I Module et argument d'un nombre complexe Méthode : Calculer le module d' un nombre complexe 0 n'a pas d'argument car dans ce cas l'angle u ; OM "
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√ 12 + (− √ 3)2 = 2 Soit θ l'argument de z Il faut calculer son cosinus et son sinus : cos(θ) = x
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θ est un argument de z et cela se note θ =arg(z)[2π]; I 2 Propriétés : Exemple 1 Calculer le module et l'argument de z1 =1+ i, z2 =1+ i√3, z3 = −3i et z4 =2+3i
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Calculs dans C — Pour tous z, z ∈ C avec z = a + ib et z = a + ib ,ona: z = z si, et 1 3 Argument et forme polaire d'un nombre complexe 1 Rappels sur les
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1) Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants : Objectif : Savoir calculer un argument, faire le lien entre argument et angle, passer
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Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants ( en fonction de Quotient du nombre complexe de modulo 2 et d'argument
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Soit un nombre complexe non nul, son module z , d'argument principal θ, et M le point d'affixe z On considère le triangle dans le plan complexe, formé par
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Exercice 15 Soit z un nombre complexe de module ρ, d'argument θ, et soit z son conjugué Calculer (z+z)(z2 +z2) (zn + zn) en fonction de ρ et θ
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NOMBRES COMPLEXES : METHODES Comment calculer module et argument ? Exemple : z = 3 – 3 i z = a² + b² = 3² + ( -3)² = 9 + 9 = 18 = 9 2 = 3 2 Cos θ = a
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YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1NOMBRES COMPLEXES (Partie 2) Dans tout le chapitre, on munit le plan d'un repère orthonormé direct
O; u; v . I. Module et argument d'un nombre complexe 1) Module Définition : Soit un nombre complexe z=a+ib . On appelle module de z, le nombre réel positif, noté z , égal à a 2 +b 2. M est un point d'affixe z. Alors le module de z est égal à la distance OM. Propriétés : Soit z et z ' deux nombres complexes. a)
z 2 =zz b) z=z c) -z=zDémonstrations : a)
zz=a+ib a-ib =a 2 -ib 2 =a 2 -i 2 b 2 =a 2 +b 2 =z 2 b) z=a 2 +-b 2 =a 2 +b 2 =z c) -z=-a 2 +-b 2 =a 2 +b 2 =zMéthode : Calculer le module d'un nombre complexe Vidéo https://youtu.be/Hu0jjS5O2u4 Calculer : a) 3-2i
b) -3i c) 2-i YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2a) 3-2i=3 2 +(-2) 2 =13 b) -3i=-3×i=3×1=3 c) 2-i=2-i=2 2 +-1 2 =2+1=32) Argument Définition : Soit un point M d'affixe z non nulle. On appelle argument de z, noté arg(z) une mesure, en radians, de l'angle
u;OM . Remarques : - Un nombre complexe non nul possède une infinité d'arguments de la forme arg(z)+2kπ k∈! . On notera arg(z) modulo 2π ou arg(z)2π - 0 n'a pas d'argument car dans ce cas l'angle u ;OM n'est pas défini. Exemple : Vidéo https://youtu.be/Hu0jjS5O2u4 Soit z=3+3i . Alors z=3+3i=3 2 +3 2 =18=32 Et arg(z)= 4 2π . Propriétés : Soit z un nombre complexe non nul. a) z est un nombre réel ⇔arg(z)=0π , b) z est un imaginaire pur ⇔arg(z)= 2 . c) arg(z)=-arg(z) d) arg(-z)=arg(z)+πYvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3Démonstrations : a) Le point M d'affixe z appartient à l'axe des réels. b) Le point M d'affixe z appartient à l'axe des imaginaires. c) d) Ses résultats se déduisent par symétrie. II. Forme trigonométrique d'un nombre complexe 1) Définition Propriété : Soit
z=a+ib un nombre complexe non nul. On pose :θ=arg(z)
On a alors :
a=zcosθ et b=zsinθ . Définition : On appelle forme trigonométrique d'un nombre complexe z non nul l'écriture z=zcosθ+isinθ avecθ=arg(z)
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4 Méthode : Ecrire un nombre complexe sous sa forme trigonométrique Vidéo https://youtu.be/zIbpXlgISc4 Ecrire le nombre complexe
z=3+i sous sa forme trigonométrique. - On commence par calculer le module de z : z=3+1=2 - En calculant z z , on peut identifier plus facilement la partie réelle de z et sa partie imaginaire : z z 3 2 1 2 iOn cherche donc un argument θ
de z tel que : cosθ= 3 2 et sinθ= 1 2 . Comme cos 6 3 2 et sin 6 1 2 , on a : z z =cos 6 +isin 6Donc :
z=2cos 6 +isin 6 avec arg(z)= 6 2π. Avec une calculatrice ou un logiciel, il est possible de vérifier les résultats obtenus : 2) Propriétés Inégalité triangulaire : Soit z et z ' deux nombres complexes.
Démonstration : Il s'agit d'une traduction de l'inégalité sur les distances.YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr5 Propriétés : Soit z et z ' deux nombres complexes non nuls et n entier naturel non nul. Produit
zz'=zz' arg(zz')=arg(z)+arg(z')Puissance
z n =z n arg(z n )=narg(z)Inverse
1 z 1 z arg 1 z =-arg(z)Quotient
z z' z z' arg z z' =arg(z)-arg(z')Démonstration pour le produit : On pose
θ=arg(z)
etθ'=arg(z')
zz'=zcosθ+isinθ z'cosθ'+isinθ' =zz'cosθcosθ'-sinθsinθ' +isinθcosθ'+cosθsinθ' =zz'cosθ+θ' +isinθ+θ'Donc le module de
zz' est zz' et un argument de zz' estθ+θ'=arg(z)+arg(z')
. Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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