f(x) = ( x + exp(1/x2), si x > 0 sin x, si x 0 1 Montrer que f est dérivable en tout point x de R⇤ en calculant sa dérivée 2 f est-elle dérivable
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L1UCBL2016-2017 FondamentauxdesmathématiquesI
Feuille10.Dérivabilité
Questiongénérale.Pour lesfonctionsconsidérées danscettefeui lle,onprécisera le domainededéfinition.Exercice1.
Préciserpourchacune desfonctionssuivantes enquelspoints ellessontdérivables,dérivablesàdr oite,dérivablesà gauche,etlesvaleursde leursdérivées,dérivées à
droite,dérivéesàgauche.1.f(x)=cos(cosx).
2.g(x)=
|sinx|.3.h(x)=
1+cosx.
Exercice2.
Étudierlacontinuité etladérivabilité delafonction fdeRversRdéfiniepar: f(x)= e x "x,six<0 cos 2 (!x),si0#x#1 1+ lnx x ,six>1Exercice3.
Pourchacune desexpressions y(t)ci-dessous,calculer dy dt 1)t 4 +3t 2 "6,2)6t 7/2 +4t 5/2 "2t,3) 3t+ 3 t+ 1 t ,4)te t ,5)t 2 e t ,6)t(t+3)e t7)tsintlnt,8)
5"t 5+t ,9) t 3 1+t 2 ,10) t 3 +1 t 2 "t"2 ,11) lnt t 3 ,12) (t+1) 3 t ,13) 1+t 1+ t 14) cost sint ,15) sint1+cost
Exercice4.
Pourchacunedes fonctionsfdéfiniesci-dessous,calculer lafonctiondérivée f 1)e 3x ,2)cos(5x),3)ln(2x),4)ln(|2x|),5)ln( "2x),6)(1 "x) 7/3 ,7)sin(cosx),8)sin(cos(3x)),9)ln(sin
2 x),10) 3 x 2 +x+1,11)e "x 2 ,12)2 lnx ,13) 5+4x 1+2 1+x 1L1UCBL2016-2017 FondamentauxdesmathématiquesI
14)ln(|e
2ı!x
Exercice5.
Soitflafonctionréelle d'unevariableréelle définiepar: f(x)= x+exp("1/x 2 ),six>0 sinx,six#01.Montrerquefestdérivableen toutpointxdeR
encalculantsa dérivée.2.fest-elledérivable en0?
3.f estellecontinue en0?4.fest-elledeuxfois dérivableen0?
Exercice6.
Soitf n (x)lesfonctionsdéfinies par f n (x)= x n sin(1/x),six$=00,six=0
1.Pourquelle valeurden,a-t-onf
n continue?2.Pourquelle valeurden,a-t-onf
n dérivable?3.Pourquelle valeurden,a-t-onf
n continue?4.Pourquelle valeurden,a-t-onf
n dérivable?Exercice7.
1.Montrerquepourtousréels aetbavec0#a b"a 1+b 2 2.Endéduir eque:
4 3 251.Montrerquepourtousréels xety:|cosy"cosx|#|y"x|.
2.Montrerquepourtousréels xetytelsquex$=y:|cosy"cosx|<|y"x|.
2L1UCBL2016-2017 FondamentauxdesmathématiquesI
Exercice9.Montrerquepourtoutentier k%1:0Commentsecomp ortela suite(H
n )determegénéral H n =1+ 1 2 1 3 1 n quand ntendversl'infini ?Exercice10.
1.Utiliserl'exerciceprécédentpour montrerquepour"#1
lim n$% n k=1 1 k2.Onsuppose maintenant">1.Pourk%2,comparer
""1 k et 1 (k"1) ""1 1 k ""13.Toujourspour">1,montrer que
lim n$% n k=1 1 k =#,avec#< ""1Exercice11. Montrerque100+
1 200estuneappr oximationparexcès de
10001,etque
l'erreurd'approximationest inférieureà 14·10
6Exercice12.
Soitfde[0,1]versRunefonctiontr oisfoisdérivable.1.Onsupposeque f(0)=f
(0)= f (0)= 0etquef(1)=0 .Montrer quef s'annule quelquepartdans ]0,1[.2.Onsuppose iciquef(0)=f(1/3)=f(2/3)= f(1)=0 .Montrer lemêmerésultat.
3.Onsupposeici quef(0)=f
(0)= 0etquef(1)=f (1)= 0.Montrer lemême résultat.Exercice13.Soitf:R'Rdérivable.Calculer lim
x$a af(x)"xf(a) x"a ,pourun a(R.Exercice14.
Soita 3 L1UCBL2016-2017 FondamentauxdesmathématiquesI
Existe-t-ilunefonction dérivablefde[a,b[versRtelleque l'onaitsimultanément le comportementasymptotiquelim x$b" f(x)=&etla majoration|f #1? Exercice15.
Soitfde[0,1]versRuneapplicationcontinue sur [0,1]telleque f(0)= 0 etf(1)=1 . Onsupposeque festdérivable en0et en1et quel'ona f (0)= f (1)=0 . 1.Montrerqu'ilexisteun"dans]0,1[telquef(")=".[Indication: étudierla fonc-
tiong(x):=f(x)"x.] 2.Onsupposede plusquefestdeuxfois dérivablesur[0,1].Montrer qu'ilexisteun
$dans]0,1[telque |f ($)|%4.[Indication :raisonnerparl'absurde etétudierles fonctionsx)'f(x)"2x 2 etx)'1"f(x)"2(1"x) 2 Exercice16.Soitflafonctiondéfinie parf(x)=xlnx"x. 1.Enappliquant àflethéorème desaccroissements finis,montrer quepourtout
n%1,ona : lnn#f(n+1)"f(n)#ln(n+1). 2.Endéduir equepourtoutn%1,ona :
ln1+ln2+ ···+lnn#f(n+1)+1#ln2+ln3 +···+ln(n+1). 3.Endéduir equepourtoutn%1,ona :
e n e n #n!#e n+1 e n+1 Exercice17.[ThéorèmedeSturm.] Onconsidèr eunefonction deuxfoisdérivable f: (x)|#f(x),*x([0,b].Le théorèmedeSturm affirme queb%!.Preuve parl'absurde:on supposeb1.Onposeg(x):=f (x)sinx"f(x)cosx.Montrer quegestcroissante, puisqueg estpositive. 2.Onposeh(x):=
f(x) sinx ,x>0.Dela questionprécédente,déduir eque hestcrois- sante. 3.Calculerh(b)etobtenirune contradiction.
4 L1UCBL2016-2017 FondamentauxdesmathématiquesI
Feuille10.Dérivabilité
Questiongénérale.Pour lesfonctionsconsidérées danscettefeui lle,onprécisera le domainededéfinition. Exercice1.
Préciserpourchacune desfonctionssuivantes enquelspoints ellessontdérivables, dérivablesàdr oite,dérivablesà gauche,etlesvaleursde leursdérivées,dérivées à
droite,dérivéesàgauche. 1.f(x)=cos(cosx).
2.g(x)=
|sinx|. 3.h(x)=
1+cosx.
Correction:
1.Lafonctioncosxestdérivable surRdoncf(x)estaussi dérivablesurRdedérivée
f (x)=s in(c osx)sin(x). 2.Lafonctiong(x)est!périodique.Comme sinxestpartoutdérivable, |x|estdéri-
vableendehors de0,et xestdérivablesur R ,ona queg(x)estdérivable sur ]0,![dedérivéef (x)= cosx 2sinx x#0 g(x) x =lim x#0 1 x n'estpasfinie (idemen 0 3.hest2!périodique.Endehors de!,hestdérivablede dérivéeh
(x)= %sinx 2 1+cosx
lim x#! 1+cosx
x%! =lim y#0 1%cosy
y =lim y#0 |y| 2y 1 2 .Cequi donnelavaleur de ladérivéeà droite. Parcontre en! onobtiendra" 1 2 ,cequi donnelavaleur de ladérivée àgauche. Exercice2.
Étudierlacontinuité etladérivabilité delafonction fdeRversRdéfiniepar: f(x)= e x "x,six<0 cos 2 (!x),si0#x#1 1+ lnx x ,six>1 Correction:
Lafonctionest clairement continueendehors de0et1,continueà droiteen 0età gaucheen1.Commelim x#0 !e x "x=1=f(0),elleest aussicontinueà gaucheen0 etcommelim x#1 +1+ lnx x =1=f(1)elleestaussi continueàdr oiteen1.Elleest donc partoutcontinue. 1 L1UCBL2016-2017 FondamentauxdesmathématiquesI
Pourx<0,festdérivablede dérivéef
(x)=e x "1. Pour0 (x)="2!cos(!x)sin(!x). Pourx>1,festdérivablede dérivéef
(x)= 1%lnx x 2 Onalim
x#0 f(x)%f(0) x =lim x#0 x 2 2x =0etlim x#0 f(x)%f(0) x =lim x#0 cos 2 (!x)%1 x lim x#0 %(!x) 2 (cos(!x)+1) 2x =0.Lafonction festdoncdérivable enOdedérivéef (0)= 0. Onalim
x#1 f(x)%f(1) x%1 =lim x#1 cos 2 (!x)%1 x%1 =lim y#0 cos 2 (!y)%1 y =lim y#0 %(!y) 2 (cos(!y)+1) 2y 0etlim
x#1 f(x)%f(1) x%1 =lim x#1 lnx x(x%1) =lim y#0 ln(y+1) y(y+1) =1.Doncfadmetunedérivée à droiteetunedérivéeà gaucheen1maisn'estpas dérivable. Exercice3.
Pourchacunedes expressionsy(t)ci-dessous,calculer
dy dt 1)t 4 +3t 2 "6,2)6t 7/2 +4t 5/2 "2t,3) 3t+ 3 t+ 1 t ,4)te t ,5)t 2 e t ,6)t(t+3)e t 7)tsintlnt,8)
5"t 5+t ,9) t 3 1+t 2quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25
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Existe-t-ilunefonction dérivablefde[a,b[versRtelleque l'onaitsimultanément le comportementasymptotiquelim x$b" f(x)=&etla majoration|f #1?Exercice15.
Soitfde[0,1]versRuneapplicationcontinue sur [0,1]telleque f(0)= 0 etf(1)=1 . Onsupposeque festdérivable en0et en1et quel'ona f (0)= f (1)=0 .1.Montrerqu'ilexisteun"dans]0,1[telquef(")=".[Indication: étudierla fonc-
tiong(x):=f(x)"x.]2.Onsupposede plusquefestdeuxfois dérivablesur[0,1].Montrer qu'ilexisteun
$dans]0,1[telque |f ($)|%4.[Indication :raisonnerparl'absurde etétudierles fonctionsx)'f(x)"2x 2 etx)'1"f(x)"2(1"x) 2 Exercice16.Soitflafonctiondéfinie parf(x)=xlnx"x.1.Enappliquant àflethéorème desaccroissements finis,montrer quepourtout
n%1,ona : lnn#f(n+1)"f(n)#ln(n+1).2.Endéduir equepourtoutn%1,ona :
ln1+ln2+ ···+lnn#f(n+1)+1#ln2+ln3 +···+ln(n+1).3.Endéduir equepourtoutn%1,ona :
e n e n #n!#e n+1 e n+1 Exercice17.[ThéorèmedeSturm.] Onconsidèr eunefonction deuxfoisdérivable f: (x)|#f(x),*x([0,b].Le théorèmedeSturm affirme queb%!.Preuve parl'absurde:on supposeb1.Onposeg(x):=f (x)sinx"f(x)cosx.Montrer quegestcroissante, puisqueg estpositive.2.Onposeh(x):=
f(x) sinx ,x>0.Dela questionprécédente,déduir eque hestcrois- sante.3.Calculerh(b)etobtenirune contradiction.
4L1UCBL2016-2017 FondamentauxdesmathématiquesI
Feuille10.Dérivabilité
Questiongénérale.Pour lesfonctionsconsidérées danscettefeui lle,onprécisera le domainededéfinition.Exercice1.
Préciserpourchacune desfonctionssuivantes enquelspoints ellessontdérivables,dérivablesàdr oite,dérivablesà gauche,etlesvaleursde leursdérivées,dérivées à
droite,dérivéesàgauche.