θ est un argument de z et cela se note θ =arg(z)[2π]; I 2 Propriétés : Exemple 1 Calculer le module et l'argument de z1 =1+ i, z2 =1+ i√3, z3 = −3i et z4 =2+3i
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Exercice 15 Soit z un nombre complexe de module ρ, d'argument θ, et soit z son conjugué Calculer (z+z)(z2 +z2) (zn + zn) en fonction de ρ et θ
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NOMBRES COMPLEXES : METHODES Comment calculer module et argument ? Exemple : z = 3 – 3 i z = a² + b² = 3² + ( -3)² = 9 + 9 = 18 = 9 2 = 3 2 Cos θ = a
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TSChapitre 10 : Les nombres complexes (2ème partie)2012-2013
I Module et Argument d"un nombre complexe
Tout pointMdu plan peut être repéré par un couple de coordonnées polaires (r,θ) (r >0,θréel)rest la distanceOM;
θest une mesure de l"angle (?u,--→OM). Lien entre coordonnées cartésiennes et coordonnées polaires : (r,θ) est un couple de coordonnées polaires deMet (x,y) les coordonnées cartésiennes deM: 0?u ?v? M r=OM On a :x=rcosθety=rsinθ?r=?x2+y2etcos(θ) =xr,sin(θ) =yr.I.1 Définition :
Définition 1Soitzun nombre complexe non nul,Mle point d"affixezet(r,θ)un couple de coordonnées polaires
deM. On décide des termes suivants :rest le module dezet cela se noter=|z|;
θest un argument dezet cela se noteθ=arg(z)[2π];I.2 Propriétés :
z=x+ iy, on a :|z|=?
x2+y2ou encore|z|2=x2+y2=zz SoitMd"affixez, arg(z) = (-→u;--→OM)(2π) Pour tout réelx, le module dexest la valeur absolue dexet : ?six >0, arg(x) = 0(2π); ?six <0, arg(x) =π2π);z?= 0,zimaginaire pur?arg(z) =±π
2(2π)
|z|=|
z|etarg(z) =-arg(z)(2π); | -z|=|z|et arg(-z) =π+arg(z)(2π);
Exemple 1Calculer le module et l"argument dez1= 1 +i,z2= 1 +i⎷3,z3=-3ietz4= 2 + 3i
I.3 Forme trigonométrique d"un nombre complexe
Théorème 1Tout nombre complexeznon nul peut s"écrire sous la forme z=r(cosθ+ isinθ) oùr=|z|etθ=arg(z)(2π).Réciproquement : Si un nombre complexe non nulzs"écrit sous la formez=r(cosθ+ isinθ) avecr >0 alors
|z|=ret arg(z) =θ(2π).L"écriture
z=r(cosθ+ isinθ) s"appelle la forme trigonométrique dez.My Maths Space1 sur 5
TSChapitre 10 : Les nombres complexes (2ème partie)2012-2013 EXERCICE 11. Quelle est la forme trigonométrique dez1=-1 + i⎷3.2.z2est un nombre complexe de module 3 et d"argument-π
4. Quelle est la forme algébrique dez2?
3.z3=-3(cosθ+ isinθ).z3est-il écrit sous forme trigonométrique?
Théorème 2Soitz=r(cosθ+ isinθ) etz?=r?(cosθ?+ isinθ?) deux nombres complexes. Alors, on a :
zz?=rr?(cos(θ+θ?) + isin(θ+θ?));
z z?=rr?(cos(θ-θ?) + isin(θ-θ?)) (z??= 0); Tableau récapitulatif des propriétés vérifiées par module et argument : Quels que soient les nombres complexeszetz?(z??= 0) : Produit|z×z?|=|z| × |z?|arg(zz?) =arg(z)+arg(z?)(2π)Puissance|zn|=|z|narg(zn) =narg(z)(2π)
Inverse????1z????
=1|z|arg?1z? =-arg(z)(2π)Quotient???zz????
=|z||z?|arg?zz?? =arg(z)-arg(z?)(2π)Conjugu´e|z|=|z|arg(z) =-arg(z)(2π)
Oppos´e| -z|=|z|arg(-z) =π+arg(z)(2π)
Exemple 2d"utilisation de la forme trigonométrique :1. Calculer(1 +i⎷
3)5;2. Déterminer une forme trigonométrique de
3 +i -1-i.3. Déterminer une forme trigonométrique de(⎷
3 + 3i)(3-i⎷3).
EXERCICE 2On considère le nombre complexe :
z= 1-⎷3 + i(1 +⎷3)
1. Écrirez2sous forme algébrique.
2. Déterminer le module et un argument dez2.
3. Indiquer le signe de la partie réelle dezet celui de la partie imaginaire, puis, à l"aide des propriétés sur module
et arguments, déterminer le module et un argument dez.4. Déduire de ce qui précéde les lignes trigonométriques de
7π12, puis deπ12.
My Maths Space2 sur 5
TSChapitre 10 : Les nombres complexes (2ème partie)2012-2013II Notation Exponentielle
II.1 Notation
Si l"on posef(θ) =cosθ+ isinθ, le théorème 2 prouve quef(θ+θ?) =f(θ)×f(θ?)
De plus si l"on applique la formule de la dérivée d"une somme àla fonctionf=cos+ isin, on obtient :f?(θ) = if(θ),
d"où par analogie avec les relations vérifiées par l"exponentielle, on définit :Définition :Pour tout réelθ, on pose
eiθ=cosθ+ isinθConséquences :
Tout nombre complexeznon nul, de moduleret d"argumentθs"écritz=reiθ: cette écriture est appeléeforme
exponentielle dezet réciproquement, de la même manière qu"avec la forme trigonométrique : siz=reiθet
r >0, alors|z|=retarg(z) =θ[2π]. (important)|eiθ|= 1 etarg(eiθ) =θ[2π].Grâce aux propriétés des formes trigonométriques (th.2.) vues précédemment, l"exponentielle complexe possède
des propriétés qui rappellent celles de l"exponentielle réelle : eiθ×eiθ?=ei(θ+θ?);eiθEXERCICE 3:
Écrire les nombres suivants sous forme algébrique :eiπ6et 4eiπ4.
Donner la forme exponentielle des nombres suivants : 1;-1; i;-i;12+ i⎷
32; 1 + i; (1-i)8.
II.2 FORMULES de MOIVRE et D"EULER
Théorème 3Formules de MOIVRE : Pour toutθet tout entiern: (cosθ+ isinθ)n=cos(nθ) + isin(nθ) (reformulation de (eiθ)n=einθ) (cosθ-isinθ)n=cos(nθ)-isin(nθ) (changement en-θdans la formule précédente)Formules d"EULER :
Pour tout réelθ:
III Nombres complexes en géométrie
III.1 Module et argument de l"affixe d"un vecteur
Soit?wun vecteur d"affixez?wetAle point tel que-→OA=?w. D"après ce qui précède,z?w=z--→OA=zA-zO=zAcarzO= 0, donc nous avons : ?|z?w|=|zA|=OA=||?w|| arg(z?w) =arg(zA) = (?u,-→OA) = (?u, ?w)[2π] 0?u ?v? A r=OA ?wMy Maths Space3 sur 5
TSChapitre 10 : Les nombres complexes (2ème partie)2012-2013III.1.1 Module et argument dezB-zA
Théorème 4AetBsont deux points d"affixes respectiveszAetzBdans le plan complexe repéré par (O;?u,?v)
orthonormé. On a : |zB-zA|=AB démonstration : ...... Exemple 3SoitA(1-2i),B(3 + 2i)etC(-3). Quelle est la nature du triangleABC? =?Utilisation dans la recherche d"ensemble de points :M(z) vérifie|z-z1|=r(r >0). On pose ......
M(z) vérifie|z-z1|=|z-z2|. On pose ......
Exemple 4Quel est l"ensemble des pointsM(z)qui vérifient|z+ 3i|=|z-1 +i|?Théorème 5AetBsont deux points d"affixes respectiveszAetzBdans le plan complexe repéré par (O;?u,?v)
orthonormé direct. On a : arg(zB-zA) = (-→u;--→AB) démonstration : ...... Exemple 5SoitA(-2-2i),B(3 + 3i). Calculer(-→u;-→BA). Remarque 1Il faudra être vigilant car|zB-zA|=|zA-zB|en effetAB=BAmais arg(zB-zA)?=arg(zA-zB).A vérifier .......
My Maths Space4 sur 5
TSChapitre 10 : Les nombres complexes (2ème partie)2012-2013III.1.2 Module et argument dezD-zCzB-zA
Propriété 1Soit?wet?w?des vecteurs non nuls d"affixes respectivesz?wetz?w?, on a : arg?z˜w?z˜w? = (˜w,˜w?) (2π) démonstration : ......Propriétés :
Soit˜wet˜w?des vecteurs non nuls d"affixes respectivesz?wetz?w?.˜wet˜w?colinéaires?z˜w?
z˜wréel;˜wet˜w?orthogonaux?z˜w?
z˜wimaginaire pur .Exemple 6d"utilisation :
A,B,CetDsont quatre points deux à deux distincts d"affixes respectiveszA,zB,zcetzD. Exprimer en fonction d"un angle orienté
de vecteurs arg?zD-zCzB-zA? . Exprimer???zD-zCzB-zA??? en fonction deABetCD.Propriété 2En résumé,
?z D-zC zB-zA???? =CDABetarg?zD-zCzB-zA? = (--→AB;--→CD) (2π)Remarque 2En particulier,????z
C-zAzB-zA????
=............et arg?zC-zAzB-zA? =......................(2π)EXERCICE 4Reprendre l"exemple 3 et prouver, en utilisant la relation avec les angles orientés de vecteurs que le
triangleABCest rectangle enA.