sont des relations d'ordre, ainsi que la relation d'inclusion ⊂ sur (E) Exemple La relation de divisibilité n'est pas une relation d'ordre sur , mais c'en est une
Previous PDF | Next PDF |
[PDF] Chapitre 3 :Relations dordre
d'inclusion, on peut aussi imaginer la relation définie par : ∅=∩ ⇔ BA Définition : Soit R une relation binaire définie sur E R est une relation d'ordre lorsque :
[PDF] 1 Relations binaires 2 Relations déquivalence 3 Relations dordre
relations sur l'ensemble des droites du plan ou de l'espace L'inclusion ⊂ est une relation sur P(X), où X est un ensemble quelconque Définitions Soit R
[PDF] RELATIONS BINAIRES - Christophe Bertault
sont des relations d'ordre, ainsi que la relation d'inclusion ⊂ sur (E) Exemple La relation de divisibilité n'est pas une relation d'ordre sur , mais c'en est une
[PDF] Relations binaires sur un ensemble
La plupart des relations d'ordre sont notées ≤ ou (`a l'exception notable de l' inclusion et de la divisibilité) Un ensemble E muni d'une relation d'ordre est dit
[PDF] Ch 1 Relations - LACIM
X On définit la relation d'inclusion, notée ⊆, par : pour A, B ∈ E (i e A, B sont Une relation d'ordre ≤ sur un ensemble E est totale si ∀x, y ∈ E, x ≤ y ou y
[PDF] Relation binaire, relation dordre, treillis - Université de Bourgogne
l'inclusion ⊆ sur les parties d'un ensemble E N,Z,Q,R sont totalement ordonnés par ≤ Est-ce que < est un ordre sur R? La relation a divise b dans N est elle un
[PDF] Chapitre 1 ENSEMBLES
La relation d'inclusion ⊂ sur 乡(E) est une relation d'ordre Elle n'est pas d'ordre total Test 1 4 La relation de divisibilité sur N
[PDF] ——————————– Théorie des ensembles
Parmis ces ensembles, il en exie un plus petit au sens de l'inclusion binaire sur Ω "être plus fine que" e une relation d'ordre (i e e réflexive, antisymétrique et
[PDF] Relations dordre - Théorie des Treillis - MIS
Inclusion de relation : l'inclusion des relations binaires R et S, notée R ⊆ S, est définie par (x,y) ∈ R => (x,y) ∈ S On peut généraliser à des relations n-aires
[PDF] le representant permanent du royaume du maroc aupres de l onu est
[PDF] le developpement durable au maroc
[PDF] le développement durable au maroc définition
[PDF] conseil supérieur de l'éducation de la formation et de la recherche scientifique maroc
[PDF] rapport du conseil supérieur de l'enseignement maroc 2016
[PDF] vision stratégique 2015 2030 ppt
[PDF] les projets intégrés de la vision stratégique 2015-2030
[PDF] montrer qu'une suite est décroissante par récurrence
[PDF] un+1 suite
[PDF] montrer qu'une suite géométrique est croissante
[PDF] la charte nationale de l'éducation pdf
[PDF] comment montrer qu'une suite est convergente
[PDF] suite de cauchy exemple
[PDF] montrer qu'une suite est de cauchy pdf
Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
RELATIONS BINAIRES
Dans tout ce chapitre,Eest un ensemble quelconque.1 RELATIONS BINAIRES SUR UN ENSEMBLE
Les relations sont partout et dans le monde mathématique, et dans la vraie vie. Nous passons notre temps à comparer
des objets, à les mettre en rapport les uns avec les autres selon tel ou tel aspect. Les phrases suivantes, pourtant diverses, sont
toutes l"affirmation d"un lien entre deux objets : " Minou et Matou ont la même couleur de poils », " 3?5 », " Truc
est amoureux de Bidule », " 4 divise 12 », " 1+i et 1-i ont le même module », etc.De quelle manière pourrions-nous définir proprement la notion de relation en mathématiques? QuelOBJETla relation
(x,y)??1,3?2pour lesquelsx Définition(Relation binaire sur un ensemble)On appellerelation binaire sur Etoute partie deE×E. Si?est une telle relation, la proposition(x,y)? ?sera notée de préférencex?ypour tousx,y?E, et lue "xest ?Attention !Parce que le couple(x,y)n"est pas le couple(y,x), la relationx?ypeut être vraie sans que la relation la relation d"égalité=surE, les relations?et pour toutα??, la relation≡[α]de congruence moduloαsur?, définie pour tousx,y??par : La relation d"égalité=surEest réflexive, transitive, symétrique et antisymétrique. Les relations?sur?et??sontréflexives, transitives et antisymétriques. Elles nesontpas symétriques carparexemple La relation La relation | de divisibilité sur?est réflexive et transitive, mais elle n"est pas antisymétrique car par exemple-2|2 Définition(Relation d"équivalence)On appellerelation d"équivalence sur Etoute relation binaire surEà la fois ExempleLa relation d"égalité=surEet la relation " avoir le même signe » sur??sont des relations d"équivalence. ExemplePour toutα??, la relation≡[α]de congruence moduloαsur?est une relation d"équivalence. De manière analogue, pour toutn??, la relation≡[n]de congruence modulonsur?est une relation d"équivalence. Transitivité :Soienta,b,c??. Sia≡b[α]etb≡c[α]:a=b+kαetb=c+lαpour certains Théorème(Classes d"équivalence d"une relation d"équivalence, ensemble quotient)Soit≂une relation d"équi- Classes d"équivalence :Pour toutx?E, l"ensembley?E|x≂yest appelé laclasse d"équivalence de x Ensemble quotient :L"ensemble des classes d"équivalences deEpour≂est appelé l"ensemble quotient de E par Ce que ce théorème raconte, c"est que la relation d"équivalence≂peut être représentée l"intérieur deEdont les éléments sont caractérisés par une nationalité. LemondeEse trouve On peut dire les choses autrement. Toute relation d"équivalence peut être exprimée en français sous la forme " Avoir le même (...) » : " avoir le même signe », " avoir le même reste de division euclidienne parn», etc. Pour toutx?E:x≂xpar réflexivité, doncx?cl(x), donc cl(x)est non vide. Rappelons à cette Soientx,y?E. Pour montrer que cl(x)et cl(y)sont égales ou disjointes, supposons-lesNONdisjointes et montrons qu"elles sont égales. Par hypothèse, nous pouvonsnous donner un élémentzcommun à cl(x)et ExempleLa relation " avoir le même signe » sur??possède deux classes d"équivalence, la classe??+et la classe??-. ExempleSoitα >0. Les classes d"équivalences de?pour la relation de congruence moduloαsont exactement les en- semblesα?+x,xdécrivant[0,α[, sans répétition. L"ensemble quotient associé est donc l"ensemble DémonstrationLe théorème d"existence et d"unicité de la partie entière peut être formulé ainsi : et finalement, après multiplication parα:?x??,?!??[0,α[,x≡?[α]. Cette proposition signifie que tout réel appartient à la classe d"équivalence pour≡[α]d"un et un seul élément de[0,α[. ExempleSoitn???. Nous établirons au prochain chapitre " Arithmétique des entiers relatifs » lethéorème de la division euclidiennesuivant :?a??,?!r??0,n-1?,a≡r[n], selon lequel tout entier relatif appartient à la classe d"équivalence pour≡[n]d"un et un seul élément de?0,n-1?, donc que les classes d"équivalence de?pour cette relation Relation d"ordre :On appelle (relation d")ordre sur Etoute relation binaire surEà la fois réflexive, transitive Quand?est une relation d"ordre, la relationx?yest généralement lue "xest plus petit quey», mais rien ne s"oppose à ce qu"on la lise "xest plus grand quey», c"est pure affaire de convention et il convient seulementd"être cohérent. Être Une relation d"ordre hiérarchise les éléments qu"elle compare, mais qu"attendons-nous intuitivement des notions de clas- Essentiellement la transitivité, c"est ce qui compte le plus. SiAest plus grand queBetBplus grand queC, alorsAest La réflexivité est imposée dans la définition des relations d"ordre mais aurait pu ne pas l"être. L"exiger revient simple- ment à privilégier les relations " inférieurOU ÉGAL» aux relations d"infériorité stricte. L"antisymétrie est un autre choix conventionnel. La relation " être plus âgé (ou du même âge) que » est transitive et réflexive sur l"ensemble des êtres humains, mais pas antisymétrique car deux individus peuvent être nés au même instant. Bien que non antisymétrique, cette relation a pournous la saveur d"une relation hiérarchique. En résumé, les relations d"ordre sont des exemples importants de hiérarchies, mais ne formalisent pas toutes les hiérar- La relation?est une relation d"ordre totale sur?. En particulier, les réels sont tous comparables à 0 positifs ou négatifs et c"est pour cela qu"on a pu définir la valeur absolue|x|d"un réelxen distinguant les casx?0 etx<0. La relation?est une relation partielle d"ordre sur??. Les fonctions cosinus et sinus, par exemple, ne sont pas La relation d"inclusion?est une relation d"ordre sur?(E), partielle dès queEcontient au moins deux éléments. En ExempleLa relation de divisibilité | n"est pas une relation d"ordresur?, mais c"en est une sur?, partielle car 2 et 3 ne DémonstrationNous avons déjà vu que la relation | sur?n"est pas antisymétrique. Travaillons donc sur?. Transitivité :Soientn,n?,n????des entiers pour lesquelsn|n?etn?|n??. Aussitôtn?=knetn??=k?n? Remarque importante. Les relations d"ordre excluent les boucles. Une boucle de la formex1?x2?x3?...?xn?x1 entre des éléments distinctsavecn?2estinconcevable carla transitivité et l"antisymétrie forcent l"égalitéx1=x2=...=xn. Sans boucles, les relations d"ordre ont comme une orientation naturelle. De même que les fleuves et les rivières coulent en direction de la mer sans jamais boucler, on va toujours de l"avant quand on parcourt une relation d"ordre, on ne tourne jamais en rond et c"est ça qui nous fait dire que certains éléments sont plus petits/grands que d"autres. Ona représenté ci-dessous àgauchela relation?sur l"ensemble des parties de1,2,3et àdroite la relation dedivisibilité | sur?1,20?. Le fait que ces relations ne sont pas totales se visualise bien, il ne suffit pas d"UNEfibre pour représenter ces Définition(Relation stricte associée à une relation d"ordre)Soit?une relation d"ordre surE. La relation?sur par transitivité de?. L"égalitéx=zest-elle possible? Le cas échéantx?yety?x, doncx=ypar Partie bornée :On dit queAestbornée(pour?) si elle est à la fois majorée et minorée. L"ensemble8,10,12est minoré par 2 et majoré par 120 pour la relation de divisibilité | sur?. Définition(Plus grand/petit élément, maximum/minimum)Soient?une relation d"ordre surEetAune partie S"IL EN EXISTE UN, un tel plus grand élément est unique et donc appeléLEplus grand élément deA, noté maxA. DémonstrationPour l"unicité, même preuve qu"au chapitre " Compléments sur les réels ». ExempleOn travaille avec la relation d"inclusion?sur?(E)et on suppose queEcontient au moins deux éléments. (i) L"ensemble2,3,6possède un plus grand élément c"est 6 mais pas de plus petitélément. (ii) L"entier 0 est élément de?et plus grand que tout le monde car tout le monde le divise, donc c"est le plus grand élément de?. L"entier 1 est élement de?et plus petit que tout le monde car il divise tout le monde, (iii) Par l"absurde, faisons l"hypothèse que?\0,1possède un plus petit élémentm. En particulierm|2 et m|3, donc par différencem|1. Or le seul diviseur de 1 dans?étant 1 lui-même :m=1, et ceci est Par l"absurde, faisons l"hypothèse que?\0,1possède un plus grand élémentM. En particulier 2M|M Définition(Borne supérieure/inférieure)Soient?une relation d"ordre etAune partie deE.S"IL EXISTE, le plus La différence essentielle entre les plus grands éléments etles bornes supérieures d"une partieA, c"est que les bornes Théorème(Max/min implique sup/inf)Soient?une relation d"ordre etAune partie deE. SiApossède un plus grand (resp. petit) élément pour?,Apossède une borne supérieure (resp. inférieure) pour?et : supA=maxA ExempleToute partieAde?(E)possède une borne supérieure et une borne inférieure pour larelation d"inclusion?, en tous les éléments deApar définition, i.e. majoreAau sens de l"inclusion. Ensuite, siM? ?(E)est un majorant ExemplePour la relation de divisibilité | sur?,6,8,10admet 2 pour borne inférieure et 120 pour borne supérieure. Pour la borne supérieure de6,8,10, tâchez juste de vous convaincre intuitivement du résultat, nous1<3 et 2<3. Formellement, nous pourrions définir la relation
Exemple
1?2 mais 2?1, et de même(x?-→1)?(x?-→2)mais(x?-→2)?(x?-→1).
Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
2 RELATIONS D"ÉQUIVALENCE
Démonstration
Réflexivité :Pour touta??:a=a+0×αet 0??, donca≡a[α]. Une classe
d"équivalence Une classe
d"équivalence Une classe d"équivalence
La notion d"ensemble quotient est hors programme mais il n"est pas inutile de l"avoir quelque part en tête. Vous noterez bien que le quotientE≂est unENSEMBLE D"ENSEMBLES, en l"occurrence un ensemble de parties deE. Clairement :E=?
x?Ecl(x)carx?cl(x)pour toutx?E. α?+x|x?[0,α[
α=k+?,
Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
3 RELATIONS D"ORDRE
Définition(Relation d"ordre, relation d"ordre totale) Dans le cas contraire, on dit que?estpartielle.
Exemple
Sin=0 :n?=kn=0, doncn=n?.
Sin?=0 :kk?=1, orketk?sont desENTIERS NATURELS,donck=k?=1, doncn=k?n?=n?. 3 Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
3 57111317 194
691014158
1218 2016
Démonstration
Transitivité :Soientx,y,z?E. On supposex?yety?z. En particulierx?yety?z, doncx?z Exemple
Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
Démonstration
X?AXet infA=?
X?AX. DémonstrationContentons-nous du cas de la borne supérieure. Pour commencer, la réunion? X?AXcontient
X?AX?M, ce qui fait bien de?
X?AXle plus petit majorant deA.
Démonstration
Soitmun minorant de6,8,10. Alorsm|6 etm|8, donc par différencem|2. Les minorants de6,8,10 sont ainsi seulement 1 et 2, donc en effet 2 en est le plus grandminorant.