On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I Dans ce cas , la fonction qui à tout On veut démontrer que : lim +→k ( )> +ℎ?
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ce qui montre que f est continue en x0 La réciproque est fausse Par exemple, la fonction f : x ↦→ x est continue en 0, mais n'est pas dérivable en ce point
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On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I Dans ce cas , la fonction qui à tout On veut démontrer que : lim +→k ( )> +ℎ?
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f(x) = ( x + exp(1/x2), si x > 0 sin x, si x 0 1 Montrer que f est dérivable en tout point x de R⇤ en calculant sa dérivée 2 f est-elle dérivable
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DÉRIVATION - Chapitre 2/3
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/uMSNllPBFhQPartie 1 : Dérivées des fonctions usuelles
1) Exemple :
Démonstration au programme : Dérivée de la fonction carréVidéo https://youtu.be/-nRmE8yFSSg
Soit la fonction définie sur ℝ par Démontrons que pour tout réel, on : ′ =2. Calculons le nombre dérivé de la fonction en (nombre réel quelconque).Pour ℎ≠0 :
= 2+ℎOr : lim
= lim2+ℎ = 2
Pour tout nombre , on associe le nombre dérivé de la fonction égal à 2.
On a donc défini sur ℝ une fonction, notée ′ dont l'expression est ′
=2. Cette fonction s'appelle la fonction dérivée de . Le mot " dérivé » vient du latin " derivare » qui signifiait " détourner un cours d'eau ». Le mot a été introduit par le mathématicien franco-italien Joseph Louis Lagrange (1736 ; 1813) pour signifier que cette nouvelle fonction dérive (au sens de "provenir") d'une autre fonction. Démonstration au programme : Dérivée de la fonction inverseVidéo https://youtu.be/rQ1XfMN5pdk
Soit la fonction définie sur ℝ\{0} par Démontrons que pour tout de ℝ\{0}, on a : ′ 1 2Pour ℎ≠0 et ℎ≠- :
Or : lim
= lim 5- 1 6 = - Pour tout nombre , on associe le nombre dérivé de la fonction égal à - Ainsi, pour tout de ℝ\{0}, on a : ′ 1 2 2Définitions :
On dit que la fonction est dérivable sur un intervalle ,si elle est dérivable en tout réel
de .Dans ce cas, la fonction qui à tout réel de associe le nombre dérivé de en est appelée
fonction dérivée de et se note ′.2) Dérivées des fonctions usuelles :
Fonction Dérivée
=0 =2 ≥1 entier ≥1 entier +1Méthode : Dériver les fonctions usuelles
Vidéo https://youtu.be/9Mann4wOGJA
Calculer la dérivée de chacune des fonctions : =100 ; =-5 ; ℎCorrection
=100→ =0 =-5→′ =-5 =4 5 63) Cas de la fonction racine carrée
On peut lire dans le tableau plus haut que la fonction racine carrée est définie sur l'intervalle
0;+∞
mais dérivable sur l'intervalle ]0;+∞[. 3 Démonstration au programme : Non dérivabilité de la fonction racine carrée en 0Vidéo https://youtu.be/N5wnOoLDrjo
Soit la fonction définie sur
0;+∞
par On calcule le taux d'accroissement de en 0 :Pour ℎ>0 :
5$% 5 5$%' 5Or : lim
0+ℎ
0 = lim 1En effet, lorsque ℎ tend vers 0,
prend des valeurs de plus en plus grandes.Donc n'est pas dérivable en 0.
Géométriquement, cela signifie que la courbe représentative de la fonction racine carrée admet une tangente verticale en 0. Partie 2 : Opérations sur les fonctions dérivées1) Opérations sur les fonctions dérivées :
et sont deux fonctions dérivables.Démonstration au programme pour le produit :
Vidéo https://youtu.be/PI4A8TLGnxE
Soit et deux fonctions dérivables sur un intervalle . On veut démontrer que pour tout de , on a : limFonction Dérivée
1 4 0 1 En passant à la limite lorsque ℎ tend vers 0, on a : lim = ′() et lim Car et sont dérivables sur .Et,lim
Soit, lim
Ainsi :
Méthode : Calculer les dérivées de sommes, produits et quotients de fonctionsVidéo https://youtu.be/ehHoLK98Ht0
Vidéo https://youtu.be/1fOGueiO_zk
Vidéo https://youtu.be/OMsZNNIIdrw
Vidéo https://youtu.be/jOuC7aq3YkM
Vidéo https://youtu.be/-MfEczGz_6Y
Dans chaque cas, calculer la fonction dérivée de : a) =3 +4 b) =5 -3 c)3
+45-1
d) 12
2 +5 e)6-5
2 -2-1Correction
a) avec =3 =3×2=6 =4 =4Donc : ′
= 6 + b) avec =5 ()=5×3 =15 =-3 ()=-3×2=-6Donc :
()=15 +(-6)=15 -6 c) avec =3 +4 → ()=6+4 =5-1 →′ =5Donc : ′
6+4
5-1
3
+4 ×5 =30 -6+20-4+15 +20 5 =45 +34-4d) 1 avec =2 +5 → ()=4+5