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f(x) = ( x + exp(1/x2), si x > 0 sin x, si x 0 1 Montrer que f est dérivable en tout point x de R⇤ en calculant sa dérivée 2 f est-elle dérivable 



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ce qui montre que f est continue en x0 La réciproque est fausse Par exemple, la fonction f : x ↦→ x est continue en 0, mais n'est pas dérivable en ce point



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ENIHP1 mathématiques continuité et dérivabilité p 2/10 Exemple : Montrer que la fonction f définie par f(x)=x² ln x pour x >0 et f(0)=0 est continue en 0 puis sur 



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Méthode 1 : Pour montrer qu'une fonction est dérivable sur un intervalle I • S'il n'y a Montrer que f est dérivable sur [0; +∞[ et calculer sa dérivée Solution : f 



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FONCTIONS DERIVABLES 1 La dérivée d'une fonction Définition Soient I un intervalle de R, f : I → R une fonction et a ∈ I On dit que f est dérivable en a si



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3) a) Montrer que f est dérivable à gauche en 1 b) Déterminer une équation de la tangente à gauche à la courbe C au point A Tracer également cette tangente 4)  



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On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I Dans ce cas , la fonction qui à tout On veut démontrer que : lim +→k ( )> +ℎ?



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lim h→0 f(x0 + h) − f(x0) h Exemple : Soit la fonction f(x) = ln(1 + x) Montrer que f est dérivable en x = 0 Le taux d'accroissement de f en 0 est : f(x) − f(0) x − 0



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f(x) = ( x + exp(1/x2), si x > 0 sin x, si x 0 1 Montrer que f est dérivable en tout point x de R⇤ en calculant sa dérivée 2 f est-elle dérivable 

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L1UCBL2016-2017 FondamentauxdesmathématiquesI

Feuille10.Dérivabilité

Questiongénérale.Pour lesfonctionsconsidérées danscettefeui lle,onprécisera le domainededéfinition.

Exercice1.

Préciserpourchacune desfonctionssuivantes enquelspoints ellessontdérivables,

dérivablesàdr oite,dérivablesà gauche,etlesvaleursde leursdérivées,dérivées à

droite,dérivéesàgauche.

1.f(x)=cos(cosx).

2.g(x)=

|sinx|.

3.h(x)=

1+cosx.

Exercice2.

Étudierlacontinuité etladérivabilité delafonction fdeRversRdéfiniepar: f(x)= e x "x,six<0 cos 2 (!x),si0#x#1 1+ lnx x ,six>1

Exercice3.

Pourchacune desexpressions y(t)ci-dessous,calculer dy dt 1)t 4 +3t 2 "6,2)6t 7/2 +4t 5/2 "2t,3) 3t+ 3 t+ 1 t ,4)te t ,5)t 2 e t ,6)t(t+3)e t

7)tsintlnt,8)

5"t 5+t ,9) t 3 1+t 2 ,10) t 3 +1 t 2 "t"2 ,11) lnt t 3 ,12) (t+1) 3 t ,13) 1+t 1+ t 14) cost sint ,15) sint

1+cost

Exercice4.

Pourchacunedes fonctionsfdéfiniesci-dessous,calculer lafonctiondérivée f 1)e 3x ,2)cos(5x),3)ln(2x),4)ln(|2x|),5)ln( "2x),6)(1 "x) 7/3 ,7)sin(cosx),

8)sin(cos(3x)),9)ln(sin

2 x),10) 3 x 2 +x+1,11)e "x 2 ,12)2 lnx ,13) 5+4x 1+2 1+x 1

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14)ln(|e

2ı!x

Exercice5.

Soitflafonctionréelle d'unevariableréelle définiepar: f(x)= x+exp("1/x 2 ),six>0 sinx,six#0

1.Montrerquefestdérivableen toutpointxdeR

encalculantsa dérivée.

2.fest-elledérivable en0?

3.f estellecontinue en0?

4.fest-elledeuxfois dérivableen0?

Exercice6.

Soitf n (x)lesfonctionsdéfinies par f n (x)= x n sin(1/x),six$=0

0,six=0

1.Pourquelle valeurden,a-t-onf

n continue?

2.Pourquelle valeurden,a-t-onf

n dérivable?

3.Pourquelle valeurden,a-t-onf

n continue?

4.Pourquelle valeurden,a-t-onf

n dérivable?

Exercice7.

1.Montrerquepourtousréels aetbavec0#a b"a 1+b 2 2.Endéduir eque:

4 3 25
Exercice8.

1.Montrerquepourtousréels xety:|cosy"cosx|#|y"x|.

2.Montrerquepourtousréels xetytelsquex$=y:|cosy"cosx|<|y"x|.

2

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Exercice9.Montrerquepourtoutentier k%1:0Endéduire quepourtoutentiern%1: ln(n+1)#1+ 1 2 1 3 1 n

Commentsecomp ortela suite(H

n )determegénéral H n =1+ 1 2 1 3 1 n quand ntendversl'infini ?

Exercice10.

1.Utiliserl'exerciceprécédentpour montrerquepour"#1

lim n$% n k=1 1 k

2.Onsuppose maintenant">1.Pourk%2,comparer

""1 k et 1 (k"1) ""1 1 k ""1

3.Toujourspour">1,montrer que

lim n$% n k=1 1 k =#,avec#< ""1

Exercice11. Montrerque100+

1 200
estuneappr oximationparexcès de

10001,etque

l'erreurd'approximationest inférieureà 1

4·10

6

Exercice12.

Soitfde[0,1]versRunefonctiontr oisfoisdérivable.

1.Onsupposeque f(0)=f

(0)= f (0)= 0etquef(1)=0 .Montrer quef s'annule quelquepartdans ]0,1[.

2.Onsuppose iciquef(0)=f(1/3)=f(2/3)= f(1)=0 .Montrer lemêmerésultat.

3.Onsupposeici quef(0)=f

(0)= 0etquef(1)=f (1)= 0.Montrer lemême résultat.

Exercice13.Soitf:R'Rdérivable.Calculer lim

x$a af(x)"xf(a) x"a ,pourun a(R.

Exercice14.

Soita 3

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Existe-t-ilunefonction dérivablefde[a,b[versRtelleque l'onaitsimultanément le comportementasymptotiquelim x$b" f(x)=&etla majoration|f #1?

Exercice15.

Soitfde[0,1]versRuneapplicationcontinue sur [0,1]telleque f(0)= 0 etf(1)=1 . Onsupposeque festdérivable en0et en1et quel'ona f (0)= f (1)=0 .

1.Montrerqu'ilexisteun"dans]0,1[telquef(")=".[Indication: étudierla fonc-

tiong(x):=f(x)"x.]

2.Onsupposede plusquefestdeuxfois dérivablesur[0,1].Montrer qu'ilexisteun

$dans]0,1[telque |f ($)|%4.[Indication :raisonnerparl'absurde etétudierles fonctionsx)'f(x)"2x 2 etx)'1"f(x)"2(1"x) 2 Exercice16.Soitflafonctiondéfinie parf(x)=xlnx"x.

1.Enappliquant àflethéorème desaccroissements finis,montrer quepourtout

n%1,ona : lnn#f(n+1)"f(n)#ln(n+1).

2.Endéduir equepourtoutn%1,ona :

ln1+ln2+ ···+lnn#f(n+1)+1#ln2+ln3 +···+ln(n+1).

3.Endéduir equepourtoutn%1,ona :

e n e n #n!#e n+1 e n+1 Exercice17.[ThéorèmedeSturm.] Onconsidèr eunefonction deuxfoisdérivable f: (x)|#f(x),*x([0,b].Le théorèmedeSturm affirme queb%!.Preuve parl'absurde:on supposeb1.Onposeg(x):=f

(x)sinx"f(x)cosx.Montrer quegestcroissante, puisqueg estpositive.

2.Onposeh(x):=

f(x) sinx ,x>0.Dela questionprécédente,déduir eque hestcrois- sante.

3.Calculerh(b)etobtenirune contradiction.

4

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Feuille10.Dérivabilité

Questiongénérale.Pour lesfonctionsconsidérées danscettefeui lle,onprécisera le domainededéfinition.

Exercice1.

Préciserpourchacune desfonctionssuivantes enquelspoints ellessontdérivables,

dérivablesàdr oite,dérivablesà gauche,etlesvaleursde leursdérivées,dérivées à

droite,dérivéesàgauche.

1.f(x)=cos(cosx).

2.g(x)=

|sinx|.

3.h(x)=

1+cosx.

Correction:

1.Lafonctioncosxestdérivable surRdoncf(x)estaussi dérivablesurRdedérivée

f (x)=s in(c osx)sin(x).

2.Lafonctiong(x)est!périodique.Comme sinxestpartoutdérivable, |x|estdéri-

vableendehors de0,et xestdérivablesur R ,ona queg(x)estdérivable sur ]0,![dedérivéef (x)= cosx 2sinx x#0 g(x) x =lim x#0 1 x n'estpasfinie (idemen 0

3.hest2!périodique.Endehors de!,hestdérivablede dérivéeh

(x)= %sinx 2

1+cosx

lim x#!

1+cosx

x%! =lim y#0

1%cosy

y =lim y#0 |y| 2y 1 2 .Cequi donnelavaleur de ladérivéeà droite. Parcontre en! onobtiendra" 1 2 ,cequi donnelavaleur de ladérivée àgauche.

Exercice2.

Étudierlacontinuité etladérivabilité delafonction fdeRversRdéfiniepar: f(x)= e x "x,six<0 cos 2 (!x),si0#x#1 1+ lnx x ,six>1

Correction:

Lafonctionest clairement continueendehors de0et1,continueà droiteen 0età gaucheen1.Commelim x#0 !e x "x=1=f(0),elleest aussicontinueà gaucheen0 etcommelim x#1 +1+ lnx x =1=f(1)elleestaussi continueàdr oiteen1.Elleest donc partoutcontinue. 1

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Pourx<0,festdérivablede dérivéef

(x)=e x "1.

Pour0 (x)="2!cos(!x)sin(!x).

Pourx>1,festdérivablede dérivéef

(x)= 1%lnx x 2

Onalim

x#0 f(x)%f(0) x =lim x#0 x 2 2x =0etlim x#0 f(x)%f(0) x =lim x#0 cos 2 (!x)%1 x lim x#0 %(!x) 2 (cos(!x)+1) 2x =0.Lafonction festdoncdérivable enOdedérivéef (0)= 0.

Onalim

x#1 f(x)%f(1) x%1 =lim x#1 cos 2 (!x)%1 x%1 =lim y#0 cos 2 (!y)%1 y =lim y#0 %(!y) 2 (cos(!y)+1) 2y

0etlim

x#1 f(x)%f(1) x%1 =lim x#1 lnx x(x%1) =lim y#0 ln(y+1) y(y+1) =1.Doncfadmetunedérivée à droiteetunedérivéeà gaucheen1maisn'estpas dérivable.

Exercice3.

Pourchacunedes expressionsy(t)ci-dessous,calculer

dy dt 1)t 4 +3t 2 "6,2)6t 7/2 +4t 5/2 "2t,3) 3t+ 3 t+ 1 t ,4)te t ,5)t 2 e t ,6)t(t+3)e t

7)tsintlnt,8)

5"t 5+t ,9) t 3 1+t 2quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25