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ce qui montre que f est continue en x0 La réciproque est fausse Par exemple, la fonction f : x ↦→ x est continue en 0, mais n'est pas dérivable en ce point

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Si dans un énoncé, on demande de montrer qu'une fonction est dérivable sur un intervalle, il y a juste une phrase à faire Exemple Montrer que f(x) = (x² + 3x) 8

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ENIHP1 mathématiques continuité et dérivabilité p 2/10 Exemple : Montrer que la fonction f définie par f(x)=x² ln x pour x >0 et f(0)=0 est continue en 0 puis sur 

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Méthode 1 : Pour montrer qu'une fonction est dérivable sur un intervalle I • S'il n'y a Montrer que f est dérivable sur [0; +∞[ et calculer sa dérivée Solution : f 

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FONCTIONS DERIVABLES 1 La dérivée d'une fonction Définition Soient I un intervalle de R, f : I → R une fonction et a ∈ I On dit que f est dérivable en a si

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3) a) Montrer que f est dérivable à gauche en 1 b) Déterminer une équation de la tangente à gauche à la courbe C au point A Tracer également cette tangente 4)  

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On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I Dans ce cas , la fonction qui à tout On veut démontrer que : lim +→k ( )> +ℎ?

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lim h→0 f(x0 + h) − f(x0) h Exemple : Soit la fonction f(x) = ln(1 + x) Montrer que f est dérivable en x = 0 Le taux d'accroissement de f en 0 est : f(x) − f(0) x − 0

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f(x) = ( x + exp(1/x2), si x > 0 sin x, si x 0 1 Montrer que f est dérivable en tout point x de R⇤ en calculant sa dérivée 2 f est-elle dérivable 

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Analyse 1

FONCTIONS DERIVABLES

1. La derivee d'une fonction

Denition.SoientIun intervalle deR,f:I!Rune fonction eta2I. On dit quefestderivableenasi f(x)f(a)xa tend vers une limite quandxtend versa. Si elle existe, cette limite, noteef0(a), s'appelle laderiveedefena. Interpretation geometrique.Le rapportf(x)f(a)xaest la pente de la secante (droite passant par les points (a;f(a)) et (x;f(x))). Sa limite est la pente de la tangente au graphe defen (a;f(a)). Doncfest derivable enasi et seulement si son graphe admet une tangente en (a;f(a)). Proposition.Sifest derivable ena, alorsfest continue ena. La reciproque est fausse. Denition.On dit que la fonctionf:I!Restderivablesifest derivable en touta2I. On denit alors sa deriveef0:I!R.

2. Regles de calcul

Derivee d'une somme

Proposition.Soientf;g:I!Reta2R. Sifetgsont derivables ena, alors f+gest derivable enaet(f+g)0(a) =f0(a) +g0(a). Plus generalement sous les m^emes hypotheses, pour;2R,f+gest derivable enaet (f+g)0(a) =f0(a) +g0(a). On dit que l'operation de derivation est lineaire.

Derivee d'un produit

Proposition.Soientf;g:I!Reta2I. Sifetgsont derivables ena, alors fgest derivable enaet(fg)0(a) =f0(a)g(a) +f(a)g0(a).

Derivee d'un quotient

Proposition.Soientf;g:I!Reta2Ravecg(a)6= 0. Sifetgsont derivables ena, alorsf=gest derivable enaet f=g0(a) =f0(a)g(a)f(a)g0(a)g(a)2

Derivee d'une fonction composee

Proposition.Soientf:I!R,g:J!R, avecf(I)Jeta2I. Sifest derivable enaetgest derivable enf(a), alorsgfest derivable enaet (gf)0(a) =g0(f(a)):f0(a)

3. La condition necessaire du 1er ordre

Theoreme.SoitIun intervalle ouvert etf:I!R. Sifatteint un maximum ena2Iet sifest derivable ena, alorsf0(a) = 0.

4. Theoremes de Rolle et des accroisssements nis

Theoreme [Rolle].Soienta < betf: [a;b]!Rcontinue sur[a;b]et derivable sur]a;b[. On suppose quef(a) =f(b). Alors il existec2]a;b[tel quef0(c) = 0. Theoreme [Accroisssements nis].Soienta < betf: [a;b]!Rcontinue sur [a;b]et derivable sur]a;b[. Alors il existec2]a;b[tel que f

0(c) =f(b)f(a)ba

5. Derivees d'ordre superieur

Denition.SoientIun intervalle deR,f:I!Rune fonction derivable et a2I. On dit quefest deux foisderivableenasif0est derivable ena. La derivee def0enas'appelle la derivee seconde defenaet se notef00(a). On dit quef est deux foisderivablesif0est derivable. On denit par recurrence lak-derivabilite d'une fonctionf. La deriveek-ieme se notef(k)et on af(k)= (f(k1))0. On dit quefest indeniment derivable sifest k-derivable pour toutk. On dit quefest de classeCksif(k)existe et est continue. 2quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25