",c'est`adire:Pourtouta,b?I,aestfausse, c'est-`a-direquele faitquefv´erifielapropri´et´ed esvaleu rsinterm´ediairesn'impliquepasl a
continuit´edef.(La propri ´et´edesvaleursinterm´ediairesp eutˆetrep r´esent´eecommeune sortedecontinuit´e
aveclanotiond' ordredan sR,alor squelacon tinuit´ef aitplut ˆotappel`alanotiondedistance.)Nous verronsauchapitre3que si festd´eri vablede]a,b[dan sR,alor sf v´erifielapropri´et´ed esvaleu rs2.3Fonction continuesuruninterval leferm´eborn´e
Th´eor`eme2.3(fonctioncontinuesurunc ompact )Soita,b?R,aSoitn?N,com mefn'estpasmajor´ee ,l'ens embleA
n ={x?[a,b]t.q.f(x)≥n}estnonvid e.Comme cetensemb leestmajor´eparb,il admetun ebornesup´er ieure,not´ eex n ,et onax n ?[a,b].Onsai taussi quex n estlimit ed'unesuitedepointd eA n .Com mefestcontin ueenx n ,ona donc f(x n )≥n.Lasu ite(x
n n?N estd´ecr oissante(carA n+1 ?A n )et minor´ ee(para).Elle estdoncconver gentedansR.Onposex=lim
n→+∞ x n n continueenx,ona lim n→+∞ f(x n )=f(x),cequ iimpos siblecarf(x n )≥npourtoutn?N(etdonc lim n→+∞ f(x n Onadonc mont r´equefestmajor´e e.Unraisonnementsimilairenon fai ticipermetdemontrerquefest minor´ee. Etape2OnnoteM=sup{Im(f)}.On montre maintenantqu'ilex isted?[a,b]t.q.f(d)=M.Pou r cela,onutilise unr aisonnementsemblable`ac eluide lapremi`ere´etape. 20Soitn?N,On poseM
n =M- 1 n etB n ={x?[a,b]t.q.f(x)≥M n }.Com meM n n'estpasun majorantdeIm(f),l'e nsembleB n estnonvid e.Comme cetensembleestm ajor´eparb,il admetun e bornesup´eri eure,not´eey n ,et onay n ?[a,b].Comme y n estlimit ed'unesuitedepointd eB n etqu ef estcontinu eeny n ,ona donc f(y n )≥M n .(O naaussif(y nLasu ite(y
n n?N estd´ecr oissante(carB n+1 ?B n )et minor´ ee(para).Elle estdoncconver gentedansR.Onposed=lim
n→+∞ y n n continueend,ona lim n→+∞ f(y n )=f(d).On end´e duitque f(d)=Menpassan t`alalimitesur les in´egalit´esM n =M- 1 n n Unrai sonnementsimilairenonfaiticiperme tdemontrerqu'ilexistec?[a,b]t.q.f(c)=m=inf(Im(f)). Exemple2.2Onpre ndiciI=]0,1[et f(x)=1/xpourx?]0,1[.Pourc etexempl e,l'applic ationfest nonmajor ´eeetelleestminor´eem aissabor neinf´erieur eestnonatt einte. Leth ´eor`eme2.2permetdemontrerque l'imaged 'unintervalleparune applicat ioncontinueestun intervalle.Avecleth´eor`eme2.3,ona mˆemeque l'imagep aruneapplicationcontinued'unint ervalle ferm´eborn´eestuni ntervalleferm´eb orn´e.Cec iestdon n´edansleth´eor`eme2.4. Th´eor`eme2.4(Imaged'uninterval leparuneap plicationcontinu e) SoitIintervalle(nonvide)deRetfuneapplic ationcontinuedeIdansR.OnposeIm(f)={f(x), x?I}.Alors:1.L'ensembleIm(f)estun intervall e.(Autrementdit,l'imageparunea pplicationcontinued 'un
intervalleestunintervalle.)2.SiI=[a,b]aveca,b?R,a m=inf(Im(f))etM=sup(Im(f))).(Aut rementdit,l'imageparunea pplicationcon tinued'un intervalleferm´eborn´eestun intervalleferm´e born´e.) D´emonstration:
Onmontr etoutd'abordle1eri temduth´e or`eme.SiIm(f)es tminor´ee ,onposeα=inf(Im(f)).S i Im(f)n' estpasminor´ee,on poseα=-∞(danscecas,onpos eaussii nf(Im(f))=-∞).Dem ˆe me,si
Im(f)es tmajor´ee ,onposeβ=sup(Im(f)).Si Im(f)n' estpasmajor´ee,on poseβ=+∞(danscecas,
onpos eaussisup (Im(f))= +∞). Lad´ efinitiondeαetβdonnedoncimm´ ediatement queIm(f)?[α,β].Pourm ontrerque Im(f)estun
intervalle,ilsu ffi tde montre rque]α,β[?Im(f). Soitγ?]α,β[.Comme γn'estpasunminoran tdeIm( f),il existea?It.q.f(a)<γ.De mˆeme, Comme
γn'estpasunmajoran tdeIm( f),il exist eb?It.q.f(b)>γ.le nombreγestdonccomp risentre f(a) etf(b).Comme festcontin uesurl'intervalleferm´ eborn´edon tlesbornessontaetb,le th´eor` emedes
valeursinterm´ediai res(th´eor`eme2.2)donnequ'ilexistexentreaetb(etdoncxdansI)t.q.f(x)=γ. Onadonc bi enmontr´eq ue]α,β[?Im(f)et doncqu eIm(f)es tuninter valle(c 'estunintervalledontles
bornessontαetβ). Onmontr emaintenantledeu xi`emeitemduth´eor`eme.Let h´eor` eme2.3montrequ'ilexistem,M?Ret c,d?[a,b]t.q.f(c)=m,f(d)=Metqu eIm(f)?[m,M).Puis leth´eor`emed esvale ursinterm´ediaires (th´eor`eme2.2)montrequepourtoutγ?[m,M],ilex istexentrecetd(etdoncx?[a,b])t. q.f(x)=γ. Onen d´eduit queIm(f)=[m,M].
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2.4Fonction strictementmonotonee tcontinue
funeapplic ationstrictementcroissante,continue,deIdansR.OnposeIm(f)={f(x),x?I},α= inf(Im(f))(avecinf(Im(f))= -∞siIm(f)estno nminor´ee),β=sup(Im(f))(avecsup(Im(f))= +∞ siIm(f)estno nmajor´ee).A lors: 1.Im(f)estunin terva lledontlesextr´emit´essontαetβ.OnnoteJcetint ervalle.
2.SiI=]a,b[,onaalorsJ=]α,β[.
3.L'applicationfestbiject ivedeIdansJ.
4.Onno teglafo nctionr´eciproquedef(c'est-`a-diregd´efiniedeJdansIt.q.g◦f(x)=xpourtout
x?Ietf◦g(x)=xpourtoutx?J).L'a pplicationgestcon tinueetstrictementcroissan te(de JdansI).
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1.Leth ´eor`eme2.4donnequeIm(f)es tuninter valle.La d´efinitiondeαetβdonnealorsquel es
2.Pourmontre rqueIm(f)=]α,β[(l orsqueI=]a,b[),ilsuffitde montrer queα??Im(f)etβ??Im(f).
Pourcela,onr aisonneparl'abs urd e.Onsupposequeα?Im(f).Ilex isteal orsc?]a,b[t.q. f(c)=α(etdoncα?R).Mais, enprenanty?]a,c[,onaalor s,gr ˆace `alastricte croissancede f,f(y)3.Lafon ctionfestsurj ectivedeIdansJ(carJ=Im(f)).Ilrest e`amon trerquefestinjec tive,
maiscecie stunecons´equ encesimpl edelastr ictecroissancedef.En effet,soitx,y?I,x?=y.Si x>y,ona f(x)>f(y).Si xD´emonstration:
Onmontr etoutd'abordle1eri temduth´e or`eme.SiIm(f)es tminor´ee ,onposeα=inf(Im(f)).S iIm(f)n' estpasminor´ee,on poseα=-∞(danscecas,onpos eaussii nf(Im(f))=-∞).Dem ˆe me,si
Im(f)es tmajor´ee ,onposeβ=sup(Im(f)).Si Im(f)n' estpasmajor´ee,on poseβ=+∞(danscecas,
onpos eaussisup (Im(f))= +∞).Lad´ efinitiondeαetβdonnedoncimm´ ediatement queIm(f)?[α,β].Pourm ontrerque Im(f)estun
intervalle,ilsu ffi tde montre rque]α,β[?Im(f).Soitγ?]α,β[.Comme γn'estpasunminoran tdeIm( f),il existea?It.q.f(a)<γ.De mˆeme, Comme
γn'estpasunmajoran tdeIm( f),il exist eb?It.q.f(b)>γ.le nombreγestdonccomp risentre f(a)etf(b).Comme festcontin uesurl'intervalleferm´ eborn´edon tlesbornessontaetb,le th´eor` emedes
valeursinterm´ediai res(th´eor`eme2.2)donnequ'ilexistexentreaetb(etdoncxdansI)t.q.f(x)=γ.Onadonc bi enmontr´eq ue]α,β[?Im(f)et doncqu eIm(f)es tuninter valle(c 'estunintervalledontles
bornessontαetβ). Onmontr emaintenantledeu xi`emeitemduth´eor`eme.Let h´eor` eme2.3montrequ'ilexistem,M?Ret c,d?[a,b]t.q.f(c)=m,f(d)=Metqu eIm(f)?[m,M).Puis leth´eor`emed esvale ursinterm´ediaires (th´eor`eme2.2)montrequepourtoutγ?[m,M],ilex istexentrecetd(etdoncx?[a,b])t. q.f(x)=γ.