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Quelle est la partie imaginaire du nombre complexe z = (1−i) 2 ? 3 (b) Montrer que les droites (AP) et (BP′) sont parallèles (c) Établir Correction du II

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pour démontrer que deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires, on peut démontrer que arg( zD – zC zB – zA ) = π 2 ( π), c'est- à-dire que zD – zC zB – zA

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Déterminer les modules des nombres complexes b et c c Utiliser les cercles Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes en O b Les vecteurs , sont colinéaires donc les points O, B et Q sont alignés 4 on en déduit que H est le point d'intersection des droites ( ) ( ), or ces deux droites sont deux

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En déduire que pour tout nombre complexe distinct de 2, + − ' 2 2 z z est réel c Montrer que les droites (AM) et (BM') sont parallèles 4 Dans cette question

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16 sept 2010 · 1 5 1 Groupe U des nombres complexes de module 1 2 5 11 Intersection de deux droites, droites parallèles racines de nombres négatifs Ces nouveaux nombres ne sont pas compris tout de suite et leur manipulation conduit à des absurdités Montrer que P possède une racine imaginaire pure 2

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8 oct 2020 · Le but d'un mathématicien est de démontrer des théorèmes, ou en nécessaire de définir l'ensemble des nombres complexes de manière Définition 4 2 6 Deux droites affines D et D sont parallèles, et on écrit alors D//D , si

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Définition : deux nombres complexes sont dits conjugués s'ils ont la même partie réelle et facile de montrer que tout nombre complexe admet deux racines carrées opposées Les droites AB et CD sont perpendiculaires si et seulement si

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car on sait démontrer en maths que le nombre √2 a une infinité de décimales dire que si z et z′ sont deux nombres complexes qui sont en particulier tous les deux des réels alors z + z′ et z × z′ L'identité précédente se lit aussi de droite à gauche : x2 + y2 = (x + iy)(x − iy) OM1 sont colinéaires et de même sens

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montrer que le produit de deux tels « nombres » non nuls peut être nul ) parallèles), soit les deux droites sont confondues (lorsque le second membre de l '

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Exercice sur les nombres complexes

1. Quelle est la partie réelle du nombre complexez=(2+i)2?

2. Quelle est la partie imaginaire du nombre complexez=(1-i)2?

3. Calculer le module du nombre complexez=4+3i.

4. Calculer un argument du nombre complexez=2-2i.

5. Siz=2-5i alors que vaut

6. Soitzle nombre complexe de module 2 et d"argumentπ

3. Donner la forme algébriquedez.

II Amérique du sud novembre 2009

Dans leplanmunid"unrepèreorthonormé?O;-→u;-→v?,onconsidère lespointsAet B d"affixesrespectives

2 et (-2) et on définit l"applicationfqui à tout pointMd"affixezet différent de A associe le pointM?d"affixe

z z(z-2) z-2.

1. (a) Déterminer l"affixe du point P

?image parfdu point P d"affixe (1+i). (b) Montrer que les droites (AP) et (BP ?) sont parallèles. (c) Établir que les droites (AP) et (PP ?) sont perpendiculaires.

2. Déterminer l"ensembledes pointsinvariantsparf(c"est-à-dire l"ensembledes pointstels queM?=M).

On cherche à généraliser les propriétés1.bet1.cpour obtenir une construction de l"imageM?d"un

pointMquelconque du plan.

3. (a) Montrer que pour tout nombre complexez, le nombre (z-2)?

z-2?est réel. (b) En déduire que pour tout nombre complexe distinct de 2, z?+2 z-2est réel. (c) Montrer que les droites (AM) et (BM?) sont parallèles.

4.Dans cette question, toute trace de recherche,mêmeincomplète, ou d"initiative, sera prise en compte dans

l"évaluation.

SoitMun point quelconque non situé sur la droite (AB). Généraliser les résultats de la question1.c.

5. SoitMun point distinct de A. Déduire des questions précédentes une construction du pointM?image

deMparf. Réaliser une figure pour le point Q d"affixe 3-2i.

Correction du II

Amérique du sud novembre 2009

1. a.zP?=1+i(1+i-2)

DonczP?=-zP.

AP(-1 ; 1) et--→BP?(-1 ; 1). Les vecteurs sont égaux donc les droites (AP) et (BP?) sont parallèles.

On peut même dire que

AP=--→BP???(APP?B) est un parallélogramme. c.

AP(-1; 1)et-→PP?(-2;-2).Donc-→AP·-→PP?=(-1)×(-2)+1×(-2)=0??-→AP(-1; 1)et-→PP?sontorthogonaux

ou encore les droites (AP) et (PP ?) sont perpendiculaires.

2.PourM(z) avecz?=2, donc avec

z?=D2,M?(z?)=M(z)??z?=z(z-2) z-2=z??z(z-2)=z?z-2??? z z-2z=zz-2z?? -2z=-2z??z=z??z?R. L"ensemble des points invariants parfest l"axe des abscisses privé du point A.

3. a.(z-2)?

z-2?=(z-2)?z-2?=(z-2)(z-2)=|z-2|2?R+(carré du module dez-2, soit AM2.) b. z?+2 z-2= z(z-2) z-2+2 z-2= z(z-2)+2?z-2? z-2 z-2=z z-2z+2z-4 (z-2)?z-2?=z z-4 (z-2)?z-2?. Orz z=|z|2?Ret dans la question précédente on a vu que (z-2)?z-2?=|z-2|2?R.

Le dernier quotient est donc réel.

c.Le dernier résultat peut s"écrirez?-zB z-zA?R???--→AM,--→BM?? =0+kπ(argument d"un réel).

Conclusion : les vecteurs

AMet--→BM?sont colinéaires donc les droites (AM) et (BM?) sont parallèles.

4.On az--→AM=x-2+iyetz---→MM?=z?-z=

z(z-2) z-2-z= z(z-2)-z?z-2? z-2=z z-2z-zz+2z z-2=2?z- z? z-2=

2(x+iy-x+iy

Calculons

AM·---→MM?=-4y2(x-2)

(x-2)2+y2+4y2(x-2)(x-2)2+y2=0.

Les vecteurs

AMet---→MM?sont orthogonaux,donc les droites (AM) et (MM?) sont perpendiculaires.

5.La constructionde l"image deMse déduit des questions précédentes :

Tracer la parallèle (d1) à (AM) contenant B; Tracer la perpendiculaire(d2) à la droite (AM) contenantM L"intersection de (d1) et (d2) est le pointM?.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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